【圖文】度量空間的完備化

1、 由三點(diǎn)不等式 % m , z n d ( z m , xm + d ( xm , xn + d ( xn , z n 1 + 1 + d ( xm , xn % % % % % % % % d (z % m n 1 % % 由此可知 z m是W 中柯西點(diǎn)列。因?yàn)?T 是 X 到 W 上等距映射，令 zm = T z m % % 則 zm X 中柯西點(diǎn)列，令 x = z ，則 x X，又由（4） 是 m n % % % % % % 1 % % 1 d ( x n , x d ( x n , z n + d ( z n , x < + d ( z n , x = + lim d ( zn

2、, zm n n m % % 但上式右邊當(dāng) n 足夠大時(shí)，可以小于事先給定的任意正數(shù) ，所以lim d ( x n , x = 0 因而 X 是完備度量空間。 （4）證明 X 的唯一性 $ $ 如果( X , d 是另一個(gè)完備度量空間，而且 X 與 ( X , d 中稠密子集 等 距同構(gòu)。 作 X 到 X 上映射 如下：對任何 ，由 W 在 X 中稠密，存在 W 中 $ $ $ 點(diǎn)列 x n ，使lim x n = x ，但由于 W 與 X 等距同構(gòu)， 也與 X 等距同構(gòu)，因 W T $ x X n W ，易知 $ $ W 等距同構(gòu)，設(shè) 為 W 到W 上的等距同構(gòu)映射，由lim x n = x

3、 n $ $ % % ( xn 是 中柯西點(diǎn)列，由 的完備性，存在 x X 使 lim ( x n = x 。 此 W與 X X n $ % 令Tx= x 首先，這樣定義的 $ 并且lim $ n = x ，則 y n $ $ y y T 與 x 無關(guān)，即若另有 $ ，n W , n = 1, 2,3,L n n $ lim ( x n = lim $ n y n n ( 事實(shí)上， $ $ $ $ y $ $ $ d (lim ( x n , lim ( $ n = lim d ( ( x n , ( $ n = lim d ( x n , $ n = d ( x, x = 0 y y n n

4、 所以 $ lim ( x n = lim $ n y n n % 下證 是X 到 X 上等距映射。對任何 x X ，由于 在 X 中稠密，所以在 % % 中存在點(diǎn)列 x ，使 lim x = x ，同前證明，可知 1 % 為 中柯西 % ( n n W T n W n n 點(diǎn)列，故有 $ x X n $ $ , $ X ，有 W 中點(diǎn)列 x n 映射。又對任何 x y 所以 n $ % ，使 lim 1 ( x n = x ，易知T $ y 和 $ ，使lim x n $ % x = x ，即 T 是映 X n n ( xn X 到 X 上的 n $ = x, lim $ n，= $ y y $ $ y $ $ $ $ y d ( x, $ = lim d ( x n , yn = lim d ( ( x n , ( $ n = d (T x, T $ y n 這證明了 T 是一個(gè)等距映射，所以 X 與 X 等距同構(gòu)。證畢。 如果我們把兩個(gè)等距同構(gòu)的度量空間不加以區(qū)別，視為同一，那么定理1可以改 述如下： 定理1 設(shè) X =