圓經典例題分析總結學習資料

1、資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除圓經典例題分析總結經典例題透析1垂徑定理及其應用在圓這一章中，涉及垂徑定理的有關知識點很多，如弓形中的有關計算、切線的性質、判定定理等， 也是在各地中考中經常出現(xiàn)的一個考點.應用垂徑定理可以進行線段的垂直、平分以及弓形面積的計算等.1某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1) 請你補全這個輸水管道的圓形截面圖；(2) 若這個輸水管道有水部分的水面寬 AB=16cm ，水最深的地方的高度為 4cm ，求這個圓形截面的半徑 .思路點撥： 本題考查圓的確定、垂徑定理以及

2、直角三角形的性質有關等知識.解： (1) 作法略 .如圖所示 .(2) 如圖所示，過O 作 OC AB 于 D，交于 C， OC AB，word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除.由題意可知， CD=4cm.設半徑為 x cm，則.在 Rt BOD 中，由勾股定理得：.即這個圓形截面的半徑為10cm.總結升華： 在解答有關圓的問題時，常需要運用圖中已知條件尋找線段之間、角之間、弧之間的關系，從中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，從而達到解決問題的目的，此題還可以進一步求出陰影部分的周長或面積等.舉一反三：【變式 1】“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學著作九章算術中的問題：“今有圓

3、材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何 ?”用數(shù)學語言可表示為：如圖所示， CD 為 O 的直徑，弦 AB CD 于 E，CE=1 寸， AB=10 寸，則直徑 CD 的長為 ( )A12.5 寸B13 寸C25 寸D 26 寸答案： D解析： 因為直徑 CD 垂直于弦 AB，所以可通過連接OA(或 OB)，求出半徑即可 .根據(jù)“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”，知(寸)，在RtAOE 中，即，解得OA=13 ，進而求得CD=26( 寸).2圓周角及其應用圓周角與圓心角是本章中最常用的角，在中考中經常出現(xiàn)， 一般單獨考查它的題目不多，都是隱含在其他題目中

4、.2如圖所示， ABC 內接于 O，點 D 是 CA 延長線上一點， 若 BOC=120°，word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除BAD 等于 ( )A.30°B.60 °C.75°D.90°思路點撥： 本題可求先出 BAC 的度數(shù)， BAC 所對的弧是優(yōu)弧，則該弧所對的圓心角度數(shù)為360 °-120 ° =240 °，所以，因此，.答案： B.舉一反三：【變式 1】如圖所示， O 的內接四邊形 ABCD 中， AB=CD，則圖中與 1 相等的角有 _.答案： 6， 2 ， 5.解析： 本題中由弦A

5、B=CD 可知故有 1 = 6=2= 5.，因為同弧或等弧所對的圓周角相等，【變式 2】如圖所示，已知AB 為 O 的直徑， AC 為弦， ODBC，BC=4cm.(1) 說明 AC OD； (2) 求 OD 的長 .解： (1) AB 是 O 的直徑， C=90°， ODCB， ADO=C=90°， ACOD.(2) ODBC，O 是 AB 的中點， D 是 AC的中點，.word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除3切線的性質及判定涉及圓的切線的問題在各地中考中以各種題型出現(xiàn)， 主要考查切線的識別方法、切線的特征以及對切線的應用能力，所以應認真理解有關切線的內

6、容，并能用來解答實際問題 .3如圖所示， 直線 MN 是 O 的切線， A 為切點，過 A 的作弦交 O 于 B、C，連接 BC，證明 NAC=B.思路點撥： 如圖所示，過 A 作 O 的直徑 AD，連接 DC，利用角的關系，可證明 NAC 與B 相等.證明： 過 A 作直徑 AD，連接 DC， ACD=90°， D+ DAC= 90°. B=D， B+ DAC=90°. MN 是 O 的切線， NAD= 90 °， NAC= B.總結升華： 已知切線，經常添加過切點的半徑或直徑，利用直徑( 或半徑 ) 與切線的垂直關系來解決問題.舉一反三：【變式 1】

7、如圖所示， DB 切 O 于點 A， AOM=66 °，則 DAM=_.答案： 147 ° .解析： 因為 DB 是 O 的切線，所以OA DB，由 AOM=66 °，得 OAM=， DAM=90 °+57 ° =147 °.word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【變式 2】如圖所示， AB 是 O 的直徑，是 O 的切線， C 是切點，過A、B 分別作的垂線，垂足分別為E、 F，證明 EC=CF.思路點撥： 已知是 O 的切線，連接過切點C 的半徑 OC，易得 AE OCBF，因為 O 是直徑的中點，因此， EC=C

