圓的專題講義.

1、與圓有關(guān)的證明及計算1已知，如圖，直線 MN 交 O 于 A，B 兩點，AC 是直徑， AD 平分 CAM 交O于 D，過 D作 DEMN 于 E（ 1）求證： DE是 O 的切線；（ 2）若 DE=6cm，AE=3cm，求 O 的半徑2如圖，在 ABC，AB=AC，以 AB 為直徑的 O 分別交 AC、BC 于點 D、E，點 F 在 AC的延長線上，且 CBF= CAB（ 1）求證：直線 BF 是 O 的切線；（ 2）若 AB=5，sinCBF=，求 BC和 BF 的長3如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于 O，BD 是 O 的直徑， AECD，垂足為 E，DA平分 BDE（ 1）求證： AE是 O

2、 的切線；（ 2）若 DBC=30°，DE=1cm，求 BD 的長4如圖，已知 ABC內(nèi)接于 O，AC 是 O 的直徑， D 是的中點，過點 D 作直線 BC的垂線，分別交CB、CA的延長線 E、 F（ 1）求證： EF是 O 的切線；（ 2）若 EF=8，EC=6，求 O 的半徑5如圖， AB 是 O 的直徑，弦 CD AB 與點 E，點 P 在 O 上， 1=C，（ 1）求證： CBPD；（ 2）若 BC=3，sinP= ，求 O 的直徑6如圖，直線 EF 交 O 于 A、 B 兩點， AC 是 O 直徑， DE 是 O 的切線，且DEEF，垂足為 E（ 1）求證： AD 平分

3、CAE；（ 2）若 DE=4cm，AE=2cm，求 O 的半徑7如圖， Rt ABC中， ABC=90°，以 AB 為直徑作半圓 O 交 AC與點 D，點 E為 BC的中點，連接 DE（ 1）求證： DE是半圓 O 的切線（ 2）若 BAC=30°，DE=2，求 AD 的長8如圖，在 RtABC中， ACB=90°，以 AC 為直徑作 O 交 AB 于點 D 點，連接 CD（ 1）求證： A= BCD；（ 2）若 M 為線段 BC上一點，試問當(dāng)點 M 在什么位置時，直線 DM 與 O 相切？并說明理由9如圖，已知 AB 是 O 的直徑，點 P 在 BA 的延長線上

4、， PD 切O 于點 D，過點 B 作 BE垂直于 PD，交 PD 的延長線于點 C，連接 AD 并延長，交 BE于點 E（ 1）求證： AB=BE；（ 2）若 PA=2，cosB= ，求 O 半徑的長10如圖 AB 是 O 的直徑， PA，PC與 O 分別相切于點 A，C，PC交 AB 的延長線于點 D， DEPO 交 PO 的延長線于點 E（ 1）求證： EPD=EDO；（ 2）若 PC=6，tanPDA= ，求 OE的長圓的動態(tài)探究題11如圖， O 半徑為 4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點 P，Q 同時分別從 A，D 兩點出發(fā)，以 1cm/s 速度沿 AF， DC 向中點 F，G

5、運動連接PB，QE，設(shè)運動時間為 t（ s）（ 1）求證：四邊形 PEQB為平行四邊形；（ 2）填空：當(dāng) t=s 時，四邊形 PBQE為菱形；當(dāng) t=s 時，四邊形 PBQE為矩形12如圖， AB 為 O 的直徑，點 C 為 AB 延長線上一點，動點P 從點 A 出發(fā)沿AC方向以 lcm/s 的速度運動，同時動點 Q 從點 C 出發(fā)以相同的速度沿CA方向運動，當(dāng)兩點相遇時停止運動，過點P 作 AB 的垂線，分別交 O 于點 M 和點 N，已知 O 的半徑為 l，設(shè)運動時間為t 秒（ 1）若 AC=5，則當(dāng) t=時，四邊形 AMQN 為菱形；當(dāng)與 O 相切；t=時， NQ（ 2）當(dāng) AC 的長為

6、多少時，存在 t 的值，使四邊形 AMQN 為正方形？請說明理由， 并求出此時 t 的值13如圖，在 RtABC中， BAC=90°， B=60°，以邊上 AC上一點 O 為圓心，OA 為半徑作 O， O 恰好經(jīng)過邊 BC的中點 D，并與邊 AC相交于另一點F（ 1）求證： BD是 O 的切線；（ 2）若 BC=2，E 是半圓上一動點，連接AE、 AD、DE填空：當(dāng)當(dāng)?shù)拈L度是的長度是時，四邊形 ABDE是菱形；時， ADE是直角三角形14如圖，點 A， B， C 分別是 O 上的點，且 B=60°， CD是 O 的直徑， P 是 CD延長線上的一點，且 AP=AC

