大學(xué)高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)(習(xí)題集精講)

1、第1章函數(shù)§ 1.1 函數(shù)的概念與性質(zhì)1 .絕對值與不等式 (a 0, b 0)(1) xxx；xyxyxy(2) 2 Tab ab (調(diào)和平均值幾何平均值算術(shù)平均值)1 12a b般地， 11 n xx2L xn L 一 K x2xnx1 x2Lxn(3) max a,ba b a bla b a b1 ； min a, b 22222.函數(shù)概念與性質(zhì)對變量x D的每一個(gè)確定值，變量 y按某確定規(guī)則f ,都有且只有一確定值與之對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)，記為y f(x), x D。注意：定義域 D和對應(yīng)規(guī)則f是函數(shù)相等的兩要素。(1)無關(guān)性 y f(x) f(t) x,t D單

2、調(diào)性x1, x2 I , x1 x2f(x1)f (x2)f(x)單調(diào)遞增f(x1)f(x2)f(x)嚴(yán)格單增f(x1)f (x2)f(x)單調(diào)遞減f(x)f(x2)f(x)嚴(yán)格單減c-/田沖 f( x) f(x)f(x)為偶函數(shù)，對稱于y軸(3f ( x) f (x)f(x)為奇函數(shù)，對稱于原點(diǎn)常用有界函數(shù)：sin x 1, cosx 1 ,(,)；注意：函數(shù)的奇偶性是相對于對稱區(qū)間而言,若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，則不是奇/偶函數(shù)。(4)周期性若 f(x T) f (x) , T0,則稱為f (x)的周期。(5)有界性若x D, f (x)M 0 ,則稱f(x)在D上有界。arcsinx23.

3、復(fù)合函數(shù)arccosxarctanxarccotx設(shè)y f(u)的定義域?yàn)镈f ,(x)的值域?yàn)閆 ,且Df Z(空集)，則稱y f (x)為x的復(fù)合函數(shù)。4.反函數(shù)設(shè)y"x)y f (x)定義域?yàn)镈定義域?yàn)閆值域?yàn)閆值域?yàn)镈注意：正反函數(shù)的圖形對稱于直線y x；嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);f f 1(x) x x f(x)的 Zf； f 1 f (x) x x f(x)的 Df5 .初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次復(fù)合而成的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。基本初等函數(shù)：塞函數(shù) y x ( 為實(shí)數(shù))；指數(shù)函數(shù)y ax ( a 0, a 1)；對數(shù)函數(shù)ylog

4、a x (a 0, a 1)；三角函數(shù) ysin x , cosx, tanx , cotx , secx, cscx ；反三角函數(shù) y arcsin x, arccosx , arctanx , arc cotx .6 .分段函數(shù)與哥指函數(shù)分段函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)，因?yàn)橐话阍谄涠x域內(nèi)不能用一個(gè)解析式表示；哥指函數(shù)y xx一般不屬于初等函數(shù)，因?yàn)樗鼰o法用初等函數(shù)復(fù)合而成；但若規(guī)定xxln xx 0,則y x e ,是初等函數(shù)。§ 1.2 典型例題解析例3已知不等式|2x 1 |x 1 ,用區(qū)間表示不等式的解集1分析 斛此不等式應(yīng)先去掉絕對值付方，由于 x , x 1分別為2x 1

5、 , x 1的21 _ 1 _零值點(diǎn)，于是將區(qū)間劃分為(，鼻)，-,1, (1,)，再考慮各小區(qū)間x的取值范圍及端點(diǎn)，最后綜合得出結(jié)論。112x 1 1 x (, -) x 2 (,-)1x 0( -,1)x 2 (1,)，1解法 1 2x 1 x 1 2x 1 1 x( -,1)2x 1 x 1(1,)x (, 2)U(0,)解法 2 (2x 1)2 (x 1)2x(x 2) 0 x (, 2) U(0,)2 .函數(shù)定義域的求法解題思路(1)分式的分母0,對數(shù)的真數(shù)0,偶次方根下的表達(dá)式0,反正弦、反余弦號內(nèi)的表達(dá)式絕對值1;(2)復(fù)合函數(shù)的定義域簡單函數(shù)的定義域所構(gòu)成的不等式組的解集。例4

6、求下列函數(shù)的定義域(1) yarcQ1限1 2) 4x2 3x 4J/解 1 lg(x 2) 0x 2 0x2 3x 4 03x5x 12x 2x 1;x 4(2,4) U 4,5(2)已知f(x)的定義域是0,1，試求 f (x a)f (x a) (a 0)的定義域解 f(x a)的定義域：0 x a 1f (x a)的定義域：0 x a 1f(x a) f (x a)的定義域：xa,1 a I a,1 a,1 -,1 a a, a 一時(shí)，定乂域?yàn)?a,1 a ；2故取交集定義域?yàn)閍,1 a3 .函數(shù)解析式的求法解題思路(1)將已知變量湊成與 f ()內(nèi)的中間變量一致的形式，利用函數(shù)的無關(guān)

7、特性求解;(2)對f()內(nèi)作變量代換，再利用無關(guān)特性與原方程聯(lián)立求解。(3)由f (x)的表達(dá)式求f(x)的一般方法是令u (x),從中解出x1(u)，將其代入f (x)中可得f(u)(2)求下列函數(shù)解析式一一 一 1已知 af(x) bf () x(ab),求 f(x)；一人1一解令t代入原式得xbf(t)af(11-)sin(-),則 tt(3)解法f (x解法(1)af(x) bf (bf (x) af (已知1) x-) x-) xsin x. , 1、 sin()x1f(x x) 1nx1421n(XIn x21n(x41)1in 2t,則,1f(t) -in1t2 22f(x1一)

