平面向量數(shù)量積運算專題(附答案)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載平面向量數(shù)量積運算題型一 平面向量數(shù)量積的基本運算例1（1）（2014天津）已知菱形 ABCD的邊長為2, / BAD = 120°點E, F分別在邊 BC, DC 上，BC = 3BE , DC =入DF若Ae Af = 1,貝U入的值為已知圓0的半徑為1 ,PA,PB為該圓的兩條切線，A,B為切點，那么PA PB的最小值為（）B. 3+72A. 4+2變式訓(xùn)練1（2015湖北）已知向量OA丄AB, |OA|= 3，則OA OB =題型二 利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角（1）（2015重慶）若非零向量a, b滿足|a|=普，且（a b）丄（3a+ 2b），則a與b

2、的夾角nA.nn3 nB.2 c-D. n若平面向量a與平面向量b的夾角等于3，|a|= 2, |b|= 3，則2a b與a+ 2b的夾角的余弦值等于（）1a.261 1 1B. - 26c.石D.-方變式訓(xùn)練2 （2014課標(biāo)全國I ）已知A, B, C為圓0上的三點，若Ao = 2（Ab + AC）,則AB與AC的夾角為題型三 利用數(shù)量積求向量的模例3 （1）已知平面向量 a和b, |a|= 1, |b|= 2,且a與b的夾角為120°，則|2a + b|等于（）A.2B.4C.2V5D.6已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, / ADC = 90 ° AD =

3、2, BC= 1 , P是腰DC上的動點,則|PA+ 3PB|的最小值為1變式訓(xùn)練3 （2015浙江）已知e1 ,2是平面單位向量，且6 02 =-若平面向量b滿足b e1 = b e?=1，貝y |b|=高考題型精練1.（2015山東）已知菱形 ABCD 的邊長為a, / ABC = 60 °則BD CD等于（）B. 4a24A.討D.|a22.（2014 浙江）記 maxx,y=y,x> y,x<y,y , Xy,minx,y = 5 設(shè)a,b為平面向量，則（）lx, x<y,A.min| a + b|, |a b|< min| a|,|b|B.min|

4、a + b|, |a b| > min| a|,|b|2 2 2 2C.max|a+ b| , |a b| w |a| + |b|D.max| a+ bf, |a bf > |a j+ |b|l3.（2015湖南）已知點A, B, C在圓x2+ y2= 1上運動，且AB丄BC若點P的坐標(biāo)為（2,0）,則|PA+ pB+pc|的最大值為（）A.6B.7C.8D.9AB4.如圖，在等腰直角 ABO中，OA = OB= 1, C為AB上靠近點A的四等分點，過 C作的垂線I, P為垂線上任一點，設(shè) Oa= a, OB= b, OP = p,貝y p （b a）等于（）A. 2b.23C.2

5、3D.25.在平面上，ABi± AB2, |OBi|= |OB2|= 1, AP = ABi+ AB2.若|OP|<2，則 OA|的取值范圍是(A.(0,當(dāng)B芒，當(dāng)c.f5,萌D.呼,V26.如圖所示， ABC 中, / ACB= 90。且 AC= BC= 4，點 M 滿足 BM = 3MA，則CM CB等于（B.3D.6A.2C.47. （2014安徽）設(shè)a, b為非零向量，|b|= 2|a|,兩組向量xi,X2,X3,X4和yi,y2,yy4均由2個a和2個b排列而成.若X1 yi + x? y? + X3 y3 + x4 y4所有可能取值中的最小值為 4|a|2，則a與b

6、的夾角為（）2 n n nA.亍 B.n C.n DO8. (2014江蘇)如圖，在平行四邊形 ABCD中，已知 AB= 8, AD = 5, CP = 3pD, AP BP = 2, 則AB AD的值是9. 設(shè)非零向量a, b的夾角為B,記f(a,b)= a cos0- bsina若e1,e?均為單位向量，且 &e2 =吉L則向量f(e1, e2)與f(e2, - C)的夾角為10. 如圖，在 ABC 中，O 為 BC 中點，若 AB = 1, AC = 3, AB, AC> = 60° 則 |OA|=311.已知向量 a = (sin x, 4), b= (cos

7、x,- 1).當(dāng) a / b 時，求 cos2x sin 2x 的值;12.在 ABC中，AC = 10,過頂點C作AB的垂線，垂足為 D, AD = 5,且滿足AD = DB.求 |AB- AC|;(2)存在實數(shù)t > 1,使得向量x = AB+ tAC, y= tAB + AC,令k = xy,求k的最小值.平面向量數(shù)量積運算題型一 平面向量數(shù)量積的基本運算例1（1）（2014天津）已知菱形ABCD的邊長為2，/ BAD = 120°點E, F分別在邊BC,DC上，BC = 3BE , DC =A DF若Ae AF = 1,貝U A 的值為已知圓0的半徑為1 ,PA,PB為

