線性代數(shù)教案(正式打印版)

1、線性代數(shù)教案（正式打印版）第（1）次課授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第一章第一、二、三節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和 綸下書1.線性代數(shù)（第4版）同濟(jì)大學(xué)編1 .教學(xué)目的：熟練掌握2階,3階行列式的計(jì)算； 掌握逆序數(shù)的定義，并會(huì)計(jì)算； 掌握n階行列式的定義；2 .教學(xué)重點(diǎn)：逆序數(shù)的計(jì)算；3 .教學(xué)難點(diǎn)：逆序數(shù)的計(jì)算.1 .教學(xué)內(nèi)容：二、三階行列式的定義；全排列及其逆序數(shù)；n階行列式的定義2 .時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3 .教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4 .教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.33備注基本內(nèi)容第一節(jié)二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念設(shè)二元線性方程組allxla1

2、2X2bla2iX2a22X2b2用消兀法,當(dāng)aiia22ai2a210時(shí),解得aiib2a21bla11a22 ai2a21a22biai2 b2Xi ,X2aiia22ai2a21令a11a12ana22a12a21,稱為二階行列式，則a21a 22如果將D中第一列的元素an, a21換成常數(shù)項(xiàng)b1, b2 ,則可得到另一個(gè)行列式，用字母D1表示，于是有D1b1 a12b2 a22按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：“a22 b2a21,這就是公 式（2）中”的表達(dá)式的分子。同理將D中第二列的元素a 12,a 22換 成常數(shù)項(xiàng)b1,b2 ,可得到另一個(gè)行列式，用字母D2表示，于是有_a

3、1 b1D211 Ja21 b2按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：anb2 a*/這就是公 式（2）中X2的表達(dá)式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為XiX2D1 D D2 D其中3x12x212例1.解線性方程組2x1X21同樣，在解三元一次方程組a11x1a12x2a13x3b1a21 x1a22x2a23x3b2時(shí)，要用到a31x1a32x2a33x3b3“三階行列式”，這里可采用如下的定義.二、三階行列式的定義設(shè)三元線性方程組a11x1a12x2a13x3b1a21x1a22 x2a23x3b2a31x1a32x2a33x3b3用消元法解得_4叼嚴(yán)衛(wèi)+的向他2 瓦電爐空一。1

4、心：3阻3 一的阻口各N口1惘心口史十可口口的*31+?？诳?1津蒐-佝1齒支的2 一口1洞f：!悝罵一口匯博22的v _口1也與？十瓦%為1+與與鳥(niǎo)可尼也一瓦與陶3一叮1*2的1勺+ 4耳0"1面二 一qI口刃 一口12221 口疊:-tWj3*n口寶_ 的的3片+函島直引+4啊1% 團(tuán)也由32 一的3的淡一瓦的濰打的曲湃犯十町口9% +的主孫心!-電心 -刈!眄-3%為1定義 設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表a11a12a13a21a22a23a13a22a31ana23a32a12a2123,a31a32a33a11a12a13記Da21a22a23a31a32a33a1a22a3

5、3a12a23a31a13a21a32稱為三階行列式，則h 3 g 也a士 口亞 G口第% X &3，與密白11處瓦*31%與"l 1 au %422% 江生，叼一厘1口 12廛21口 22"為與1 上%3，色11”12% 心氣三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和，也用對(duì)角線法則來(lái)記憶: 從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè) 元素取負(fù)號(hào)，即例2.計(jì)算三階行列式1 1例3.求解方程2 34 9124D 2 21 .(-14)3 420 ( x 2或 x 3)2x y z 2例4.解線性方程組x y 4z 03x 7y 5z 5解先計(jì)算系數(shù)行列式211D

6、11410 12 7 3 56 569 037 5再計(jì)算 Di,D2,D3211Di01457 551，D222 1104 31，D3355D1d17D223，y D31D35,z 69D69第二節(jié)全排列及其逆序數(shù)弓I例：用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的三位數(shù)？一、全排列把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列（簡(jiǎn)稱 排列）.可將n個(gè)不同元素按1n進(jìn)行編號(hào)，則n個(gè)不同元素的全排列 可看成這n個(gè)自然數(shù)的全排列.n個(gè)不同元素的全排列共有n!種.二、逆序及逆序數(shù)逆序的定義：取一個(gè)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列，其它排列中某兩個(gè)元素 的次序與標(biāo)準(zhǔn)排列中這兩個(gè)元素的次序相反時(shí)，則稱有一個(gè)逆序.通常

