常系數(shù)齊次線性微分方程課件

1、 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程1二階常系數(shù)齊次線性方程定義二階常系數(shù)齊次線性方程定義二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法5.7 常系數(shù)齊次線性微分方常系數(shù)齊次線性微分方程程齊次齊次常系數(shù)常系數(shù)常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次第第5 5章章 微分方程微分方程 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程20 qyypy方程方程)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程二階二階常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性線性一、定義一、

2、定義 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程3- - 特征方程法特征方程法rxye 將其代入方程將其代入方程, 0e )(2 rxqprr, 0e rx故有故有02 qprr2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二階二階設設解解 得得特征方程特征方程常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性方程線性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二階二、二階常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次線性方程解法線性方程解法其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程4,2421qppr ,2422qppr ,e11

3、xry ,e22xry 兩個兩個 特解特解 y)0( 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根特征根特征根r的不同情況決定了方程的不同情況決定了方程02 qprr特征方程特征方程xr1e2C.e2xr 1C21yy常數(shù)常數(shù)線性無關線性無關的的 得得齊次齊次方程的通解為方程的通解為rxye 設設解解其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程5有兩個相等的實根有兩個相等的實根,e11xry ,221prr )0( 一特解為一特解為.e )(121xrxCC 代入到代入到將將222,yyy , 0)()2(121

4、1 uqprrupru, 0 u,)(xxu ,e12xrxy 2y常常數(shù)數(shù) 12yy. 0 qyypy化簡得化簡得0 0 設設)(xu,e1xr取取則則知知 yxr1exrx1e 1C2C得得齊次齊次方程的通解為方程的通解為rxye 其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 設設解解其中其中u(x)為待定函數(shù)為待定函數(shù). 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程6有一對共軛復根有一對共軛復根,1 ir ,2 ir xi )(e xry2e2 )0( )(21211yyy xx cose )(21212yyiy xx sine ).sincos(e21xCxCyx 0,21 qyypyyy

5、為為方方程程為了得到實數(shù)形式的解為了得到實數(shù)形式的解,重新組合重新組合的兩個的兩個線性無關線性無關的解的解.rxye 其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). xry1e1 xi )(e 用歐拉用歐拉(Euler)公式公式:xixixsincose 設設解解)sin(cosexixx )sin(cosexixx 21yy常數(shù)常數(shù)得得齊次齊次方程的通解為方程的通解為 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程7稱為稱為.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解為故所求通解為 y例例由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特

6、征方程的根確定其通解的方法確定其通解的方法特征方程法特征方程法. .特征根特征根.e )(221xxCC 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程8.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解為故所求通解為 y例例特征根特征根).2sin2cos(e21xCxCx ,1 ir ,2 ir )sincos(e21xCxCyx 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為ir2121 ， 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程9 y例例 解初值問題解初值問題 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程09241

7、62 rr特征根特征根43 r所以方程的通解為所以方程的通解為41 CxxCy432e )4( xxCCy4322e433 4(二重根二重根)00 12 C特解特解.e )4(43xxy 002xxCC4321e )( 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程10考研數(shù)學考研數(shù)學(二二)選擇選擇, 4分分函數(shù)函數(shù)xxxxCCyeee221 滿足的一個微分滿足的一個微分方程是方程是.e32)A(xxyyy .e32)B(xyyy .e32)C(xxyyy .e32)D(xyyy 定理定理5.35.3是是的一個特解的一個特解 YxfyxQyxPy,)2()()()( 方程方程是二階非齊

8、次線性微分是二階非齊次線性微分設設 y yYy那么那么與與(2)對應的齊次方程對應的齊次方程(2)的的通解通解.的通解的通解,)1(0)()( yxQyxPy 是二階非齊次線性微分方程是二階非齊次線性微分方程 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程11考研數(shù)學考研數(shù)學(一一)填空填空, 3分分)cossin(e21xCxCyx 設設(C1, C2為任意常數(shù)為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解, 則微分則微分. 022 yyy方程為方程為解解 由所給通解的表達式知由所給通解的表達式知,ir 12, 1是所求是所求由微分方程的特征方程的

9、根由微分方程的特征方程的根,于是特征方程為于是特征方程為, 0222 rr故所求微分方程為故所求微分方程為 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程12特征方程特征方程0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應項通解中的對應項rxkkxCxCCe )(121 sin)(cos)(e121121xxDxDDxxCxCCkkkkx 三、三、n階階常系數(shù)齊次線性方程解法常系數(shù)齊次線性方程解法若是若是k重根重根r若是若是k重共軛重共軛復根復根 i n階階)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 線性微分方程線性微分方程常系數(shù)常系數(shù)形如形如 5.7 常系數(shù)齊次線性

10、微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程13注意注意一個根都對應著通解中的一項一個根都對應著通解中的一項, .2211nnyCyCyCy n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特征方程的每而特征方程的每且每一項各且每一項各一個任意常數(shù)一個任意常數(shù). 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程14例例 求方程求方程解解052)4( yyy的通解的通解.特征方程特征方程052234 rrr021 rr故所求通解為故所求通解為特征根特征根xCCy21 0)52(22 rrr即即和和ir214,3 ).2sin2cos(e43xCxCx 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程15特征

11、根特征根11 r故所求故所求通解通解 xCye1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)12)(1(24 rrr.022)4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例ir 3,2對應的對應的特解特解,e1xy ,cos2xy ,sin3xy ,cos4xxy xxysin5 xxCCcos)(32.sin)(54xxCC () ()()0)1()1(2)1(24 rrrrr0)1)(1(22 rr(單根單根)(二重二重)共軛復根共軛復根 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程16(1) 寫出相應的特征方程寫出相應的特征方程(2) 求出特征根求出特征根四、小結四

12、、小結二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程02 qprr0 qyypy特征根的情況特征根的情況通解的表達式通解的表達式實根實根21rr xrxrCCy21ee21 實根實根21rr xrxCCy2e )(21 復根復根)sincos(e21xCxCyx 求通解的步驟求通解的步驟:(3) 根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況, 得到相應的通解得到相應的通解 ir 2, 1 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程17思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyyyyln)(22 5.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程18思考題解答思考題解答, 0 y,ln)(22yyyyy ,)(lnyyyx 令令yzln 則則0 zz特征根特征根1 r,ee21xxCCz 求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyyyyl