的知識講解正態(tài)分布

1、正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。2. 了解正態(tài)曲線與正態(tài)分布的性質(zhì)?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)詮釋： 要點(diǎn)一、概率密度曲線與概率密度函數(shù)1 概念：對于連續(xù)型隨機(jī)變量 X，位于x軸上方，X落在任一區(qū)間(a, b內(nèi)的概率等于它與 x軸、直線x = a與直線x=b所圍成的曲邊梯形的面積(如圖陰影部分)，這條概率曲線叫做 X的概率密度曲線，以其作為圖象的函數(shù)f (x)叫做X的概率密度函數(shù)。2、 概率密度函數(shù)所取的每個(gè)值均是非負(fù)的。 夾于概率密度的曲線與 x軸之間的 平面圖形”勺面積為1P(a：X：；b)的值等于由直線 x=a, x=b與概率密度曲線、x軸所圍成的 平面圖形”的

2、面積。要點(diǎn)二、正態(tài)分布1. 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)彳Z)21 _ 2 2正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：®叢旺(x)= e 口 (x R) , (b= 訟)其中x是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)變量的期望；二是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.2 .正態(tài)分布(1) 定義b如果對于任何實(shí)數(shù) a,b (a : b)隨機(jī)變量X滿足：P(a ： X乞b)，二(x)dx ,a 1則稱隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布。記為 x L Npf2)。(2 )正態(tài)分布的期望與方差若xLn("F2)，則X的期望與方差分別為：EX =二,DX =：；2。要點(diǎn)詮釋：(1 )正態(tài)分布由參數(shù) J和二確定。參數(shù)是均值，它是反映隨機(jī)變量取

3、值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計(jì)。C是標(biāo)準(zhǔn)差，它是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)。（2 ）經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年 齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常 生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用 壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布.要點(diǎn)三、正態(tài)曲線及其性質(zhì)：1.正

4、態(tài)曲線1如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f（x）e 2二（x R）,其中實(shí)數(shù)和二為參數(shù)42©（<! >0, " V卩£母），則稱函數(shù)f （X）的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。2 正態(tài)曲線的性質(zhì)： 曲線位于X軸上方，與X軸不相交； 曲線是單峰的，它關(guān)于直線 XT二對稱；1 曲線在X八I時(shí)達(dá)到峰值一丄；J2兀石 當(dāng)X L時(shí)，曲線上升；當(dāng)X I時(shí)，曲線下降并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以X軸為漸近線，向它無限靠近 曲線與X軸之間的面積為1 ； ）決定曲線的位置和對稱性；當(dāng)二一定時(shí)，曲線的對稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿X軸平移。 二

5、確定曲線的形狀；當(dāng)定時(shí)，曲線的形狀由 b確定。越小，曲線越 高瘦”表示總體的分布越集中；越大，曲線越矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示。J/f=0 51>1 L壬2-3-2-1P1 2 3要點(diǎn)詮釋：性質(zhì)說明了函數(shù)具有值域（函數(shù)值為正）及函數(shù)的漸近線（x軸）性質(zhì)并且說明了函數(shù)具有對稱性；性質(zhì)說明了函數(shù)在 x=時(shí)取最值；性質(zhì)說明 C越大，總體分布越分散，C越小，總體分布越集中.要點(diǎn)四、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率1.隨機(jī)變量取值的概率與面積的關(guān)系2若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N（4,<i ），那么對于任意實(shí)數(shù) a、b （av b）,當(dāng)隨機(jī)變量E在區(qū)間（a,b上取值時(shí)，其取值的概率與

6、正態(tài)曲線與直線x=a, x=b以及x軸所圍成的圖形的面積相等如圖（1 ）中的陰影部分的面積就是隨機(jī)變量孝在區(qū)間（a, b上取值的概率.一般地，當(dāng)隨機(jī)變量在區(qū)間（一a）上取值時(shí)，其取值的概率是正態(tài)曲線在 x=a左側(cè)以及x軸圍成圖形的面積，如圖（2 ）隨機(jī)變量在（a, +R）上取值的概率是正態(tài)曲線在 x=a右側(cè)以及x軸圍成圖形的 面積，如圖（3） 根據(jù)以上概率與面積的關(guān)系，在有關(guān)概率的計(jì)算中，可借助與面積的關(guān)系進(jìn)行求解.2、正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值：P（X 廠）=0.683 ；P（一2匚：X ；： I ： 2；） =0.954 ；P（.二3二：:：X 蟲=0.997。上述結(jié)果可用下圖表示：0

7、.997，落在小概率事件幾簡稱為3二原若 b i，則 P(X : b)二1 一 P(亠一b ： X d b)2要點(diǎn)詮釋：若隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N（d；2），貝y X落在（.二-3廠3二）內(nèi)的概率約為U- 3；刁之外的概率約為 0.003 , 一般稱后者為小概率事件，并認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，乎不可能發(fā)生。一般的，服從于正態(tài)分布 N（f2）的隨機(jī)變量X通常只?。?3二廠3二）之間的值, 則。3、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率方法（1 ）數(shù)形結(jié)合，利用正態(tài)曲線的對稱性及曲線與x軸之間面積為1。正態(tài)曲線關(guān)于直線 X »I對稱，與X八I對稱的區(qū)間上的概率相等。例如 P（X=P（X ；）； P(

8、X : a) =1 P(X _a)；（2）利用正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率: P（-；: X ：；）=0.6826 ； P(亠一2二:X=0.9544 ； P(-3二：:X _ J 3二)=0.9974?！镜湫屠}】類型一、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)例1.下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（)都是實(shí)數(shù)P（x）eC.P(x- = e2J2兀(XV)2-4P(x)二1-2-x2e2【思路點(diǎn)撥】本題可對照正態(tài)密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式判斷.【解析】 正態(tài)密度函數(shù)為:(X. .)2P(x)e 音J2 兀f(x)1 -2e 2 ,x (：，：)(2)f(x)1_(xJ)2: e 8 , x (-：,：)2 2(3)f

9、(x)2-2(x 1)2,2， ，x")其中指數(shù)部分的 二應(yīng)與系數(shù)的分母處的 二保持一致，系數(shù)為正數(shù)且指數(shù)為負(fù)數(shù).選項(xiàng)A有兩處錯(cuò)誤，分別是、2 -錯(cuò)為2 ,指數(shù)錯(cuò)為正數(shù).選項(xiàng)C,從系數(shù)可得；=2，而從指數(shù)處可得r -勺2，顯然不符選項(xiàng) D中指數(shù)為正，錯(cuò)誤所以正確答案為B.1 孕【總結(jié)升華】注意函數(shù) P(x)e 2匚 的形式特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.舉一反三：1(x_J0)2【變式1】設(shè)一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù) f(x)二_e_ 8的圖象，則這個(gè)正態(tài)總體的均2莎值與方差分別是()A. 10 與 8 B. 10 與 4C. 8 與 10 D. 2 與 10_ _ 2【答案】在該正態(tài)分布

10、中，)=10,二=2，則E(X)=10 , D(X)=匚=4，故選B。和標(biāo)準(zhǔn)差(T.【變式2】.給出下列三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請找出其均值【答案】(1) 0 , 1(2) 1 , 2(3)-1 , 0.5【變式3】正態(tài)總體為亠=0,；=14概率密度函數(shù)f(x)是A.奇函數(shù)B 偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】B。因?yàn)?f (x)=所以選B?！咀兪?】一臺機(jī)床生產(chǎn)一種尺寸為10 mm的零件，現(xiàn)在從中抽測10個(gè)，它們的尺寸分別如下(單位：mm ): 10.2 , 10.1 , 10 , 9.8, 9.9, 10.3 , 9.7 , 10 , 9.9, 10.1 .如果機(jī)床生

11、產(chǎn)零件的尺寸X服從正態(tài)分布,求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式.【答案】求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，只要求出參數(shù)J和二即可，而J即樣本均值，二即樣本標(biāo)準(zhǔn)差.1依題意得(10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1) = 10 ,102 1 2 2 2 2 2石 如一10） 25）（1（90） ”1。）50（ x0）2-3（10.310）2 （9.7 一10）2 （10 一10）2 （9.9 一10）2 （10.1 一10）2= 0.03.即-10 ,72 =0.03 所以X的概率密度函數(shù)為類型二、正態(tài)曲線例2.如圖所示，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布的