7、取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列，即1n的全排列中取123 （n 1）n為標(biāo)準(zhǔn)排列.逆序數(shù)的定義：一個(gè)排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為偶排列.例1：討論1,2,3的全排列.全排列123231312132213321逆序數(shù)022113奇偶性偶奇n逆序數(shù)為tt1t2tn ti .i 1逆序數(shù)的計(jì)算：設(shè)P1 P2Pn為123 （n 1）n的一個(gè)全排列，則其其中ti為排在Pi前，且比Pi大的數(shù)的個(gè)數(shù).例2:求排列54321的逆序數(shù).解：t 0,t2 1,t32,t43,t54,tti10.i 1（對(duì)于逆序數(shù)的計(jì)算介紹另一種

8、算法）第三節(jié)n階行列式的定義F面可用全排列的方式改寫二階，三階行列式.二階行列式a11 aa21 a1222a11a22a12 a21a11a12a11a22a12 a21a21 a 22其中：P1 P2 是 1,2的全排列，t是P1P2的逆序數(shù)，是對(duì)所有1,2的全排列求和.三階行列式a11a12a13Da21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a13a22a3iaia23a32a12 a21a33其中：P1P2 P3是1,2,3的全排列,t是P1P2 p3的逆序數(shù)，是對(duì)所有1,2,3的全排列求和.a21 a22(1戶2住戶2p2 as,%.a1

9、3a31a32其中：P1 P2P是1,2, ,n的全排列，t是Pf2Pn的逆序數(shù)，是對(duì)所有1,2,n的全排列求和.例1.計(jì)算對(duì)角行列式：0 0 0 10 0 2 00 3 0 04 0 0 0(24)例2.證明對(duì)角行列式（其對(duì)角線上的元素是i,未寫出的元素都為0）n n 11212 n證明:按定義式例3.證明下三角行列式aiia2ia22aia22annan1an2ann證明：按定義式得a220a330a32a33a43Daiiaii a22an2an3annan3an4annall a22ann .以上，n階行列式的定義式，是利用行列式的第一行元素來(lái)定義行列式的，這個(gè)式子通常稱為行列式按第一

10、行元素的展開(kāi)式回顧和小結(jié)小結(jié)：1 .二三階行列式的定義；2 .全排列及其逆序數(shù)；3 .n階行列式的定義。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1231 .計(jì)算三階行列式D7894562 .求排列54321的逆序數(shù).作業(yè)題：習(xí)題一：第 1 (1,3)、2 (2,4,6 )實(shí)施情況及分析1 .通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員理解了二、三階行列式和全排列及的定義概念，會(huì)計(jì)算二、三階行列式；2 .對(duì)其逆序數(shù)等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（2 ）次課 授課時(shí)間（教學(xué)章節(jié)第一章第四、五節(jié)學(xué)時(shí) 2學(xué)時(shí)教材和 綸下書線性代數(shù)（第4版）同濟(jì)大學(xué)編1 .教學(xué)目的：掌握對(duì)換的概念；掌握 n階行列式的性質(zhì)，會(huì)利用n階行列式 的性質(zhì)計(jì)算n階行列式的值；2

11、.教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)；3 .教學(xué)難點(diǎn)：行列式的性質(zhì).1 .教學(xué)內(nèi)容：對(duì)換；行列式的性質(zhì)；2 .時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3 .教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4 .教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.備注基本內(nèi)容第四節(jié)對(duì)換對(duì)換的定義：在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)， 這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換.將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換.例：a1 al a bb1 b a1 al ba b1 b.定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶Ti.推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)證明： 由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的 變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列（逆序數(shù)

12、為0）,因此知推論成立定理2 : n階行列式為:aiia12anian2ai3a23ani(1)tapiiap22aPnn .其中t為P1P2Pn的逆序數(shù).（以4階行列式為例，對(duì)證明過(guò)程作以說(shuō)明）（補(bǔ)充）定理3 n階行列式也可定義為aiia12ai3a21a22(1) apap2cli2aPnq1n.anian2ani其中PlP2Pn和q0qn是兩個(gè)n級(jí)排列，t為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.練刁試判斷 ai4a23 a31a42 a56 a65 和a32 a43 a14a51a25 a66杳都無(wú)八 價(jià)行列式中的項(xiàng).第五節(jié)行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式的定義記Da11a21a21a22a1 na