8、 x)x1f (x 一) x1 in( x4一、1， .f (x) -2 (asin xa b1),求 f(x);2xx4 1lin-2 x21三-2x1in 2f(x)In x1 ,21n(xbsin-) x(x j 21.t,則 f(t) -int求下列函數(shù)解析式f(x)已知f(ln解令u In x2u ee2(x) 1e2 (x)1(2)已知 f (in x)in x11n 2x211理三11),和原式相加得1)21nL1)(x)的定義域?yàn)?uf(u)與 e(x)1 in221nf(x)(x1)2 x1x2 20,且(x)(x)(x)一 in x 2 1 e(x 0)(x)x eu，則f

9、(u)eu 1eu 1 u 0u 0 eu 1 u 0f(x)ex 1x 0xx 04 .利用定義確定函數(shù)的有關(guān)特性 解題思路(1)若f (x) f( x) 0,則f(x)為奇函數(shù);g(x)分別是以T1,(2)若T是f (x)的周期，則f ax b的周期為T / a ;若f (x),T2 (T1 T2)為周期的函數(shù)，則 f(x) g(x)的周期為T1, T2的最小公倍數(shù)。(3)將函數(shù)取絕對值，由不等式的縮放法或求函數(shù)的最值確定函數(shù)的有界性;(4)若 x1 x2，且 f (x2)f(x1) 0, f(x2)/f(xj 1,則可確定 f(x)單增性。11、例 7 設(shè) F (x y) F (x) F

10、(y),求 y F (x)( - x) , (a 0, a 1)的奇偶性2 1a1斛設(shè)g(x)-xxa 1, 、 a 1,g( x)2(1 ax)2(1 a x)ax 12(1 ax)g(x)由于 F(x y) F(x) F(y),分別令 y 0, yF(x)F(x) F( x) F(0) 0 F( x)即F(x)為奇函數(shù)，故y F (x)(1 7 J)為偶函數(shù)。例8設(shè)f (x)在 a,a (a 0)上有定義，證明：f (x)可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和，且表示法唯一分析 若(x) (x),( x) (x),則有 f(x) (x)(x),f( x) (x)(x),由此引入輔助函數(shù)1.1.

11、證設(shè)(x) -f(x)f(x) ,(x)2f(x)f (x)11(x)2f(x)f(x)2f(x)f(x) (x)唯一性：設(shè)另有偶函數(shù)1(x)及奇函數(shù)1(x)使得f(x) 1(x)1(x),則(x)(x) i(x) i(x)(x) i(x) i(x)(x)(x) i( x) i( x) ( x)(x) i(x) i(x)(x)解得(x) i(x),(x) i(x),即表示法唯一。例9證明下列函數(shù)為周期函數(shù)，并求其最小正周期(1) f (x) sin(2x 3)2解法1由于sin x的周期為2 ,故所求周期為T 2解法 2 f(x) sin(2x 3) sin(2x 3 2 ) sin 2(x)

12、 3 f(x ),T(2) y sin x cosx解 f(x ) 2sin(xcos(x -) 2c0sxsin x f (x)例11設(shè)f(x)在(，)上有定義，證明:(1)若y f(x)的圖形關(guān)于直線 x a (a 0)對稱，則f(x a) f (a x)；(2)若y f(x)的圖形關(guān)于直線x 1, x 2對稱，則f(x)是周期的偶函數(shù)。分析(1)若y f(x)的圖形關(guān)于直線x a對稱點(diǎn)為(x, y)與(x,y ),則x 2a x, y y f (x) f (2a x)反之，若f(2a x) f (x),則y f(x)關(guān)于直線x a對稱證(1)必要性：x R,有f(x) f(2a x),則

13、f (x a) f 2a (x a) f (a x)充分性：若x R,有f(x a) f(a x),則f (x)fa (x a) f a (xa)f (2a x)(2)由題設(shè)知 f(x1) f (1 x),f(x 2)f (2x),則f(x) f1 (x 1) f1 (x 1)f (2x) f (x2)f( x) f 1 (x 1) f 1 (x 1)f(2 x) f (x)故f (x)是以2為周期的偶函數(shù)例12判斷下列函數(shù)的有界性(1) y2x 22x 2解由a2b2x2 2x2 (x 1)21 2( x1),則例13設(shè)(1)(2)(3)2x2x2 2x 22x 2(x 1)22(x 1)2

14、(x 1)f(x)是 0,皿是(0,x2x 22x 22x 22x 2x0,0),證明:的單減函數(shù),)的單減函數(shù),f(x)f(x)f( x)f( x)f(f(f(a b) f(a)f(b)0,b0)證(1)由題設(shè)知,1, 0由于f (x)單減，有f( x)f(x)，f(x)(2)由于f(3)令 x例14分析:(2)f(x)f(x)f(x) f(x) f(x)x) xf(x)xf( x) f(x)皿-,則x)f(x), f( x)f(x)f( x) f( x) f(x)f(b)f (a b)求下列函數(shù)的反函數(shù) 求分段函數(shù)的反函數(shù),；(x2 1) 0y 27(2 x) 13x的不同取值范圍對應(yīng)原來函數(shù)的值域12解當(dāng)0 x 1時(shí)，y -(x 1)的值域?yàn)?-y 1 x 2y 11 一 、當(dāng)1 x 2時(shí)，y (2 x)的值域?yàn)?4-一1 yx 3y 232y 1 1 y 1、,2x 1故 x2y43y 21 y 3x 23例15在底為a,高為h的三角形中內(nèi)接一矩形，將矩形面積S表示為其底x的函數(shù)。解 設(shè)矩形高為y,由三角形相似關(guān)系得-hyy h 生，則h aach、S xy x(a x)a例16某商場以每件a元的價(jià)