12、概率密度函數(shù)的解析式，求出總體 隨機(jī)變量的期望和方差.【思路點(diǎn)撥】由正態(tài)曲線的圖像可知，該曲線的對稱軸為x=20，最大值為，因此,2 :二卩=20,由匚的值.【解析】從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線1大值是，所以卩=20.2店解得；2 .于是概率密度函數(shù)的解析式是p（x）十（x20）2"4,x(8, +8).總體隨機(jī)變量的期望是方差是“_2 =（唧2） 2=2 .【總結(jié)升華】利用圖像求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的實(shí)質(zhì)性兩點(diǎn)：一是對稱軸x=s1是最值.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)縱、二便確定了，代入 P (x)中便可求出相應(yīng)的解析式.舉一反三：【變式1】關(guān)于正態(tài)密度曲線性質(zhì)的

13、敘述： 曲線關(guān)于直線X=亠對稱，整條曲線在 x軸上方； 曲線對應(yīng)的正態(tài)總體概率密度函數(shù)是偶函數(shù)； 曲線在x=時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低； 曲線的對稱位置由 卩確定，曲線的形狀由O確定，O越大曲線越 矮胖”反之，曲線越 高瘦"其中敘述正確的有().A .B.C.D.【答案】B根據(jù)曲線關(guān)于直線 x=對稱，只有當(dāng)J =0時(shí)函數(shù)才是偶函數(shù)，故錯(cuò).利用排除法選 B.【變式2】如圖，兩個(gè)正態(tài)分布曲線圖：1 為,g（x） , 2 為h（x）,貝V叫 J2，二1二2 （填大于，小于）【答案】v,>。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。【變式3】如圖是三個(gè)正態(tài)分布XN （

14、 0 , 0.25 ） , 丫N （ 0, 1 ）, ZN （0 , 4）的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X, Y, Z對應(yīng)曲線分別是圖中的 _yi【答案】?！咀兪?】已知正態(tài)總體落在區(qū)間0.2，二的概率是0 5，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線在X二時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)。【答案】0.2。由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x i對稱，由題意知0.2。類型三、正態(tài)分布的計(jì)算例3 已知隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N（2 , o2）,P（夫 4）= 0.84，則 P（軋 0并（)A 0.16B.0.32C. 0.68D.0.84【思路點(diǎn)撥】可畫出正態(tài)曲線，禾U用正態(tài)曲線的對稱性解決。【解析】 P（學(xué) 4）= 0.84 ,尸 2 , P（EW 0）

15、=P（p4）=1 0.84 = 0.16，故選 A.【總結(jié)升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對稱性的運(yùn)用。舉一反三：【變式1】（1） XL|N（0,1）,和二的值各是多少？ （ 2） xL|N（-1,9）,和二的值各是多少?【答案】（1） 比照 X N（巴b2） （b >0 ）, X LI N0時(shí)，卩=0, =1。（2） 比照 x L N（S2）（二 0 ）, X LI N（1 時(shí)，=1 二2 = 9，所以 J = 1,二=3?！咀兪?】在某次測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布 N（1,；2）（匚0），若 在（0 , 1）內(nèi)取值的概率為0.4，則匕在（0, 2 ）內(nèi)取值的概率

16、為【答案】0.8服從正態(tài)分布 N（12）,在(0, 1 )與(1 , 2)內(nèi)取值的概率相同，均為 0.4。在(0, 2)內(nèi)取值的概率為 0.4+0.4=0.8。【變式3】設(shè)隨機(jī)變量 XN ( 0 , 1),(1) P( av Xv 0)=P(0 v Xv a)(a>0);(2) P(Xv 0)=0.5 ;(3) 已知 P(|X| v 1)=0.6826，則 P(Xv 1)=0.1587 ;(4) 已知 P(|X| v 2)=0.9544，則 P(X v 2)=0.9772 ;(5) 已知 P(|X| v 3)=0.9974，則 P(X> 3)=0.9987。其中正確的有()A. 2