13、2nDT =ana12a21a22an1an 2(D )aman2annama2 nann行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換成列）一、n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 : 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.由此知，行與列具有同等地位.關(guān)于行的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成 立，反之亦然.如：DDT以ri表示第行，Cj表示第j列.交換i, j兩行記為rirj ,交換i,j兩列記作 CiCj.性質(zhì)2 :行列式互換兩行（列），行列式變號(hào).推論:行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零性質(zhì)3 :行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)k,等于用數(shù)k乘以該行列式.推論： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)

14、外.性質(zhì)4 :行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零.性質(zhì)5:若行列式中某一行的元素都是兩數(shù)之和,則此行列式等于兩個(gè)行列式之和.即若aiia12(aiiaii)aina2ia22a2ia2ia2nanian2anianiannD性質(zhì)6 :的元素乘以數(shù)k再加到另aiiai2aiiainaiiai2aiiaina2ia22a2ia2n+a2ia22a2ia2nanian2aniannanian2aniann則D把行列式某一行一行（列）上，則該行列式不變.n階行列式的計(jì)算:例1.計(jì)算D解:例2.25123 71 45927461214 cle3r2 2r41000abbbbabbDbb

15、ab1a 3ba522120030003a 3b a 3bbabbbb214r2 ri07口 2”0r4 r12015217329516452221 61131209.a 3b a 3bbbabba1111111b a b bii br10 a b 0a 3bb b a bi 2,3,40 0ab b b a0003bb100a b(a 3b)(a b).（ 推廣至n階，總結(jié)一般方法）例3.證明:證明:pqqrrP1qqrrP2q2q22r2左端第一列性質(zhì)5pqrrP1qrrP2q2上萬(wàn)PP1P2q q1 q2rr1PP1P2rr1r2Pqr2P1q1r1P2q2上qrrpq1rrpq2b。P

16、2PP1P2qqrrpqqrrpq2q2上上P2PqrP1q1r1P2q2bqrpq1r1P1q2bP2回顧和小結(jié)小結(jié)：對(duì)換和n階行列式的性質(zhì)與計(jì)算1 .對(duì)換的定義及兩個(gè)定埋；2 . n階行列式的性質(zhì)與計(jì)算；復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1 .把排列54132作一次對(duì)換變?yōu)?4135,問(wèn)相當(dāng)于作幾次相鄰對(duì)換？把排列12345作偶數(shù)次對(duì)換后得到的新排列是奇排列還是偶排列？0ab a2 .計(jì)算：a 0ab.D b a 0 aa b a 0作業(yè)題：習(xí)題一：第 3, 4 (2, 4) ,5(2,4,5)1.通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員掌握了 n階行列式的定義和對(duì)換的概念；實(shí)施情況及分析2.對(duì)利用n階行列式的定義和對(duì)換等方

17、面的應(yīng) 用有待加強(qiáng).第（3 ）次課 授課時(shí)間（）教學(xué)章節(jié)第一章第六節(jié)學(xué)時(shí) 2學(xué)時(shí)教材和 綸下書1.線性代數(shù)（第4版）同濟(jì)大學(xué)編；1 .教學(xué)目的：了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開(kāi)；2 .教學(xué)重點(diǎn)：行列式按行（列）展開(kāi)；3 .教學(xué)難點(diǎn)：行列式按行（列）展開(kāi).1 .教學(xué)內(nèi)容：行列式按行（列）展開(kāi);2 .時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3 .教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4 .教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示備注基本內(nèi)容第六節(jié) 行列式按行（列）展開(kāi)定義 在n階行列式中，把元素aj所處的第i行、第j列劃去,剩下的元素按原排列構(gòu)成的n I階行列式，稱為aj的余子式，記為M j ；而Aj（ 1）i jM