7、（ 1）求證： AP是 O 的切線；（ 2）若 AC=3，填空：當(dāng)?shù)拈L為時，以A，C，B，D 為頂點的四邊形為矩形；當(dāng)?shù)拈L為時， ABC的面積最大，最大面積為15四邊形 ABCD的對角線交于點 E，且 AE=EC，BE=ED，以 AB 為直徑的半圓過點 E，圓心為 O（ 1）利用圖 1，求證：四邊形 ABCD是菱形（ 2）如圖 2，若 CD的延長線與半圓相切于點 F，且直徑AB=8 ABD的面積為的長16在圓 O 中， AC 是圓的弦， AB 是圓的直徑， AB=6， ABC=30°，過點 C 作圓的切線交 BA 的延長線于點 P，連接 BC（ 1）求證： PACPCB；（ 2）點

8、Q 在半圓 ADB上運動，填空：當(dāng) AQ=時，四邊形 AQBC的面積最大；當(dāng) AQ=時， ABC與 ABQ全等17如圖， AB 是 O 的直徑，點 P 是弦 AC上一動點（不與 A，C重合），過點 P 作 PEAB，垂足為 E，射線 EP交于點 F，交過點 C 的切線于點D（ 1）求證： DC=DP；（ 2）若直徑 AB=12cm， CAB=30°，當(dāng) E 是半徑 OA 中點時，切線長DC=cm：當(dāng) AE=cm 時，以 A，O，C，F(xiàn) 為頂點的四邊形是菱形18如圖， O 的直徑 AB=4，點 C 為 O 上的一個動點，連接 OC，過點 A 作 O 的切線，與 BC的延長線交于點 D，

9、點 E 為 AD 的中點，連接 CE（ 1）求證： CE是 O 的切線；（ 2）填空：當(dāng) CE=時，四邊形 AOCE為正方形；當(dāng) CE=時， CDE為等邊三角形19如圖， ABC是半徑為 2 的 O 的內(nèi)接三角形，連接OA、OB，點 D、E、F、G 分別是 CA、OA、OB、CB的中點（ 1）試判斷四邊形 DEFG的形狀，并說明理由；（ 2）填空：若 AB=3，當(dāng) CA=CB時，四邊形 DEFG的面積是若 AB=2，當(dāng) CAB的度數(shù)為時，四邊形；DEFG是正方形20如圖，在 ABC中， AB=AC，點 O 為邊 AB 的中點， OD BC于點 D，AM BC于點 M，以點 O 為圓心，線段 O

10、D 為半徑的圓與 AM 相切于點 N（ 1）求證： AN=BD；（ 2）填空：點 P 是 O 上的一個動點，若AB=4，連結(jié)OC，則PC的最大值是；當(dāng) BOP=時，以O(shè)，D，B，P 為頂點四邊形是平行四邊形1已知，如圖，直線 MN 交 O 于 A，B 兩點，AC 是直徑， AD 平分 CAM 交O于 D，過 D作 DEMN 于 E（ 1）求證： DE是 O 的切線；（ 2）若 DE=6cm，AE=3cm，求 O 的半徑【解答】（1）證明：連接 OD OA=OD， OAD=ODA OAD=DAE， ODA=DAE DO MNDEMN， ODE=DEM=90°即 ODDE D 在O 上，

11、OD為 O 的半徑， DE是 O 的切線（ 2）解： AED=90°， DE=6，AE=3，連接 CD AC是 O 的直徑， ADC=AED=90° CAD=DAE， ACD ADE則 AC=15（ cm） O 的半徑是 7.5cm2如圖，在 ABC，AB=AC，以 AB 為直徑的 O 分別交 AC、BC 于點 D、E，點 F 在 AC的延長線上，且 CBF= CAB（ 1）求證：直線 BF 是 O 的切線；（ 2）若 AB=5，sinCBF=，求 BC和 BF 的長【解答】（1）證明：連接 AE， AB是 O 的直徑， AEB=90°， 1+ 2=90°