8、該圓的兩條切線,A, B為切點，那么PA PB的最小值為（A. 4+邁B. 3+/2D. 3+ 2yJ2答案(1)2(2)D解析如圖,ST T T TT 1 T T 1 T11AE AF = (AB + BE) (AD + DF) = (AB +7BC) (AD + "DC) = AB AD +"AB DC + 7BC AD 3AA3BC DC111442102=2 X 2X cos 120 ° f 2 X 2 +1X 2X 2 + V 2 X 2 X cos 120 2 + 4a+ 4 -= -2又 AE aF = 1,護(hù) 3 = 1，亠 2.(2)方法設(shè) |P

9、A|= |PB|= X, / APB = 0,0則tan -=2 01 tan 72 4從而cos0_2x 1V 92 0 X + 1 .1 + tan 2PA PB = |PA| | PB| cos 02.422 X 1 X XX 21-7X + 1 X + 1 眉 + 1 $- 3牡2 + 1 ” 2X2+ 1 =x2+ 1 + 命-3込 3, 當(dāng)且僅當(dāng)X2+1 =2, 即X2述1時取等號，故PA PB的最小值為2羽3.方法二 設(shè)/APB = 0, 0< 0< n,則 |PA| |pb 0.tan 2PApB = |PA|PB|cos 0=2cos 0 tan 2cos2 專2

10、 2 02 0(1 sin 刃1 2sin2 扌)r(1 2sin 0 sin 2Sin2 扌令 x= sin2* O<xw 1,則 pA pB =1 XP2x=2x+ X 3> 2 羽3, 當(dāng)且僅當(dāng)2x=；即x=¥時取等號.故PApB的最小值為2返3.方法三以0為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy, 則圓0的方程為X2+ y2= 1, 設(shè) A(xi, yi), B(xi, yi), P(X0,O), 則PA PB = (x1 x0, y1) (X1 x0, y1)= X1 2X1X0+ x2 y2.由 OA 丄PA? OA PA = (X1, y1)(X1 Xo, y”

11、 = 0 ? xf X1X0+ y2= 0, 又 X2+ y2= 1, 所以 X1X0= 1.從而 PA pB= X2 2xix0+ X2 y2 =x2 2 + Xo (1 Xi)=2x2 + X0 3 3.故PApB的最小值為2承-3.點評（1）平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角，二是利用坐標(biāo)運算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a, b的數(shù)量積a b與代數(shù)中a, b的乘積寫法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“ ”向量的數(shù)量積運算需要注意的問題：a b= 0時得不到a = 0或b= 0,根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有 |a|2= a2,但 |a b|w |a| |b|.變

12、式訓(xùn)練1（2015湖北）已知向量OA丄AB, |OA|= 3，則OA OB =答案 9解析 因為 OA丄AB,所以O(shè)A aB= 0.所以 OA Ob= OA（oA+ AB）= oA2+OA Ab = |OA|2 + 0=32= 9.題型二 利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2（1）（2015重慶）若非零向量a, b滿足|a|=2，且（a b）丄（3a+ 2b），則a與b的夾角nA.nnB-23 nChD. nn若平面向量a與平面向量b的夾角等于3，|a|= 2, |b|= 3，則2a b與a+ 2b的夾角的余弦值等于（）1A. 261B. 26答案（1）A（2）B解析 由(a b)丄(3a +

13、2b)得(a b) (3a + 2b) = 0,即 3a2 a b- 2b2= 0.又/ |a|=嬖冋，設(shè)3a, b= 0,即 3|a|2 |a| |b| s 0 2|b|2= 0,- |b|2-cos 0- 2|b|2= 0. cos 0=¥.又 0< 0< n 0= n記向量2a b與a+ 2b的夾角為0,又(2 a b)2=4 X 22+ 32 4X 2X 3X cos 扌=13,3(a + 2b)2= 22+ 4 X 32 + 4 X 2X 3X cos 彳=52,3(2 a b) + 2 b) = 2a2 2b2 + 3 a b=8 18+ 9 = 1,故 co

14、s 0=詮器2b=-26,即2a b與a + 2b的夾角的余弦值是 右點評 求向量的夾角時要注意：（1）向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角變式訓(xùn)練2（2014課標(biāo)全國I ）已知A, B, C為圓0上的三點,若A0=2(Ab + AC),則AB與AC的夾角為答案 90°解析/ AO= 1(AB+AC),點0是ABC中邊BC的中點, BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得AB與Ac的夾角為90°題型三 利用數(shù)量積求向量的模例3 (1)已知平面向量 a和b, |a|=

