平面向量共線的坐標(biāo)表示15

1、最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）平面向量共線的坐標(biāo)表示整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析1.前面學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是平面向量的代數(shù)表示.在引入了平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，這就可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知 的數(shù)量運(yùn)算.2.本小節(jié)主要是運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律推導(dǎo)兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律3.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn),一個(gè)自然的想法是向量的某些關(guān)系，特別是向量的平行、垂直,是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究呢？前面已經(jīng)找出兩個(gè)向量共線的條件（

2、如果存在實(shí)數(shù) 入,使得a=X b,那么a與b共線）,本節(jié)則進(jìn)步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示.這種轉(zhuǎn)化是比較容易的,只要將向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，再運(yùn)用向量相等的條件就可以 得出平面向量共線的坐標(biāo)表示 .要注意的是,向量的共線與向量的平行是一致的.三維目標(biāo)1. 通過(guò)經(jīng)歷探究活動(dòng)，使學(xué)生掌握平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示方法.理解并掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向 量共線的坐標(biāo)表示.2. 引入平面向量的坐標(biāo)可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，平面向量的坐標(biāo)成了數(shù)與形結(jié)合的載體.3. 在解決問(wèn)題過(guò)程中要形成見(jiàn)數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識(shí)要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):平面向量的坐標(biāo)

3、運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解 課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.向量具有代數(shù)特征，與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí),直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=O（A B不同時(shí)為零）何時(shí)所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)?思路2.對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a,過(guò)定點(diǎn)0作向量OA=a,則點(diǎn)A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點(diǎn)0為 原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)A的位置可通過(guò)其坐標(biāo)來(lái)反映， 從而向量a也可以用坐標(biāo)來(lái)表示，這樣我就可以通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究 向量問(wèn)題了 .事實(shí)上

4、，向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)合起來(lái)，這就可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量 運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn) 算來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么向量的平行、垂直,是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究呢?推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示，現(xiàn)在已知a=(xi,yi), b=(X2,y2),你能得出a+b, a- b,入a的坐標(biāo)表示嗎？如圖1,已知A(xi,y i),B(x 2,y 2),怎樣表示ab的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-xi,y2-y 1)的P點(diǎn)嗎？標(biāo)出點(diǎn)P

5、后，你能總結(jié)出什么結(jié)論？活動(dòng):教師讓學(xué)生通過(guò)向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的 加、減運(yùn)算，教師可以讓學(xué)生到黑板去板書(shū)步驟 .可得:a+b=(xi i +yij )+(x 2 i +y2j )=(x 1+X2) i +(yi+y2)j ,即 a+b=(xi+X2,y i+y2).同理 a- b=(x 1-x 2,y i-y 2).又 入 a=X (x 1 i +yij )=入 X 1 i + Xy ij . 入 a=(入 x 1, Xy 1).教師和學(xué)生一起總結(jié)，把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)

6、坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系:將向量AB平移,使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量AB 的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的,這樣 就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系學(xué)生通過(guò)平移也可以發(fā)現(xiàn):向量Ab的模與向量0P的模是相 等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式I ab|=| 0P| = J(X1 X2)2 (yi y2)2 .教師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng)，并鼓勵(lì)學(xué)生，只要善于開(kāi)動(dòng)腦筋，勇于創(chuàng)新，展開(kāi)思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收討論結(jié)果:能. AB =0B- 0A=(x2,y 2)-(x i,y i)=(x 2-x i,y 2-y

7、 i).結(jié)論:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo) 減去始點(diǎn)的坐標(biāo).提出問(wèn)題 如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量 ？若a=(xi,y 1), b=(X2,y2),那么也 匹是向量a、b共線的什么條XiX2活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系.此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥a=(xi,y 1), b=(X2,y2),其中0.我們知道，a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)入,使a=X b.如果用坐標(biāo)表示,可寫(xiě)為(X i,y i)=入(x 2,y 2),即XlyiX2'消去入后得xiy2-X2yi=0.y2.這就是說(shuō),當(dāng)且僅當(dāng)xiy2-x 2yi=0時(shí)向量a、b

