平行四邊形(提高)知識講解

1、初二數(shù)學優(yōu)質(zhì)課時訓練、專題匯編(附詳解)平行四邊形(提高)【學習目標】1理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理；2. 能初步運用平行四邊形的性質(zhì)進行推理和計算，并體會如何利用所學的三角形的知識解 決四邊形的問題.3. 能綜合運用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)定理進行證明和計算. 【要點梳理】要點一、平行四邊形的定義.平行四邊形ABCD己平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 作“LI ABCD，讀作“平行四邊形 ABCD .要點詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線 .相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相 對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；

2、相對的角為對角，有兩對；對角線有 兩條.要點二、平行四邊形的性質(zhì)1. 邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊平行且相等；2. 角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補，對角相等；3. 對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分；4. 平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.要點詮釋：(1)平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.(2) 由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進行選擇.(3) 利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.要點三、平行四邊形的判定

3、1. 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2. 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4. 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點詮釋：(1)這些判定方法是學習本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定 同一個平行四邊形時，應(yīng)選擇較簡單的方法也可作為“畫平行四邊(2)這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)， 形”的依據(jù).要點四、平行線間的距離1. 兩條平行線間的距離：(1) 定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.(2

4、) 平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長度 兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.2. 平行四邊形的面積：平行四邊形的面積=底x高；等底等高的平行四邊形面積相等.【典型例題】 類型一、平行四邊形的性質(zhì)1、如圖，平行四邊形 ABCD的周長為60cm，對角線交于 O, AOB的周長比 BOC? 的周長大8 cm，求AB, BC的長.【答案與解析】 解：四邊形ABCD是平行四邊形. AB = CD AD= BC, AO= CQ ABCD勺周長是60. 2AB+ 2BC= 60,即 AB+ BC= 30, 又 AOB的周長比 BOC的周

5、長大8.即(AO+ OB+ AB) ( BO OCT BC) = AB BC= 8, 由有*AS+ BC=3Q衛(wèi)5 = 19, 解得50=11. AB BC的長分別是I9cm和iicm .【總結(jié)升華】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，利用方程的思想解題 舉一反三:【變式】(優(yōu)質(zhì)試題春？安岳縣期末)如圖，平行四邊形ABCD中，點E是DC邊上一點，連接AE BE,已知AE是/DAB的平分線，BE是/CBA的平分線.(1) 求證：AE1 BE(2) 若AE=3 BE=2求平行四邊形 ABCD的面積.【答案】解：(1 )四邊形ABCD是平行四邊形，/ ABCk BAD=180 , BE AE分別平分/ A

6、BC和/ BAD1/ ABE+Z BAE= X 180° =90°,2初二數(shù)學優(yōu)質(zhì)課時訓練、專題匯編（附詳解）/ AEB=90 , 即 AE1 BE（2 ）v AEl BES abe=AEX BE 2=3,平行四邊形ABCD勺面積=2SaabE=6.類型二、平行四邊形的判定If 2、如圖所示， ABCD中，延長AB到E,延長CD到F,使得BE= DF. 求證：AC與EF互相平分.【思路點撥】 要證明AC EF互相平分，只需證明AC EF是某一平行四邊形的兩條對角線即可，這樣，本題就轉(zhuǎn)化為證明四邊形AECF是平行四邊形的問題了.【答案與解析】證明：方法一：連接 AF、CE A

7、BCD中, AB= DC AE/ CF./ CFE=/ AEF.又 DF =CF = AE,而 EF= FE,. CFEA AEF,/ CEF=/ AFE CE / AF,四邊形AECF是平行四邊形.即AC與 EF互相平分.方法二：連接 AF、CE,在 ABCD中, D型 AB./ DF = BE,. CF = AE,. CfZaE,四邊形AECF為平行四邊形，即 AC EF互相平分.【總結(jié)升華】（1）本題也可直接證 COFA AOE利用其他的判定方法來證，在本題中，證 法二相對來說比較簡單.（2）由于平行四邊形的判定方法較多，所以經(jīng)常出現(xiàn)可用多種方法 證明，此時應(yīng)選擇簡單的方法.舉一反三:【

8、變式】以銳角 ABC的邊AC BC向形外作等邊 ACD等邊 BCE作等邊 ABF連接DF、【答案】證明：在等邊 ADC和等邊 AFB中=AC= DC（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.如圖，口 ABCD中,/ ABC=60 , E、F分別在 CD和 BC的延長線上，AE/ BD EF丄BC, EF=3,則AB的長是/ DAC=/ FAB= 60 ° ./ DAF=/ CAB又 AD = AC, AF= AB. ADFA ACB(SAS).DF = CB= CE同理， BACA BFE,. EF四邊形DCEF是平行四邊形【思路點撥】根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出 CE長，利用勾股定理即可

9、求出 AB的長.【答案】Vi【解析】 解：四邊形ABCD是平行四邊形, AB/ DC AB=CD/ AE/ BD,四邊形ABDE是平行四邊形, AB=DE=CD即D為CE中點,/ EF丄 BC,/ EFC=90 ,AB/ CD/ DCF玄 ABC=60 ,/ CEF=30 ,設(shè) CF=X,貝U CE=2x,勾股定理得，x2+32= （2x） 2，解得x=J3 , CE=2胎,故答案為：UH 【總結(jié)升華】 本題考查了平行線性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，此題綜合性比較強.類型三、構(gòu)造平行四邊形，應(yīng)用性質(zhì)4、在等邊三角形ABC中， 別在AC, AB和BC上，試說明：P 為 A ABC內(nèi)一點，PD/ AB, PE/ BC, PF/AC , D, E, F 分PD+ PF+ PE= BA.CC【答案與解析】 解：延長FP交AB于G,延長