12、; AB=AC， 1= CAB CBF= CAB， 1= CBF CBF+2=90°即 ABF=90° AB是 O 的直徑，直線 BF是 O 的切線（ 2）解：過點 C 作 CG AB于 G sinCBF= ， 1=CBF， sin1= ，在 Rt AEB中， AEB=90°，AB=5， BE=AB?sin 1=， AB=AC， AEB=90°， BC=2BE=2 ，在 RtABE中，由勾股定理得AE=2， sin2=， cos 2=，在 RtCBG中，可求得 GC=4，GB=2， AG=3， GCBF， AGC ABF，BF=3如圖，四邊形 ABCD內(nèi)

13、接于 O，BD 是 O 的直徑， AECD，垂足為 E，DA平分 BDE（ 1）求證： AE是 O 的切線；（ 2）若 DBC=30°，DE=1cm，求 BD 的長【解答】（1）證明：連接 OA， DA平分 BDE， BDA=EDA OA=OD， ODA=OAD， OAD=EDA， OA CE AECE， AEOA AE是 O 的切線（ 2）解： BD是直徑， BCD=BAD=90° DBC=30°， BDC=60°， BDE=120° DA平分 BDE， BDA=EDA=60° ABD=EAD=30°在 Rt AED中，

14、AED=90°，EAD=30°， AD=2DE在 Rt ABD中， BAD=90°， ABD=30°， BD=2AD=4DE DE的長是 1cm， BD的長是 4cm4如圖，已知 ABC內(nèi)接于 O，AC 是 O 的直徑， D 是的中點，過點 D 作直線 BC的垂線，分別交CB、CA的延長線 E、 F（ 1）求證： EF是 O 的切線；（ 2）若 EF=8，EC=6，求 O 的半徑【解答】（1）證明：連接 OD 交于 AB 于點 G D 是的中點， OD 為半徑， AG=BG AO=OC， OG是 ABC的中位線 OG BC，即 ODCE又 CE EF，

15、OD EF， EF是 O 的切線（ 2）解：在 RtCEF中， CE=6，EF=8， CF=10設(shè)半徑 OC=OD=r，則 OF=10r， OD CE， FOD FCE， = ， r= ，即： O 的半徑為5如圖， AB 是 O 的直徑，弦 CD AB 與點 E，點 P 在 O 上， 1=C，（ 1）求證： CBPD；（ 2）若 BC=3，sinP= ，求 O 的直徑【解答】（1）證明： C=P又 1=C 1= P CBPD；（ 2）解：連接 AC AB為 O 的直徑， ACB=90°又 CD AB， = ， P= CAB，又 sin P= ， sinCAB= ，即 = ，又知， B

16、C=3， AB=5，直徑為 56如圖，直線 EF 交 O 于 A、 B 兩點， AC 是 O 直徑， DE 是 O 的切線，且DEEF，垂足為 E（ 1）求證： AD 平分 CAE；（ 2）若 DE=4cm，AE=2cm，求 O 的半徑【解答】（1）證明：連接 OD， OD=OA， ODA=OAD， DE是 O 的切線， ODE=90°，ODDE，又 DE EF， OD EF， ODA=DAE， DAE=OAD， AD 平分 CAE；（ 2）解：連接 CD， AC是 O 直徑， ADC=90°，在 RtADE中， DE=4cm，AE=2cm，根據(jù)勾股定理得： AD=cm，由

17、（ 1）知： DAE=OAD， AED=ADC=90°， ADC AED，即， AC=10， O 的半徑是 57如圖， Rt ABC中， ABC=90°，以 AB 為直徑作半圓 O 交 AC與點 D，點 E 為 BC的中點，連接 DE（ 1）求證： DE是半圓 O 的切線（ 2）若 BAC=30°，DE=2，求 AD 的長【解答】（1）證明：連接 OD，OE，BD， AB為圓 O 的直徑， ADB=BDC=90°，在 RtBDC中， E 為斜邊 BC的中點， DE=BE，在 OBE和 ODE中， OBE ODE（SSS）， ODE=ABC=90°

18、;，則 DE 為圓 O 的切線；（ 2）在 Rt ABC中， BAC=30°， BC= AC， BC=2DE=4， AC=8，又 C=60°， DE=CE， DEC為等邊三角形，即 DC=DE=2，則 AD=ACDC=68如圖，在 RtABC中， ACB=90°，以 AC 為直徑作 O 交 AB 于點 D 點，連接 CD（ 1）求證： A= BCD；（ 2）若 M 為線段 BC上一點，試問當(dāng)點 M 在什么位置時，直線 DM 與 O 相切？并說明理由【解答】（1）證明： AC為直徑， ADC=90°， A+ DCA=90°， ACB=90

19、6;， DCB+ACD=90°， DCB=A；（ 2）當(dāng) MC=MD（或點 M 是 BC的中點）時，直線 DM 與 O 相切；解：連接 DO， DO=CO， 1= 2， DM=CM， 4= 3， 2+ 4=90°， 1+ 3=90°，直線 DM 與 O 相切，故當(dāng) MC=MD（或點 M 是 BC的中點）時，直線 DM 與 O 相切9如圖，已知 AB 是 O 的直徑，點 P 在 BA 的延長線上， PD 切O 于點 D，過點 B 作 BE垂直于 PD，交 PD 的延長線于點 C，連接 AD 并延長，交 BE于點 E（ 1）求證： AB=BE；（ 2）若 PA=2，c

20、osB= ，求 O 半徑的長【解答】（1）證明：連接 OD， PD切 O 于點 D， OD PD， BEPC， OD BE， ADO=E， OA=OD， OAD=ADO， OAD=E， AB=BE；（ 2）解：由（ 1）知， ODBE， POD=B， cos POD=cosB= ，在 RtPOD中， cos POD= = ， OD=OA，PO=PA+OA=2+OA， OA=3， O 半徑 =310如圖 AB 是 O 的直徑， PA，PC與 O 分別相切于點 A，C，PC交 AB 的延長線于點 D， DEPO 交 PO 的延長線于點 E（ 1）求證： EPD=EDO；（ 2）若 PC=6，tan

21、PDA= ，求 OE的長【解答】（1）證明： PA， PC與 O 分別相切于點 A， C， APO=EPD且 PAAO， PAO=90°， AOP=EOD， PAO=E=90°， APO=EDO， EPD=EDO；（ 2）解：連接 OC， PA=PC=6， tanPDA= ，在 Rt PAD中， AD=8，PD=10， CD=4， tanPDA= ，在 Rt OCD中， OC=OA=3，OD=5， EPD=ODE， DEP OED， =2， DE=2OE在 RtOED中， OE2+DE2=OD2，即 5OE2=52， OE= 11如圖， O 半徑為 4cm，其內(nèi)接正六邊形

22、ABCDEF，點 P，Q 同時分別從 A， D 兩點出發(fā)，以 1cm/s 速度沿 AF，DC向中點 F，G 運動連接 PB，QE，設(shè)運動時間為 t（s）（ 1）求證：四邊形 PEQB為平行四邊形；（ 2）填空：當(dāng) t=2s 時，四邊形 PBQE為菱形；當(dāng) t=0 或 4s 時，四邊形 PBQE為矩形【解答】（1）證明：正六邊形ABCDEF內(nèi)接于 O， AB=BC=CD=DE=EF=FA， A= ABC= C=D=DEFF，點 P，Q 同時分別從 A，D 兩點出發(fā)，以 1cm/s 速度，運動時間為t （s）， AP=DQ=t，則 PF=QC=4 t，在 ABP和 DEQ中 ABP DEQ（SAS

23、） BP=EQ，同理可證， PE=QB，四邊形 PEQB是平行四邊形（ 2）解：當(dāng)四邊形 PBQE為菱形時， PB=PE=EQ=QB， ABP DEQ PFE QCB， AP=PF=DQ=QC，即 t=4t，得 t=2，故答案為： 2；當(dāng) t=0 時， EPF=PEF=30°， BPE=120°30°=90°，此時四邊形 PBQE為矩形；當(dāng) t=4 時， ABP=APB=30°， BPE=120°30°=90°，此時四邊形 PBQE為矩形故答案為： 0 或 412如圖， AB 為 O 的直徑，點 C 為 AB 延長

24、線上一點，動點P 從點 A 出發(fā)沿AC方向以 lcm/s 的速度運動，同時動點 Q 從點 C 出發(fā)以相同的速度沿 CA方向運動，當(dāng)兩點相遇時停止運動，過點 P 作 AB 的垂線，分別交 O 于點 M 和點 N，已知 O 的半徑為 l，設(shè)運動時間為 t 秒（ 1）若 AC=5，則當(dāng) t=時，四邊形 AMQN 為菱形；當(dāng) t=時， NQ與 O 相切；（ 2）當(dāng) AC 的長為多少時，存在 t 的值，使四邊形 AMQN 為正方形？請說明理由，并求出此時 t 的值【解答】 解：（1）AP=t， CQ=t，則 PQ=52t ， NMAB， PM=PN，當(dāng) PA=PQ時，四邊形 AMQN 為菱形，即 t=5