18、j稱為aj的代數(shù)余子式.引理如果n階行列式中的第i行除aj外其余元素均為零，即:則:D aijAj.先證簡(jiǎn)單情形:aiiaijaijanja2ia22aiina2nanian2ann再證一般情形:嚴(yán)一】定理行列式等于它的任意一行的各元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即按行:aiIAjiai2Aj2a.Ajn 0 i j按列:aii Aija2i A2jani40 i j證:（此定理稱為行列式按行（列）展開(kāi)定理）Onl0 0a2OnnOi七Oi0為七4nOiiAiiOi2A2周五0 02Hi02Oln0HnOilO20 0Oni2七OnanOinAn(i i,2,n).3 i i 25i3420i

19、ii 5 332 ii 2例 2： Dn211 2解：Dn-1 2 -1-1+1x(-1 廣2 -1Dnn 1.從而解得Dn n 1.例3.證明范德蒙行列式111X1X2Xn222X1X2Xnn 1n 1nX1X2Xnn1DnXiXj其中，記號(hào)"”表示全體同類因子的乘積證 用歸納法因?yàn)镈2X2X1X1X2所以，當(dāng)n 2n=2時(shí)，（4）式成立.現(xiàn)設(shè)（4）式對(duì)n 1時(shí)成立，要證對(duì)n時(shí)也成立.為此，設(shè)法把Dn降階；從第n行開(kāi)始，后行減去前行的X1倍，有111L10X2 X1X3XLXnX1Dn0 X2X2X1X3 X3X1LXn XnX10LLLL0X；2X2X1n 2X3X3X1Ln 2

20、XnXnX1（按第一列展開(kāi)，并提出因子X(jué)i X1）X2X1 X3X1XnX11X21X31Xnn 1階范德蒙行列式nX2n 2X3n 2Xn由假設(shè)X2X1X3 Xi L XiXiXjXXjj 1定理的推論行列式一行的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)各元素代數(shù)余乘積之和為零，即ai1Aj1ai2Aj2ain Ajn 0按列:a1iA1ja2i A2jani Anj結(jié)合定理及推論，得nnaik Ajk D ij , a kiAjk 1k 1ij，其中1.(i0(ij) j)例4.計(jì)算行列式D5100037242123132514502000的值。回顧和小結(jié)小結(jié)：行列式按行（列）展開(kāi)。1 .余子式和代數(shù)余子

21、式的概念；2 .行列式按行（列）展開(kāi)；復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題123n-r,、r1200思考題：設(shè)：Dn 1030,100n求第行各元素的代數(shù)余子式之和作業(yè)題：習(xí)題一：第 7 （2, 3, 5, 6）實(shí)施情況及分析1 .通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員理解了余子式和代數(shù)余子式的概念，掌握行列式按行（列）展開(kāi)；2 .對(duì)利用行列式按行（列）展開(kāi)的方法計(jì)算行 列式等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).第（4 ）次課 授課時(shí)間（教學(xué)章節(jié)第一章第七節(jié)學(xué)時(shí) 2學(xué)時(shí)教材和 綸下書線性代數(shù)（第4版）同濟(jì)大學(xué)編1 .教學(xué)目的：了解克拉默法則的內(nèi)容，了解克拉默法則的證明，會(huì)利用克拉默法則求解含有n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組的解；2 .教學(xué)重點(diǎn)：克拉默法

22、則的應(yīng)用；3 .教學(xué)難點(diǎn)：克拉默法則的應(yīng)用.1 .教學(xué)內(nèi)容：克拉默法則；2 .時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3 .教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4 .教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.備注基本內(nèi)容第七節(jié)克拉默法則含有n個(gè)未知數(shù)X1, X2，,Xn的n個(gè)方程的線性方程組&1X1a21 X1a12X2a22 X2ainXnb)a2 n X2b2(1)anlXian2X2ann Xnbn與二、三元線性方程組相類似,它的解可以用n階行列式表示.a11an1DiD2X1, X2DD. , XnDn定理1 （Cramer法則）如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式不等于a1nann則方程組（1）有且僅有一組解:其中Dj

23、 j 1,2,.,n是把系數(shù)行列式D中的第j列的元素用方程組右端的常數(shù)列代替，而其余列不變所得到的n階行列式Djaa2,jhb2a,j3,ja>nananna（證明在第二章）當(dāng)Mb2,.,bn全為零時(shí)，即an、a21X1a12X2a22X2anXa2nX2an1X1an2X2annXn稱之為齊次線性方程組.顯然，齊次線性方程組必定有解(x10,x20,，xn0 ).根據(jù)克拉默法則，有1 .齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0時(shí)，則它只有零解（沒(méi)有非零解）2.反之，齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D 0.例1 .求解線性方程組2x1x25x3x48為3x26x492x2x32x45x14

24、x27x36x40解：系數(shù)行列0同樣可以計(jì)算D1D389502101132413245017895016261626812101895050171626108所以X1D13D 3, x227，D2D210113245017895027,4 , X3D3D1 , X4D41.D注意:1.克萊姆法則的條件:n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程，且d 02.用克萊姆法則求解方程組運(yùn)算量大一般不采用它求解方程組。3.克萊姆法則具有重要的理論意義。4.克萊姆法則說(shuō)明線性方程組的解與它的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的 依存關(guān)系.例2.用克拉默法則解方程組3xi 5x2 2x3 X4 3, 3x

25、2 4x4 4, X1 x2 x3 x411/6 ,x x2 3x3 2x4 5/6.例3.已知齊次線性方程組(5)x2y2z02x(6)y02x(4)z0有非零解，問(wèn)應(yīng)取何值？解系數(shù)行列式D (5)(2)(8)由：D 0 ,得2、5、8.線性代數(shù)教案(正式打印版)回顧和小結(jié)小結(jié)：克拉默法則.1 .內(nèi)容；2 .應(yīng)用.復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時(shí)方程組的解為何？作業(yè)題：習(xí)題一第 8 (2)、9 (2 ,4)實(shí)施情況及分析1 .通過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)員理解了解克拉默法則的內(nèi)容，了解克拉默法則的證明，會(huì)利用克拉默法則求解含有n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的

26、線性方程組的 解；2 .對(duì)利用克拉默法則等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).35線性代數(shù)教案（正式打印版）第（5）次課授課時(shí)間（教學(xué)章節(jié)第二章第一、二節(jié)學(xué)時(shí) 2學(xué)時(shí)教材和綸巧書1.線性代數(shù)（第四版）同濟(jì)大學(xué)編；2.同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編線 性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解；3.孫建東等編線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型 例題解析。1 .教學(xué)目的：了解矩陣的概念；掌握矩陣的運(yùn)算；2 .教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算；3 .教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算。1 .教學(xué)內(nèi)容：矩陣；矩陣的運(yùn)算；2 .時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3 .教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4 .教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。35基本內(nèi)容第一節(jié)矩陣aina2na mnaina2

27、namn其中aj表示A中第i行，第j列為按行列式的運(yùn)算規(guī)則所得到【整體，不對(duì)這些數(shù)作運(yùn)算。登記表等，都可寫出相應(yīng)的矩1.2,川一、矩陣的定義稱m行、n列的數(shù)表aii a12a21 a 22ami am2為m n矩陣，或簡(jiǎn)稱為矩陣；表示為aiia12a2l a 22Aami am2 或簡(jiǎn)記為A (aj )m n,或A (aj )或Am n ； 的元素。aiiai2ain其中行列式Da2ia22a2namiam2amn的一個(gè)數(shù)；而m n矩陣是m n個(gè)數(shù)白 例如，公司的統(tǒng)計(jì)報(bào)表，學(xué)生成紜 陣。設(shè) A (aj)mn, B (bj)mn 都是 m I %=%0帆；j則稱矩陣A與B相等，記成A B二、特殊

28、形式n階方陣：n n矩陣行矩陣：1 n矩陣（以后又可叫做行向量），記為A （ai,a2, an）歹U矩陣：m 1矩陣（以后又可叫做列向量），記為biB b2bm零矩陣：所有元素為0的矩陣，記為O對(duì)角陣：對(duì)角線元素為1, 2，n，其余元素為D的方陣，記為4二4 -二出咫（4為，4）I k單位陣：對(duì)角線元素為1,其余元素為0的方陣，記為11E1三、線性變換的系數(shù)矩陣線性變換的定義：設(shè)變量y1,y2,.,ym能用變量X1,X2，,Xn線性表 示，即線性代數(shù)教案（正式打印版）yiaiiXiy2a2i Xia12X2a22 X2aInXna2nXnymami Xiam2X2amn Xn這里 aj i i