8、(b工0)共線.里是不XiX2¥2XiX2又我們知道xiy2-X2yi=0與xiy2=x2yi是等價(jià)的，但這與 等價(jià)的.因?yàn)楫?dāng)Xi=X2=0時(shí),x iy2-x 2yi=0成立，但仏 匹均無(wú)意義.因此II 21是向量a、b共線的充分不必要條件.由此也看出向量XiX2的應(yīng)用更具一般性，更簡(jiǎn)捷、實(shí)用，讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)這點(diǎn).討論結(jié)果:xiy2-X2yi=0時(shí),向量a、b(b工0)共線.充分不必要條件.提出問(wèn)題a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入使 得a=入b, 那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢?活動(dòng):教師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(xi,y 1), b=(x2,y 2),其中b a,

9、由 a=X b,(x i,y i)=入(x 2,y 2)XiyiX2,消去入,得 xiy2-x 2yi=0.y2.討論結(jié)果:a / b( bM0)的充要條件是xiy2-X2yi=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟:1°消去入時(shí)不能兩式相除，Ty 1、y2有可能為0,而bM 0, X2、y2中至少有一個(gè)不為0.2°充要條件不能寫(xiě)成生、X2有可能為0).X1X23° 從而向的充要條件有兩種形式:a / b(bM0)axi y2bX2y10.應(yīng)用示例思路1例 1 已知 a=(2,1), b=(-3,4),求 a+b, a- b,3 a+4b 的坐標(biāo).活動(dòng):本例是向量代數(shù)運(yùn)算的

10、簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo),從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點(diǎn)評(píng):本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題，目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.變式訓(xùn)練1.(2007 海南高考,4)已知平面向量 a=(1,1), b=

11、(1,-1),則向量2a |b等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全國(guó)高考,3)已知向量 a=(-5,6),b=(6,5),貝U a與A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A例2如圖2,已知QABCD勺三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3) 、(3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動(dòng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個(gè)向量相等，則它們的坐 標(biāo)相等”，解題過(guò)程中應(yīng)用了方程思想 ；解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量 OD的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題

12、過(guò)程中，關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考，將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解：方法一:如圖2,設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y). aB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y). 由 aB = dc ,得13(1,2)=(3-x,4-y).二 2 ；X,X.X 2,y 2.頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則，可知BD BA AD BA BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而 OD =Ob +bd=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)

13、.點(diǎn)評(píng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算變式訓(xùn)練如圖3,已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn) 解：當(dāng)平行四邊形為ABCD寸,仿例二得：Di=(2,2);當(dāng)平行四邊形為ACDB寸,仿例二得：D2=(4,6);當(dāng)平行四邊形為DACB寸,仿上得：D3=(-6,O).例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5), 試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的 位置關(guān)系.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來(lái)判斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件來(lái)判斷這兩個(gè)向量是否共線從而來(lái)判斷這三點(diǎn)是否共線.教師

14、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來(lái)判斷向量之間 的關(guān)系.讓學(xué)生通過(guò)觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式 解：在平面直角坐標(biāo)系中作出 A、B、C三點(diǎn),觀察圖形，我們猜想A B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明. ab=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),AC =(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又2X6-3X4=0, A AB / AC,且直線AB 直線AC有公共點(diǎn)A, AB、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評(píng):本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法，其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線，則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法移植過(guò)來(lái)的 變式訓(xùn)練 已知 a=(4,2),

15、b=(6,y),且 a / b,求 y.解： a / b, A4y-2X6=0.-y=3.思路2例2設(shè)點(diǎn)P是線段PiP2上的一點(diǎn)，Pi、P2的坐標(biāo)分別是（xi,y 1）、(X2,y 2).（1）當(dāng)點(diǎn)P是線段PiP2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo); 當(dāng)點(diǎn)P是線段PiP2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）活動(dòng):教師充分讓學(xué)生思考，并提出這一結(jié)論可以推廣嗎？即當(dāng)P PPPT=入時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？師生共同討論，一起探究，可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比推廣，有學(xué)生可能提出如下推理方法:由P1 p =入PP2 ,知(X-X i,y-y 1)=入(X 2-x,y 2-y),即X