8、F. 解：連接 OC. EF 是 O 的切線， OC EF. AF EF， BF EF， AE OCBF. AO=BO. EC=CF.總結升華： 利用圓心是直徑的中點，本題可證得 OC 為梯形 AEFB 的中位線 .進一步可得 AE+BF=AB.【變式 3】如圖所示，ABC 內接于 O，要使過點A 的直線 EF 與 O 相切于 A點，則圖中的角應滿足的條件是只填(一個即可 ).答案： BAE= C 或 CAF= B.4如圖所示， EB、BC 是 O 是兩條切線， B、C 是切點， A、D 是 O 上兩點，如果 E=46 °， DCF=32°，那么 A 的度數(shù)是 _.答案：

9、99 °.解析： 由 EB=EC， E=46 °知， ECB= 67°，從而 BCD=180 °-67 °-32 ° =81 °，在 O 中， BCD 與 A 互補，所以 A=180 ° -81 °=99 °.舉一反三：【變式 1 】如圖所示，已知在 OB 為半徑的圓與 AB 交于點 E，與ABC 中， B=90 °，O 是 AB 上一點，以 O 為圓心、 AC 切于點 D.求證： DE OC；word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除證明： 連接 OD, 則 ODC=90

10、°， ODE= OED，由切線長定理得：CD=CB， RtODC RtOBC， COB=COD， DOE+2OED=180 °，又 DOE+2COB=180°， OED=COB， DE/OC4兩圓位置的判定在各地中考試題中，單獨考查點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系的題目一般多以選擇題、填空題為主，在解答題、探究題中也經常作為主要考查目標，這部分內容不僅考查基礎知識，而且考查綜合運用能力 .5填空題(1) 已知圓的直徑為13 cm ，圓心到直線的距離為 6cm ，那么直線和這個圓的公共點的個數(shù)是 _.(2) 兩個圓內切，其中一個圓的半徑為5，兩圓的圓心距為 2，則

11、另一個圓的半徑是_.思路點撥： (1) 直線與圓的位置關系：相離、相切、相交.判定方法有兩種：一是看它們的公共點的個數(shù)；二是比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小.實際上這兩種方法是等價的，由題意可知，圓的半徑為6.5cm ，而圓心到直線的距離 6cm<6.5cm ，所以直線與圓相交，有2 個公共點 .(2) 兩圓有三種位置關系： 相交、相切 ( 外切、內切 ) 和相離 ( 外離、內含 ).兩圓內切時，圓心距，題中一圓半徑為5，而 d=2 ，所以有，解得 r=7 或 r=3 ，即另一圓半徑為7或3.答案： (1)2個； (2)7 或 3.舉一反三：【變式 1】兩圓半徑分別為1 和 7，若它

12、們的兩條公切線互相垂直，則它們的圓心距為 _.答案：或或 10.word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【變式 2】已知兩圓的圓心距為 3，的半徑為 1.的半徑為 2，則與的位置關系為 _.答案： 外切 .【變式 3】在平面直角坐標系中如圖所示，兩個圓的圓心坐標分別是(3 ，0) 和(0 ，-4) ，半徑分別是和，則這兩個圓的公切線有( )A.1 條B.2 條C.3 條D.4條答案： C.解析：本題借助圖形來解答比較直觀的位置關系，因此必須求出兩圓的圓心距，所以 AB=5，.要判斷兩圓公切線的條數(shù)，則必須先確定兩圓根據(jù)題中條件， 在 Rt AOB 中，OA=4，OB=3 ，而兩圓

13、半徑為和，且，即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，所以兩圓相外切，共有3 條公切線 .5弧長的計算及其應用6如圖所示，在正方形鐵皮下剪下一個圓形和扇形，使之恰好圍成圖中所示的一個圓錐模型，設圓的半徑為 r ，扇形半徑為 R，則圓的半徑與扇形半徑之問的關系為( )word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除A.B.C.D.思路點撥： 由扇形與圓恰好圍成圓錐的條件是圓的周長與扇形的弧長相等，所以，化簡即可得R=4r.答案： D.6圖形面積的計算及其應用與圓有關的圖形面積計算問題有圓的面積、扇形面積、圓柱及圓錐的側面積與全面積.考查題型以選擇題、填空題、解答題為主，考查重點是對有關公式的靈活

14、運用是不規(guī)則圖形面積的計算，應首先將其轉化為規(guī)則圖形，然后再進行.其中7沈陽市某中學舉辦校園文化藝術節(jié)，小穎設計了同學們喜歡的圖案“我的寶貝”，圖案的一部分是以斜邊長為12cm 的等腰直角三角形的各邊為直徑作的半圓，如圖所示，則圖中陰影部分的面積為( )A.B.72C.36D.72答案： C.解析： 本題解法很多，如兩個小半圓面積和減去兩個弓形面積等.但經過認真觀察等腰直角三角形其對稱性可知，陰影部分的面積由兩個小半圓面積與三角形面積的和減去大半圓面積便可求得，所以由已知得直角邊為，小半圓半徑為(cm) ，因此陰影部分面積為.word總結升華： 求組合圖形的面積一般要構造出易求面積的基本圖形，

15、可編輯通過基本圖形面資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除積的加減得出結論.舉一反三：【變式 1】設計一個商標圖案， 如圖所示， 在矩形 ABCD 中，AB=2BC，且 AB=8cm ，以 A 為圓心、 AD 的長為半徑作半圓，則商標圖案 ( 陰影部分 ) 的面積等于 ( ).A.(4 +8)cm 2B.(4 +16)cmC.(3+8)cm 2D.(3 +16)cm答案： A.22解析： 對圖中陰影部分進行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面積和差關系. 矩形 ABCD 中， AB=2BC，AB=8cm ， AD=BC=4cm ， DAF=90 °，又 AF=AD=4cm ，.7圓與其

16、他知識的綜合運用8如圖所示， 已知燈塔 A 的周圍 7 海里的范圍內有暗礁， 一艘漁船在 B 處測得燈塔 A 在北偏東 60 °的方向，向正東航行 8 海里到達 C 處后，又測得該燈塔在北偏東 30 °的方向，漁船如果不改變方向，繼續(xù)向東航行，有沒有觸的礁危險？思路點撥： 若漁船在向東航行的過程中的每一位置到A 點的距離都大于7 海里，則不會進入危險區(qū)域，所以只要計算航線上到A 點最近的點與A 點的距離 .解：過點 A 作 AD BC 交直線 BC 于 D，設 AD=x 海里 . ABD=90 ° -60 °=30 °， ACD=90°

17、; -30 °=60 °， AB=2x ， AC=2CD.word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，.，.即.這就是說當漁船航行到點D 時，在以 A 為圓心、以7 海里為半徑的圓形暗礁內.所以，若不改變航向繼續(xù)向正東航行，有觸礁的危險.總結升華： 解這類實際問題，只需求其最小值或最大值，與已知數(shù)據(jù)進行比較，從而得出正確的結論 .9小明要在半徑為 1 m 、圓心角為 60°的扇形鐵皮中剪取一塊面積盡可能大的正方形鐵皮， 小明在扇形鐵皮上設計如圖 1 和圖 2 所示的甲、乙兩種剪取方案，請你幫小明計算一下，按甲、乙兩種方案剪取所得的正方形的面積，并估算哪

18、個正方形的面積較大 .(估算時取 1.73 ，結果保留兩個有效數(shù)字).思路點撥： 要比較甲、乙兩方案剪取的正方形的面積大小，關鍵在于求出邊長.解：方案甲：如圖，連接 OH，設 EF=x，則 OE=2OF，.在 Rt OGH中， OH2 =GH2+OG2，即，word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除解得.方案乙：如圖所示，作于 M，交于 N，則 M、N分別是和的中點，連接.設，則，在中，即，.若取，則，. x2 >y2，即按甲方案剪得的正方形面積較大.總結升華： 此類問題是生活中的一個實際問題，解決此類問題時，應先將實際問題轉化為數(shù)學問題 .10 已知射線 OF 交 O 于 B，半徑 OA OB， P 是射線 OF 上的一個動點 (不與 O、B 重合 )，直線 AP 交 O 于 D，過 D 作 O 的切線交射線 OF 于 E.(1) 如圖所示是點P 在圓內移動時符合已知條件的圖形，請你在圖中畫出點P 在圓外移動時符合已知條件的圖形 .(2) 觀察圖形，點 P 在移動過程中， DPE 的邊、角或形狀存在某些規(guī)律，請你通過觀察、測量、比較寫出一條與 DPE 的邊、角或形狀有關的規(guī)律 .(3) 點 P 在移動過程中，設 DEP 的度數(shù)為 x，OAP 的度數(shù)為 y，求 y 與 x 的函數(shù)關系式，并寫出自變量 x 的取值范圍 .思路點撥：如圖所示，連接