29、,2, ,m; j i,2, ,n為常數(shù)這種從變量Xi,X2，,Xn到變量yi , V2,，Vm的變換稱為線性變換。線性變換由m個(gè)n元函數(shù)組成，每個(gè)函數(shù)都是變量的一次哥，故而稱之為線性變換。上式的系數(shù)可構(gòu)成一個(gè)m n矩陣aiia21a12a22aia2naj m n ajamiam2amnaiia2iA 2iai2a22aia2稱之為線性變換的系數(shù)矩陣。amiam2amn37對(duì)應(yīng)的。線性變換和系數(shù)矩陣是如，直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換（變量（x, y）到變量（X, y ）的變換）X' cos Xy' sin Xsin ycos y的系數(shù)矩陣為A cos sin . sin cos怛等交

30、換Vi%V2X2y mXm的系數(shù)矩陣為1例.E11aiiXiai2X2ainxn0a2iXi222X2a2nxn0同樣，齊次線性方程組amixla m2 X2amnxn 0aiiai2ain與系數(shù)矩陣Aa2ia22a2n ,也是一一對(duì)應(yīng)的.amiam2amnaiiXiai2X2ainXnbia2i Xia22 X2a2nXnb2非齊次線性方程組ami Xiam2X2amn Xnbmaiiai2ain bi與增廣矩陣Aa2ia22a2n b2也是一一對(duì)應(yīng)的。amiam2amn bm第二節(jié)矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)教案(正式打印版)41、加法及 A (a。)m,B (bij)mn,都是m n矩陣，則加法定

31、義為顯然,aibiia12bi2aina2ib2ia22b22a2namibmiam2bm2amnD(A B)CA (BA)A,bin b2nA B二、數(shù)乘設(shè)是數(shù),(aij)mn是m n矩陣，則數(shù)乘定義為aiiai2ainAa2ia22a2 namiam2amn顯然A,A,三、乘法乘法運(yùn)算比較復(fù)雜，首先看一個(gè)例子設(shè)變量t,t2到變量”,X2,X3的線性變換為XiX2X3biitib21t1b31tib12 t 2b22 t 2b32t2變量Xi, X2, X3到變量yi, y2的線性變換為ViaiiXiy2a2i Xia12x2a22 X2a13X3a23X3那么，變量Lb到變量y02的線性變

32、換應(yīng)為V1V1a11 b11 t1a21 b11t1b12t2b12 t2a12 b21t1a22 b21t1b22 t2b22t2a13 b31t1 b32 t2a23 b31t1b32 t2V1V1a11blia21blia12 b21 a22 b21a13 b31 t1a23 b31t1a11b12a21b12a12 b22 a22 b22a13b32 t2a23 b32t2定義矩陣ana21a12a22a13和a23b1b2b31b12b22b32的乘積為a11 a12a21 a 22bnb12b21b22b31b32a13a23anbna21b11a12 b21a22b21a13b3

33、1a11b1a23b31 a21bta12ba22 b2222a13b32a23 b32按以上方式定義的乘法具有實(shí)際意義.由此推廣得到一般定義設(shè)A (aj)ms, B (bj)sn,則乘法定義為AB C其中 C (Cij )m nsCij ai1b1jai2b2jaisbsjaikbkjk 1i 1,2, ,mj 1,2, ,n注：兩個(gè)矩陣相乘要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù);乘積矩陣的第i行，第j列元素為前一個(gè)矩陣的第i行元素與后一個(gè)矩陣的第j行元素對(duì)應(yīng)相乘再相加1 0 3例：設(shè)A2 1 041211103線性代數(shù)教案（正式打

34、印版）47AB41211103031401 3 1 0 0 3 3 11 40 2 32 0 1 3 0 1 2 4111例：設(shè)A2-34-6求AB及BA。解：AB1681。2 BA3由此發(fā)現(xiàn)：（1）ABBA,（不滿足交換律）(2)O ,但卻有BA O o一個(gè)必須注意的問(wèn)題Bs n,則 Am sBs n成立，當(dāng)m n時(shí)，BsnAms不成立;2.即使Am n,Bn m ,則Am nBn m是m階方陣，而B(niǎo)n mAm階方陣;3.如果A,B都是n階方陣，例如A 12 I，16 AB83216 ,而“綜上所述，一般ABBA（即矩陣乘法不滿足交換率）F列性質(zhì)顯然成立: AB C A BC ,AB AB