15、1, |b|= 2,且a與b的夾角為120°，則|2a + b|等于()B.4D.6A. 2C./5 已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, / ADC = 90 ° AD = 2, BC= 1 , P是腰DC上的動點, 則|PA+ 3PB|的最小值為答案(1)A(2)5 解析 因為平面向量a和b, |a|= 1, |b|= 2,且a與b的夾角為120° 所以 |2a+ b|=寸(2a /+ b2+ 2X |2a| x |b|cos 1202.=T2x 12+22+ 2x 2x 1 x 2x(2)方法一以D為原點,分別以DA、DC所在直線為X、y軸建立如圖所示

16、的平面直角坐標(biāo)系，設(shè) DC = a, DP = x. D(0,0), A(2,0), C(0,a), B(1 ,pA= (2, x), Pb= (1 ,a x),a), P(0, x),PA+ 3PB = (5,3a 4x),|PA+ 3pB|2= 25 + (3a 4x)2> 25,|PA + 3pB|的最小值為5.方法二 設(shè)DP = xDC(0<x<1), PC =(1 x)DC ,pA= DA - DP = IDA xDC ,> > >> 1 >PB= PC+ CB = (1 x)DC + 2DA ,PA+ 3PB =強 + (3 4x)D

17、C ,|pA+ 3PB|2= dA2 + 2X IX (3 4x)DA dC + (3 4x)2 DC2= 25 + (3 4x)2dC2> 25,|PA + 3pB|的最小值為5.點評 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向量 a = (x, y)，求向量a的模只需利用公式|a|=7x2 + y2即可求解.向量不放在坐標(biāo)系中研究,求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是 會把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a |=7孑.1變式訓(xùn)練3 (2015浙江)已知e1 ,2是平面單位向量，且e1 02 =刁.若平面向量b滿足b e

18、1 = b e：則 |b|=解析答案 因為|ei|=|e2|= 1且ei e2 = 2所以ei與e?的夾角為60°又因為b© = b 2= 1，所以b e 1b e2= 0,即 b(e1ez)= 0，所以 b丄(e1 e?).所以 b與e1的夾角為30°所以 b e1= |b|e1|cos 30 °= 1.所以|b|=呼.高考題型精練1.（2015山東）已知菱形ABCD的邊長為a, / ABC = 60 °則BD CD等于（）A. |a2C.|a23 2B. 4aD.|a2解析如圖所示，由題意，得 BC = a.CD = a, / BCD =

19、120°A答案 DBD2= BC2 + CD2 2BC CD cos 120 = a2 + a2 2a ax （ |J= 3a2,BD = f3a.=|a2. Bd cd = |BD|CD|cos 30 =°3a2 x 當(dāng)Jx, x> y,2.（2014 浙江）記 maxx,y = 5y, x<y,y, x> y,minx,y = i設(shè)a,b為平面向量，則（）lx, x<y,A.min| a + b|, |a b|< min| a|b|B. min| a + b|, |a b| > min| a|, |b|2 2 2 2C. max|a+

20、 b| , |a b| w |a| + |b|D. max| a+ b|2, |a bf > |a|2+ |b|2 答案 D解析 由于|a + b|, a b|與|a|, |b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān)，故A ,B錯當(dāng)a, b夾角為銳角時，|a+ b|>|a b|,此時，|a + b|2>|a|2+ |b|2;當(dāng) a, b夾角為鈍角時,a + b|<|a b|,此時,|a b|2>|a|2+ |b|2;當(dāng) a丄b時，|a + b|2= |a bf = |a|2+ |b|2,故選 D.3.（2015湖南）已知點A, B, C在圓x + y = 1上運動，且AB丄BC

21、.若點P的坐標(biāo)為（2,0）,則|PA+ pB +pC|的最大值為（）A.6B.7C.8D.9答案 B解析/ A, B, C 在圓 X2+ y2= 1 上，且 AB丄 BC, AC 為圓直徑，故 PA+ PC = 2PO = ( 4,0)，設(shè) B(x, y)，貝U x2 + y2= 1 且 x 1,1, PB = (x2, y), PA+PB+ PC = (x 6, y).故|PA+PB+ PC|=p 12x + 37, x = 1 時有最大值 49= 7,故選B.4.如圖，在等腰直角 ABO中，OA = OB= 1, C為AB上靠近點A的四等分點，過 C作AB的垂線l, P為垂線上任一點，設(shè)