16、Xiy yi(X2 X)(y2 y)yXiX2X 1yiy21這就是線段的定比分點(diǎn)公式,教師要給予充分肯定,鼓勵(lì)學(xué)生的這種積極探索，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時(shí)間允許的話，可以探索入的取值符號(hào)對(duì)P點(diǎn)位置的影響，也可鼓勵(lì)學(xué)生課后探解：（1）如圖4,由向量的線性運(yùn)算可知F4r-¥0P = ( 0P i+OP2)=(2XiX yiy2 )2 ' 2 .所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（XiX2 yiy2 )2 ' 2 . 如圖5,當(dāng)點(diǎn)P是線段PiP2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)PP2P pppT=2.如果空=2,那么PP2 10P PR +P PPR +

17、3 1 =OPi+-(OP2-OP)3=2 OPf+- 0P233=(2xi X2 2yi y2 )=(，).即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(空于2yi同理,如果詈=2,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是3xi 2x2 yi 2討2點(diǎn)評(píng):本例實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn) 坐標(biāo)公式.變式訓(xùn)練在ABC中，已知點(diǎn)A(3,7)、B(-2,5).若線段AC BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解:(1)若AC的中點(diǎn)在y軸上，則BC的中點(diǎn)在x軸上， 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得寧0專0,最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）二 x=-3,y=-5,即C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,-5）. 若AC的中點(diǎn)在x軸上，則BC的

18、中點(diǎn)在y軸上，則同理可得C 點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-7）.綜合（1）（2）,知C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,-5）或（2,-7）.例2已知點(diǎn)A（1,2）,B（4,5）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP=OA+tAB.若點(diǎn)P 在第二象限，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程 （組）或不等式（組）再進(jìn)行求解.教師以提問(wèn)的方式來(lái)了解學(xué)生組織步驟的能力，或者讓學(xué)生到黑板上去板書(shū)解題過(guò)程，并對(duì)思路清晰過(guò)程正確的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng)同時(shí)也要對(duì)組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和鼓勵(lì).教師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點(diǎn)是，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式（組）,

19、那么變量的取值3).范圍就是這個(gè)不等式（組）的解集.AB =(4,5)- (1,2)=(3,3).0P= (1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若點(diǎn)P在第二象限,則: 故t的取值范圍是（|,點(diǎn)評(píng):此題通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示,由點(diǎn)P在第二象限可得到一個(gè)關(guān)于t的不等式組，這個(gè)不等式組的最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練已知 OA =(cos 0 ,sin 0), OB =( 1+sin 0 ,1+cos 0), 其中OW0Wn ,求| AB |的取值范圍.解: V aB = Ob- OA=(1+sin 0 ,1+cos 9) -(cos

20、0 ,sin 9)=(1+sin 0 -cos 0 ,1+cos 0 -sin 0).2 2 2'I AB | =(1+s in 0 -cos 0) +(1+cos 0 - si n 0)=1+(sin 0 -c os 0 門(mén) 2+ 1- (sin 0 - cos 0 門(mén) 22=2+2(sin 0 - cos 0)=2+2(1- 2sin 0 cos 0)=4-4sin 0 cos 0 =4-2sin2 0.V OW0Wn ，二 ow 20W 2n.從而-K sin2 0< 1.4-2si n2 0 2,6 :.故| ab |的取值范圍是邁應(yīng):.知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí).解答:1.

21、 (1) a+b=(3,6), a-b=(-7,2);(2)a+b=(1,11), a-b=(7,-5); a+b=(0,0), a- b=(4,6);a+b=(3,4), a-b=(3,-4).2. -2 a+4b=(-6,-8),4a+3b=(12,5).3. (1) ab =(3,4), BA=(-3,-4);(2) ab=(9,-1), ba =(-9,1); AB =(0,2), BA =(0,-2); AB =(5,0), BA =(-5,0).4. AB / CD.證明:AB=(1,-1), CD =(1,-1),所以 AB = CD .所以 AB/ CD.點(diǎn)評(píng):本題有兩個(gè)要求:一是判斷，二是證明.通過(guò)作圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律， 提出猜想，然后再證明結(jié)論是一個(gè)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程5. (1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6. (罟或(普,-1).337. 解:設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且|AP|=|PB|,(x-2,y-3)=|(x-4,y+3),即2x 4 3x 12.解之，得x 8,2y 6