圓錐曲線定值結(jié)論.

1、橢圓中的一組“定值”命題圓錐曲線中的有關(guān)“定值”問(wèn)題，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。筆者在長(zhǎng)時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐中，以橢圓為載體，探索總結(jié)出了橢圓中一組“定值”的命題，當(dāng)然屬于瀚宇之探微，現(xiàn)與同學(xué)們分享。希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助，也希望同學(xué)們能在雙曲線、拋物線等的后續(xù)學(xué)習(xí)中，能夠利用類比的方法，探索總結(jié)出相關(guān)的結(jié)論。命題 1 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l 與橢圓 x2y21(a b 0) 相交于 M、N兩點(diǎn)， P 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，a2b2直線 PM、 PN的斜率都存在，則b 2k PM kPN 為定值2 .a證明：設(shè) P( x0 , y0 ) ，M (x1 , y1 ) ，N (x1 ,y

2、1 ) ，則 kPMk PN而點(diǎn) P、 M 均在橢圓 x2y21上，故 y02b2 (1x2) ， y122202abay0y1y0y1y02y12x0x1x0x1x02x12（* ），2b2 (1x12 ) ，代入（ * ）便可得到 akPMkPNb2a2 .練習(xí)： 已知 A、B 分別是橢圓 x2y 21 的左右兩個(gè)頂點(diǎn)， P 是橢圓上異于A、B 的任意一點(diǎn)，169則 kPAkPB.（答案：9 ） .16命題 2設(shè) A、B、 C是橢圓 x 2y21(ab0) 上的三個(gè)不同點(diǎn)，B、 C關(guān)于 x 軸對(duì)稱，直線a 2b2AB、 AC分別與 x 軸交于 M、N 兩點(diǎn)，則 OM ON 為定值 a2 .

3、證明：設(shè) A ( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， C(x2 ,y2 ) ，則直線 AB的方程為 yy1y1y2(xx1 ) ，x1x2令 y0得 M點(diǎn)的橫坐標(biāo) xMy1x1x2x1x1 y2x2 y1 ，y1y2y2y1同理可得 N 點(diǎn)的橫坐標(biāo) xNx1 y2x2 y1 ，于是 OM ON xM xNx12 y22x22 y12 ，y2y1y22y12x12y12x12 y22y12 y222由于a2b21a 2b 2y2x12 y22x22 y1222，222222a2y2y1x2y21x2 y1y2 y1y12a2b2a 2b 2因此有 OMONxMxNx12 y22

4、x22 y12a2.y22y12練習(xí)：設(shè) B1，B2x2y 21的上下兩個(gè)頂點(diǎn)，P 是橢圓上異于 B1， B 2 的動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓1625直線 PB1， PB 2 分別交 x 軸于 M、 N 兩點(diǎn)，則 OM ON.（答案： 25） .命題 3過(guò)橢圓 x 2y 21(a b0) 上一點(diǎn) P(x0 , y0 ) 任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交a 2b 2橢圓于 M、 N 兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值 b 2 x0 .a2 y0證明：設(shè)直線PM 的方程為 y y0k ( xx0 ) ，則直線PN 的方程為 yy0k( xx0 ) ，聯(lián) 立yy0k( x x0 )x2y 21組 成 方 程 組 ，

5、 消 去 y可 得和b2a2( a 2k 2b2 ) x22a 2 k ( y0kx0 ) x a 2 ( y0kx0 ) 2a 2 b20. 設(shè) M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ， 則x1x02a2 k ( y0kx0 )， 可 得(a 2k 2b2 ) x02a 2ky0，同理可得a 2k 2b2x1a 2 k 2b 2( a2 k 2b 2 ) x02a 2 ky02(a2 k 2b2 )x04a 2 ky0x2a2 k 2b2， 則 x1x2a 2 k 2b 2， x1x2a 2 k 2b2， 于是y1y2k( x1x0 )y0k( x2 x0 )y0k( x1

6、x2 )2kx04b 2kx 0， 故直線 MN的斜率a 2 k2b2為y1y2b 2 x0.x1x2a 2 y0練習(xí)：已知橢圓 x2y 21，過(guò)點(diǎn) A (2, 3 ) 作兩條傾斜角互補(bǔ)且不平行于坐標(biāo)軸的直線，162分別交橢圓于P、 Q兩點(diǎn)，則直線PQ的斜率為.（答案：3） .12命題4 分別過(guò)橢圓 x 2y 21( ab0) 上兩點(diǎn) P(x0 , y0 ), Q ( x0 , y0 ) 作兩條斜率互為相反數(shù)a 2b 2的直線交橢圓于M、 N 兩點(diǎn)，則直線MN 的斜率為定值b2 (x0x0 ).a2 ( y0y0 )證明： 設(shè)直線 PM的方程為 yy0k ( xx0 ) ，聯(lián)立yy0k(x x

7、0 )和x2y21 組成方程組，消去ya2b 2可得 (a 2 k 2b 2 ) x 22a 2k ( y0kx0 )x a 2 ( y0kx0 ) 2a2 b20 . 設(shè) M ( x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) ，則x1x02a2 k ( y0kx0 )，可得 x1(a 2 k 2b2 ) x02a 2ky 0 ，a 2k 2b2a 2 k 2b2同理可得 x2(a 2k 2b 2 ) x02a 2 ky0，則 x1x2(a 2 k 2b2 )( x0x0 )2a 2 k( y0 y0 ) ，a 2 k 2b 2a2 k 2b2x1x2(a 2k 2b 2 )( x0x0 )

8、 2a 2 k( y0y0 )，a 2k 2b 2于是有y1y2k( x1x0 ) y0k( x2x0 ) y0k (x1x2 ) k( x0x0 ) y0y02b 2 k( x0x0 ) (a 2 k 2b2 )( y0y0 )因?yàn)辄c(diǎn)x02y021，a 2 k 2b 2.P、 Q 都在橢圓上，所以2b 2ax02y021 ，兩式相減可得y0y0b2 (x0x0 ) ，同理可得y1y2b2 ( x1x2 ) ，令a2b 2x0x0a 2 ( y0y0 )x1x2a 2 ( y1y2 )y0y0tb 2 ( x0x0 )，x0x0ta 2 ( y0y0 )，則y1y2b2 ( x1x2 )b 2

9、 ( a2 k 2b 2 )( x0x0 ) 2a 2 k( y0y0 )，將、代入便有x1x2a2 ( y1y2 )a 2 2b 2 k( x0x0 ) (a 2 k 2b2 )( y0y0 )y1y2b2 ( x0x0 )b 2 ( x0x0 )x1x2a 2 ( y0，即直線 MN的斜率為定值a 2 ( y0.y0 )y0 )練習(xí)： 分別過(guò)橢圓 x 2y 21上兩點(diǎn) A (2,2), B(6,1) 作兩條傾斜角互補(bǔ)且不平行于坐標(biāo)84軸的直線，交橢圓于另外兩點(diǎn)P、Q，則直線 PQ的斜率為.（答案：623222與圓錐曲線焦點(diǎn)弦相關(guān)的一個(gè)優(yōu)美結(jié)論眾所周知，焦點(diǎn)弦的性質(zhì)能夠體現(xiàn)圓錐曲線幾何特征，

10、是研究圓錐曲線時(shí)的主要對(duì)象之一，在歷屆高考中也占有重要的地位筆者根據(jù)焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角、焦點(diǎn)分焦點(diǎn)弦所成的比及圓錐曲線的離心率e 之間的關(guān)系得出一個(gè)優(yōu)美結(jié)論，并結(jié)合高考試題彰顯了它的重要作用，希望能和讀者共勉一結(jié)論及證明定理已知焦點(diǎn)在x 軸上的圓錐曲線C ，經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)F 的直線交曲線于A 、 B 兩點(diǎn)，直線的傾斜角為， AFFB ，則曲線 C 的離心率 e 滿足等式：ecos1 1下面以橢圓為例證明之2 ）.以AB證明： 如圖 1，弦 AB 過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F ，左準(zhǔn)線為 l ，由 AFFB可設(shè) |AF |t ， | FB | t ( t0 ) ，當(dāng)直線 AB 的傾斜角為銳角時(shí) ，如圖（ a