22、Oa= a, OB= b, OP = p,貝y p （b a）等于（）D.l答案 A解析以O(shè)A, OB所在直線分別作為x軸，y軸,O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,31則 A(1,0), B(0,1), C(4 -), 直線1的方程為y-Fx-3,1即 x-y-2= 0.1 1 設(shè) P(x, x 2)，則 P= (x, x ?), 而 ba = (- 1,1),1 1所以 p (b a) = x+ (x 1)=-5.在平面上，AB1± AB2, |0B1|= |oB2|= 1, AP =BBB 1B=AB1 + AB2.若|OP|<2,則0A|的取值范圍是()A.(0,當(dāng)B芒再，

23、曲d.(¥，遲答案解析由題意，知Bi, B2在以0為圓心的單位圓上，點 P在以0為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)又ABi±AB2, AP= ABi+ AB2, 所以點A在以BiB2為直徑的圓上, 當(dāng)P與0點重合時，OA|取得最大值 逼,當(dāng)P在半徑為2的圓周上時，|OA|取得最小值 爭, 故選D.6.如圖所示， ABC 中, / ACB= 90。且 AC= BC= 4，點 M 滿足 BM = 3|Ma，則CM CB等于（）A.2B.3C.4D.6答案解析在 ABC 中，因為 / ACB= 90° 且 AC = BC= 4,所以 AB = 4yJ2,且 B = A= 45&#

24、176;.因為 BM=3|Ma，所以 BM = bA.所以 CM CB = (CB + BM) Cb= CB2+ BM CB = CB2 + : BA CB = 16 + 3X 誹 X 4cos 135 = 4.7.（2014安徽）設(shè)a, b為非零向量，|b|= 2|a|,兩組向量xi,x?,X3,X4和yi,y?,討3y均由2個a和2個b排列而成.若X1 yi + X2 y2 + X3 y3 + x4 y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為（）n nB.3 C.6 D.o答案解析4設(shè)a與b的夾角為0,由于Xi, yi（i= 1,234）均由2個a和2個b排列而成，記S=Si

25、= 1（Xi yi），則S有以下三種情況: S= 2a2+ 2b2; S= 4a b; S= |a|2+ 2a b + |b|2- |b|= 2|a, 中 S= 10|a|2,中 S= 8afcos 0,中 S= 5|a|2+ 4|afcos 0.易知 最小，即8|afcos 0= 4|a|2,1 、- cos 0= 2 可求0=n,故選B.38.(2014江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB= 8, AD = 5, CP = 3PD, AP BP = 2,則AB D的值是答案 22解析由 cP= 3PD，得dP = 4dC = 4AB,1f f f 1f f 1 f，二 AP = A

26、D + DP = AD + -AB, BP=AP AB = AD +-AB 444f f 3 f f ff 1 f f 3 f 2 1 f f 3 f 2AB = AD 4AB.因為 AP BP= 2，所以(AD + 4AB) (AD 4AB) = 2，即 AD "AD AB AB =2.又因為 AD2= 25, Ab2= 64,所以 Ab ad = 22.9.設(shè)非零向量a, b的夾角為0,記f(a,b)= a cos0- bsin0若e1,e2均為單位向量，且 &e2，則向量f(ei, e2)與f(e2, - 6)的夾角為迥2答案解析由eie2=當(dāng)'可得cosS&#

27、39; e2>=歸=警故ei, e2>n=6,e2, e1>= n- e2, 6=罟6f( ei,n n "43162)= e1Cos 6 e2sin 6= 2 & 2f( e2,5n 1 遲©1)= e2cos 6 ( ei)sin g = £i 2 e2.f( ei,e2) f(e2, e” =芒e 茲)( e 當(dāng)e2)=中S e2 = 0,所以f(ei, e2)丄f(e2, ei).故向量f(ei, e2)與f(62,- ei)的夾角為 才 10.如圖，在 ABC 中，O 為 BC 中點，若 AB = 1, AC = 3, AB ,

28、 AC> = 60° 則 |<5A|=解析 因為Ab, Ac>= 60° 所以AB Ac= |AB| |AC|cos 60 = 1 X 3X"2= I，又AO= 2(Ab + AC),所以aO2=1(AB+AC)2= 4屆2+ 2AB aC+ aC2),即 aO2=*1 + 3+9)=乎，所以 亟|=罟.311.已知向量 a = (sin x, 4), b= (cos x,- 1).2(1)當(dāng) a / b 時，求 cos x sin 2x 的值;設(shè)函數(shù)f(x) = 2(a+ b) b,已知在 ABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c，若a/s, b = 2, sin B=¥，求 f(x) + 4cos(2A + 誣 0 , n)的取值范圍.3解因為