25、2t，解得 t= ；當(dāng) ONQ=90°時， NQ 與 O 相切，如圖，OP=t1，OQ=ACOAQC=51t=4 t， NOP=QON， RtONP RtOQN，=，即=，整理得 t2 5t+5=0，解得 t1=，t2=（1t 2.5，故舍去），即當(dāng) t=時， NQ 與 O 相切；故答案為，；（ 2）當(dāng) AC 的長為 3 時，存在 t=1，使四邊形 AMQN 為正方形理由如下：四邊形 AMQN 為正方形 MAN=90°， MN 為 O 的直徑，而 MQN=90° ，點 Q在O上， AQ 為直徑，點 P 在圓心， MN=AQ=2，AP=1， t=AP=1， CQ=t

26、=1， AC=AQ+CQ=2+1=313如圖，在 RtABC中， BAC=90°， B=60°，以邊上 AC上一點 O 為圓心， OA 為半徑作 O， O 恰好經(jīng)過邊 BC的中點 D，并與邊 AC相交于另一點 F（ 1）求證： BD是 O 的切線；（ 2）若BC=2，E 是半圓上一動點，連接AE、AD、DE填空：當(dāng)?shù)拈L度是 時，四邊形ABDE是菱形；當(dāng)?shù)拈L度是或 時， ADE是直角三角形【解答】（1）證明：連接 OD，如圖， BAC=90°，點 D 為 BC的中點， DB=DA=DC， B=60°， ABD為等邊三角形， DAB=ADB=60°

27、， DAC= C=30°，而 OA=OD， ODA=OAD=30°， ODB=60°+30°=90°， OD BC， BD是 O 的切線；（ 2）解： ABD 為等邊三角形， AB=BD=AD=CD= ，在 RtODC中， OD= CD=1，當(dāng) DE AB 時， DEAC， AD=AE， ADE=BAD=60°， ADE為等邊三角形， AD=AE=DE， ADE=60°， AOE=2ADE=120°， AB=BD=DE=AE，四邊形 ABDE為菱形，此時的長度 =；當(dāng) ADE=90°時， AE 為直徑，點

28、 E 與點 F 重合，此時當(dāng) DAE=90°時，DE 為直徑， AOE=2ADE=60°，此時所以當(dāng)?shù)拈L度為或 時， ADE是直角三角形故答案為；或 的長度 =的長度 =；=，14如圖，點 A， B， C 分別是 O 上的點，且 B=60°，CD是 O 的直徑， P 是CD延長線上的一點，且AP=AC（ 1）求證： AP是 O 的切線；（ 2）若 AC=3，填空：當(dāng)?shù)拈L為 時，以 A，C，B，D 為頂點的四邊形為矩形；當(dāng)?shù)拈L為 時， ABC的面積最大，最大面積為【解答】（1）證明：連接 OA B=60°， AOC=2B=120°，又 OA=OC

29、， ACP=CAO=30°， AOP=60°， AP=AC， P= ACP=30°， OAP=90°， OA AP， AP是 O 的切線，（ 2）連接 AD， ADC= B=60°，CD是直徑， DAC=90°， AC=3， AD= ， CD=2 ， OC= ，當(dāng) AB 是直徑時，四邊形ADBC是矩形，此時= B=60°，當(dāng) BA=BC時， ABC的面積最大，此時 ABC是等邊三角形，=，SABC=× 32=15四邊形 ABCD的對角線交于點 E，且 AE=EC，BE=ED，以 AB 為直徑的半圓過點 E，圓心為

30、O（ 1）利用圖 1，求證：四邊形 ABCD是菱形（ 2）如圖 2，若 CD的延長線與半圓相切于點 F，且直徑 AB=8 ABD的面積為 16 的長 【解答】 解：（1） AE=EC， BE=ED，四邊形 ABCD是平行四邊形 AB為直徑，且過點E， AEB=90°，即 ACBD四邊形 ABCD是平行四邊形，四邊形 ABCD是菱形（ 2）連結(jié) OF CD的延長線與半圓相切于點 F， OFCF FCAB， OF即為 ABD 中 AB邊上的高 S ABD= AB×OF= ×8×4=16，點 O 是 AB 中點，點 E 是 BD 的中點， S OBE= SAB