35、AB, A B C AB AC ,B C A BA CA幾個(gè)運(yùn)算結(jié)果:bi1 .a1，a2,b2 ,anaibia2 b2bn2.bib2ai, a2,ana1bla1b2a2 bla2 b2bnanbianb2an bn ；aibn a2bnanbn3 .若A為m n矩陣，E是m階單位陣，則EAA;若E是n階單位陣,4 .線性變換的矩陣表示:yiaiiXiai2X2ain xnV2a2ixia22 X2a2nXnymamiXiam2X2a Xmn 八'naiiai2ainXiyiAa2ia22a2 nX2y2,X,y,amiam2amnXny m則y Ax5 .線性方程組的矩陣表示:

36、aiiXia12 X2ain Xnbia21 X1a22 X2a2nXnb2,amiXiam2X2a x mn人nbmaiiai2ainXibiAa2ia22a2 nX2 ,X,bb2amiam2amnXnbm則 Ax b矩陣的哥：A2AA, A3 AA2, An AAn 1例.證明cossinnsincoscosnsin nsin ncosn證明用歸納法：n 1時(shí)，顯然成立，假定n k時(shí)成立，則ncosk 1sincossinksincossincossincossincoscos sincosk sinkcoscosksinsin kcossin ksincosksincoskcossin

37、 ksinsin kcoscosksin cossin k coskcos(k 1)sin(k 1)sin(k 1) cos(k 1)從而結(jié)論成立.由于 cos sin是直角坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角度變換的系數(shù)矩陣，故而sin cosncos sin是旋轉(zhuǎn)了 n角度變換的系數(shù)矩陣.sin cos四、轉(zhuǎn)置a11a12a1na11a21aM設(shè)Aa21a22a2n,記ATa12a22an2aMan2anna1na2nann則稱AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣。顯然， AT T A, ABT AT BT , A T AT , ABT BTAT o 對(duì)稱矩陣的定義：若矩陣A滿足AT A （即aj aji ）,則稱A是對(duì)稱陣?yán)?設(shè)A

38、是m n矩陣，證明ATA是n階對(duì)稱陣，AAT是m階對(duì)稱陣.例.設(shè) x x1,x2, ,xn T ,且 xTx 1 , E 為 n 階單位陣，H E 2xxT ,證明：H是對(duì)稱陣，H2 E.證明 HT E 2xxT T ET 2 xxT T E 2xxT H ,故H是對(duì)稱陣。2T 2TT TTT TH E 2xx E 4xx 4xx xx E 4xx 4x x x xE 4xxT 4xxT E五、方陣的行列式A為n階方陣，其元素構(gòu)成的n階行列式稱為方陣的行列式，記 為網(wǎng)或det A。顯然，|AT例.設(shè)ATnIA,anai2ainAa2ia22a2nanian2annAiA21Ani*AAI2A2

39、2An2AnA2nAnnAB| | A舊。其中Aj是a。的代數(shù)余子式，A*稱為A的伴隨陣.證明：AA* A*A AE.證明設(shè) AA* C(Cj)cij ai1 Aj1ai 2 Aj2ain b jnnaik Ajk1設(shè)A* A例.設(shè)解:由AA*由于A*AAAED (dj)d ijAli a1jA 為 n(n注意到1AlE,A2i a2 jAni bnjnAki akj k 1na kj Aki | A ji k 1*AADdj AAE2）階實(shí)方陣，且AO, aij方，求|耳.A11A21An1a11a21A12A22An2a12a22AmA2nAnnana2 nAT*得AATAEA2 Anaik Ajk k 12 aik k 1IA 1.六、共鈍矩陣A （aj）為復(fù)矩陣, aj鈍矩陣.顯然,n1n2ATann為aj的共鈍復(fù)數(shù),則稱其（，）為A的共A, AB AB回顧和小結(jié)小結(jié)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算：1 . 矩陣的概念；2 .矩陣的運(yùn)算；復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1 .矩陣與行列式的有何區(qū)別？2 .設(shè)A與B為n階方陣，問(wèn)等式2_ 2_A B A B A B成立的充要條件是什么？作業(yè)題：習(xí)題二第 2、3、4 (2, 3, 5)、7實(shí)施情況及分析1 . 通過(guò)學(xué)習(xí)使學(xué)員理解矩陣的概念，掌握了矩陣的運(yùn)算；