11、 ），顯然1 ，分別過(guò) A、B 兩點(diǎn)作 AA1l 、 BB1l ，垂足分別為A1、B1 ，過(guò) B點(diǎn)作 BDAA1 ，由橢圓的第二定義可得ADAA1BB1AFBF(1)teee，在 RtADB 中， cosAD(1)t1 ，故 ecos1 ，ABe(1)te( 1)1如果點(diǎn) A 、 B 的位置互換，則01，則有 ecos11yyllA1DAA1AB1FOxFOxBB1DB(a)(b)圖 1當(dāng)直線 AB 的傾斜角為鈍角時(shí) ，如圖（ b ），顯然01，同理在 Rt ADB 中，可得 cos(BD(1)t1，故 ecos1 ，)ABe(1)te(1)1如果點(diǎn) A 、 B 的位置互換，則1，則有 eco

12、s11當(dāng)直線 AB 的傾斜角為直角時(shí) ，顯然 cos0 且1 ，等式成立；當(dāng)直線 AB 的傾斜角0 時(shí)，弦 AB 為橢圓長(zhǎng)軸，顯然易得原等式也成立綜上，在橢圓中等式ecos1 恒成立證畢1當(dāng)圓錐曲線 C 為雙曲線（如圖2）時(shí)，同樣可以證明等式ecos1 成立；當(dāng)曲線 C 為拋1物線（如圖 3）時(shí)，離心率 e 1，等式簡(jiǎn)化為cos1 （其中0 ）1總之，在任意圓錐曲線中， 對(duì)于其焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角，焦點(diǎn)分對(duì)應(yīng)弦的比值（0 ），總有等式 ecos1 成立，它將看似沒(méi)有必然聯(lián)系的三個(gè)量有機(jī)地結(jié)合在一起，顯得如此和諧、1優(yōu)美，更加體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力ylylA1DD AAA1FxOFxOB1 BB1B

13、圖 2圖 3由于在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，大多遇到的焦點(diǎn)弦AB 的斜率 k 是存在且不為0的，所以，根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，不難得出：CFABAB推論 1 已知焦點(diǎn)在 x 軸上的圓錐曲線，經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，直線、的斜率為 k （ k 0 ）， AF FB，則曲線 C 的離心率 e 滿足等式e1 k 21 1當(dāng)圓錐曲線的焦點(diǎn)在y 軸上時(shí)，同理還可得推論 2已知焦點(diǎn)在 y 軸上的圓錐曲線C ，經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn) F 的直線交曲線于A 、 B 兩點(diǎn)，若直線ABk k0 AFFBC的離心率 e 滿足等式1，的傾斜角為，則曲線esin，斜率為 （），1e 111 k 21（推論的證明從略，讀者可

14、以自行完成）二結(jié)論的應(yīng)用例 1（ 2008 年全國(guó)卷）已知F是拋物線Cy24x的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為 1 的直線交C于A，：B 兩點(diǎn)設(shè) FAFB ，則 FA 與 FB 的比值等于解析： 焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角為45，F(xiàn)AFB ，則由定理可得 cos451 ，1所以3 22 例 2（2008 年江西卷） 過(guò)拋物線 x22 py ( p0) 的焦點(diǎn) F 作傾斜角為 30 的直線， 與拋物線分別AF交于 A 、 B 兩點(diǎn)（ A 在 y 軸左側(cè)），則FB解析： 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知|AF | |FB |，設(shè)AF，由推論2 可得 sin 301，F(xiàn)B1所以13例 3（ 2009 年全國(guó)卷） 已知雙曲線x2

15、y21 a0, b0的右焦點(diǎn)為 F ，過(guò) F 且斜率為3C： 22ab的直線交 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，若 AF4FB ，則 C 的離心率為（）A 6B 7C 5D 95585解析： 由推論 1 得 e1 （2416，故選 A3）415x2y21ab03，過(guò)右焦點(diǎn) F 且斜例 4（ 2010 全國(guó)卷文理） 已知橢圓 C：2b2的離心率為a2率為 k （ k0 ）的直線與 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn)若 AF3FB ，則 k（）A 1B2C 3D2解析： 由推論1 得31k 231 ，解得 k2，故選 B231例 5（2010全國(guó)卷文理）已知F 是橢圓 C 的一個(gè)焦點(diǎn)，B 是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段B