31、D=4過點 D 作 DHAB 于點 H ABCD，OFCF， FOAB， F=FOB= DHO=90°四邊形 OHDF為矩形，即 DH=OF=4在 Rt DAH中， sinDAB=， DAH=30°點 O，E 分別為 AB，BD 中點， OEAD， EOB=DAH=30°，的長度 =故答案為： 16，16在圓 O 中， AC 是圓的弦， AB 是圓的直徑， AB=6， ABC=30°，過點 C 作圓的切線交 BA 的延長線于點 P，連接 BC（ 1）求證： PACPCB；（ 2）點 Q 在半圓 ADB上運動，填空：當(dāng) AQ=3時，四邊形 AQBC的面積最

32、大；當(dāng) AQ=3 或 3時， ABC與 ABQ 全等【解答】（1）證明：如圖 1 所示，連接 OC PC是圓 O 的切線， OC是半徑， OCPC， PCO=90° PCA+ACO=90°， AB是直徑， ACB=90°， B+ CAB=90°， OC=OA， OAC=OCA， B+ OCA=90°， PCA=B，又 P=P， PAC PCB；（ 2）解：當(dāng)點 Q 運動到 OQAB 時，四邊形 AQBC的面積最大；如圖 2 所示：連接 AQ、BQ， OA=OB， OQ AB， OQ=BQ， AB是直徑， AQB=90°， ABQ是等腰

33、直角三角形， AQ= AB=3 ，故答案為： 3；如圖 3 所示： ACB=90°， ABC=30°， AC= AB=3，BC= AC=3 ，分兩種情況：a當(dāng) AQ=AC=3時，在 RtABC和 RtABQ 中， ABC ABQ（HL）；b當(dāng) AQ=BC=3時，同理 ABC BAQ；綜上所述：當(dāng) AQ=3 或 3時， ABC與 ABQ全等17如圖， AB 是 O 的直徑，點 P 是弦 AC上一動點（不與 A，C 重合），過點 P作 PE AB，垂足為 E，射線 EP交于點 F，交過點 C 的切線于點 D（ 1）求證： DC=DP；（ 2）若直徑 AB=12cm， CAB=3

34、0°，當(dāng) E 是半徑 OA 中點時，切線長DC=4cm：當(dāng) AE=3cm 時，以 A，O，C，F(xiàn) 為頂點的四邊形是菱形【解答】 解：（1）連接 OC CD是 O 的切線， OCD=90°， OA=OC， OAC=OCA， PEAB， PEA=90°， OAC+APE=90°， OCA+ PCD=90°， APE=PCD， APE=CPD， PCD=CPD， DC=DP（ 2）連接 BC， AB是直徑， ACB=90° A=30°，AB=12， AC=AB?cos30°=6 ，在 RtAPE中， AE= OA=3，

35、AP=AE÷cos30°=2 ， PC=ACAP=4 ， APE=DPC=60°，DP=DC， DPC是等邊三角形， DC=4 ，故答案為 4 當(dāng) AE=EO時，四邊形 AOCF是菱形理由：連接 AF、OF AE=EO，F(xiàn)EOA， FA=FO=OA， AFO是等邊三角形， FAO=60°， CAB=30°， FAC=30°， FOC=2 FAC=60°， FOC是等邊三角形， CF=CO=OA=AF，四邊形 AOCF是菱形， AE=3cm時，四邊形 AECF是菱形故答案為 318如圖， O 的直徑 AB=4，點 C 為 O

36、上的一個動點，連接 OC，過點 A 作 O 的切線，與 BC的延長線交于點 D，點 E 為 AD 的中點，連接 CE（ 1）求證： CE是 O 的切線；（ 2）填空：當(dāng) CE= 2 時，四邊形 AOCE為正方形；當(dāng) CE=時， CDE為等邊三角形【解答】（1）證明：連接 AC、 OE，如圖（ 1）， AB為直徑， ACB=90°， ACD為直角三角形，又 E 為 AD 的中點， EA=EC，在 OCE和 OAE中， OCE OAE（SSS）， OCE=OAE=90°， CEOC， CE是 O 的切線；（ 2）解： C 在線段 BD 的中點時，四邊形 AOCE為正方形理由如下：當(dāng) C 為邊 BD 的中點，而 E 為 AD 的中點， CE為 BAD的中位線， CEAB，CE= AB=OA，四邊形 OAEC為平行四邊形， OAE=90°，平行四邊形 OCEA是矩形，又 OA=OC，矩形 OCEA是正方形， CE=OA=2，故答案為： 2；連接 AC，如圖（ 2）， CDE為等邊三角形， D=60°， ABD=30°，CE=CD，在 RtABC中， AC= AB=2，在 RtACD中， tanD=，