17、個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)【答案】D;均正確，充分利用正態(tài)曲線的對稱性及其意義。例4.設(shè)N (1 , 22),試求：(1) P ( 1< ,)3;(2) P (3 v ,)5;(3) P ( 5【思路點(diǎn)撥】要求隨機(jī)變量E在某一范圍內(nèi)的概率，只需借助于正態(tài)密度曲線的圖像性質(zhì)以及課本中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值.【解析】N (1, 22),» =1, a =2 ,(1) P ( 1 v EW)3 =P (1 2v EW 1+)=P (- v二)=0.683 .(2 )T P (3 v E<)5 =P ( 3 v E W1), P (3 v EW)51P(3：乞 5)

18、P(1：<3)2 1P(1 一4 ： 叨 4) _P(1_2 ：<12)=P(2；：2；)_ P(_；：'；)21(0.954 -0.683)0.136 .2(3) P ( E>)5 =P ( E 3), P(_) =1 _P(_3 ：乞5二丄口 _P(1 _4 ：乞 1 4)2 21 . 1 1 - P(二一2二：<2二)(1 一 0.954) = 0.023 .E的取值轉(zhuǎn)化到區(qū)間2 2【總結(jié)升華】在求隨機(jī)變量E在某一范圍內(nèi)的概率時(shí)，可以首先把隨機(jī)變量(二)、L -22二)以及(，-3二，3二)，然后利用在上的概率約為0.683，在(、-2=；'2二)

19、上的概率約為0.954，在(、-2丄川2二)上的概率約為0.997 .舉一反三：【變式 1 】X LI N(2,25),求 P(_13 :： X 乞17)?！敬鸢浮縓JN(2,25)時(shí)， ，二=5，"- _13 ,- 3 "7, P(_13 ：X 胡7) =0.9974【變式2】若nN (5, 1)，求P (5 <n< 7).【答案】 nN (5, 1),正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)為.二=5，二=1 ,該正態(tài)密度曲線關(guān)于 x=5對稱.11 P(5 ：: 7)P(3 ：: 7)0.954 =0.47722【變式3】設(shè)X LI N(0,1)。(1 )求 P(- 1

20、v X < 1); (2 )求 P(0 v X < 2?！敬鸢浮?1) X LI N(0,1)時(shí)，；- -1，二=1, P(-1 :： X <1 0.6826。(2) 4 一2貯=2，卩+2b =2，正態(tài)曲線tP0,1(x)關(guān)于直線x=0對稱,11- P(0 ： X _ 2)P(-2 ： X _ 2) ： 0.9544 二 0.4772。22類型四、正態(tài)分布的應(yīng)用例5.某年級的一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績近似服從正態(tài)分布N ( 70 , 102),如果規(guī)定低于 60分為不及格，那么(1) 成績不及格的人數(shù)占多少？(2) 成績在8090分內(nèi)的學(xué)生占多少？【思路點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)密度曲線對稱

21、性及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律.因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線關(guān)于直線x=y對稱，故本題可利用對稱性及特殊值求解.【解析】(1 )設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X,則 XN ( 70 , 102),其中 J =70，匚=10 .成績在6080分之間的學(xué)生人數(shù)的概率為P ( 70 10 v XV 70+10 ) =0.683 ,1不及格的人數(shù)占一乂( 1 0.683 ) =0.1585 .2(2) P ( 70 20 V XV 70+20 ) =0.954 ,成績在8090分內(nèi)的學(xué)生占1P (50 v XV 90) P (60 v XV 80) =0.1355 .2【總結(jié)升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對稱性的運(yùn)用及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律.舉一反三：1【變式1】工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布 N(4,)，問在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零9件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？11【答案】t XN (4, ) ,尸4 , 0=.93不屬于區(qū)間(3,5)的概率為P(XW 3卅 P(X> 5= 1 P(3< X<5)=1 P(4 1<X<4 + 1)=1 P( 3 o<X< 卩+ 3 0=1 0.997 =