16、F 的延長(zhǎng)uuuruuur線交 C于點(diǎn) D，且 BF2FD ，則 C 的離心率為解析： 如圖 4，由題意可得 |OF |c， | BF |a ，y設(shè)直線 BD 的傾斜角為，則 coscBe ，a由定理可得 e2211 ，F(xiàn)Ox213D3所以 e圖 43由此可見，本文的結(jié)論在解決與圓錐曲線焦點(diǎn)弦相關(guān)的問(wèn)題時(shí)非?？旖?，既避免了繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，又節(jié)省了不少時(shí)間，可謂是圓錐曲線有力工具之一直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題典型例題：例1.（2012 年遼寧省文5 分）已知 P，Q為拋物線2x2y上兩點(diǎn)， 點(diǎn) P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過(guò)、分別作拋物線的切線，兩切線交于，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為【】P QA(A) 1(

17、B) 3(C)4(D)8【答案】 C?！?考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點(diǎn)的求法?！窘馕觥奎c(diǎn)P， Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，代人拋物線方程得P， Q的縱坐標(biāo)分別為8， 2。由 x22y 得 y1 x2 ， yx 。過(guò)點(diǎn) P， Q的拋物線的切線的斜率分別為4， 2。2過(guò)點(diǎn) P， Q的拋物線的切線方程分別為y 4x8,y2x2 。聯(lián)立方程組解得x1, y4 。點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為4。故選 C。22例 2. （ 2012 年湖北省理5 分）如圖，雙曲線 x2- y2 =1 a> b>0的兩頂點(diǎn)為 A1,A2 ，虛軸兩端點(diǎn)為abB1 ,B2 ，兩焦點(diǎn)為 F1,F2 。

18、若以 A1 A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1 B1F2 B2 ，切點(diǎn)分別為 A， B， C，D。則（）雙曲線的離心率 e=；（）菱形 F1B1F2 B2 的面積 S1 與矩形 ABCD 的面積 S2 的比值 S1=。S2【答案】（）5+1 ；（）5+2 。22【考點(diǎn)】雙曲線的離心率及實(shí)軸虛軸的相關(guān)定義，一般平面幾何圖形的面積計(jì)算?！窘馕觥浚ǎ┯梢阎?bc=ab2 +c2b2 c2 =a2 b2 +c2c2 -a2c2 =a2 2c2 -a2c4 -3a2c2 +a4 =01+52e4 -3e2 +1=0 ，解得 e2 = 3+5e=3+5= 6+2 5=5+1。42242（）由已知得S1=2bc

19、，又直線 B2 F2 的方程為 y=- bx-c，而直線 OA 的方程為 y= c x ，cbx=2b2 c2聯(lián)立解得b +c，y=bc222b +cS2 =4b2 cbc2，2+c22+c2bb22222222S12bcb +c2c -a2e -15+2 。= 2 c2 -a2 c2 = 2 e2 -1 e2 =S2 =4b2c bc2 =2b2c22222+c2b +cb例 3.（ 2012 年全國(guó)大綱卷理12 分）已知拋物線 C : y(x1)2 與圓 M : (x1)2( y1)2r 2 (r0)有一個(gè)公共點(diǎn) A ，且在 A 處兩曲線的切線為同一直線 l 。2（ 1）求 r ；（ 2）設(shè) m 、 n 是異于 l 且與 C 及 M 都相切的兩條直線，m 、 n 的交點(diǎn)為 D ，求 D 到 l 的距離?！敬鸢浮拷猓?（ 1）設(shè) A(x0,( x01)2 ) ，對(duì) yx ( x1)2 求導(dǎo)得 y2( x1) 。直線 l 的斜率 k2( x01)，當(dāng) x01時(shí)，不合題意， x0 1。圓心為 M (1,1 ) ， MA 的斜率 k(x01) 21x012 ，2( x01)21由 lMA 知 kk1，即 2( x0 1)x0121，