2第二章一般張量00

1、第二章一般張量 笛卡爾張量是笛卡爾坐標(biāo)系變換下的不變量，要建立在任意坐標(biāo)系變換下的不變量,必須引進(jìn)一般張量。在笛卡爾直角坐標(biāo)系中，有力矢量P和位移矢量為W = P切。在二維的情況下，在笛卡爾直角坐標(biāo)系中，W = P U = p1u1 + p2u2現(xiàn)在討論這種情況在斜角直線坐標(biāo)系的表達(dá)形式。第一節(jié)斜角直線坐標(biāo)系和曲線坐標(biāo)系U，則力P在產(chǎn)生位移U時所做的功有：采用平面斜角直線坐標(biāo)系,(2.1.1)取 e1, e2為單位矢量，坐標(biāo)線 X,和X2的夾角為a，有力P和位移U的矢量形式：P = R 0 + F2 e2, U = u1 e +u2 e2故有：W= P、U= (p1 e + P2 e2 ) (

2、u1 8 +u2 e2 )= p1ui+ 卩2口2+(氏 + p? )cosa 比較這個式子與直角坐標(biāo)系中矢量點積的式子， 量兩兩乘積之和的簡潔形式。為了建立矢量點積的簡潔表達(dá)形式，引入一組對偶基矢量，3 g表示，稱為逆變基矢量。相對地，原來帶下標(biāo)的基矢量 逆變基矢量可由協(xié)變基矢量按下面的對偶關(guān)系確定： = j i, j =1,2,3(2.1.2)(2.1.3)形式上多了一項，失去了矢量點積是矢量分1 2g、g、g、g2、g3稱為協(xié)變基矢量，用帶上標(biāo)的矢量ig式中，(2.1.4)p i H j為克羅奈克爾符號，有九個分量，指標(biāo)相同的分量取值為=g1 g1 cos(90o-= 1,若取 g =1

3、，則 g在二維情況下，g1 g1的方向正交于g2。同理得(2.1.5)1，指標(biāo)相異的取值為零。1si na，并且g11 2=，并且g正交于g1。si not*圖這時用逆變基矢量的線性組合來表示P為：P = P1 g1式中稱帶下標(biāo)的符號P = P1 g式中稱帶上標(biāo)的符號+ P2 g2P1、P2為矢量p的協(xié)變分量。用協(xié)變基矢量表示P時，則有：+ p2 g2p1，p2為矢量p的逆變分量。由于P不依賴與坐標(biāo)系，P的逆變分(2.1.6)(2.1.7)量和協(xié)變分量應(yīng)滿足一定的關(guān)系。對二維情況，有：1 2 1 2P1 g +P2g =p a + p g?對上式兩邊分別點乘 g , g2，可得協(xié)變分量和逆變分

4、量的關(guān)系：1 2 2 1P1 = P + P cos , P2 = P + P coset現(xiàn)在把二維的概念推廣到三維的情況，計算功或矢量的點積，令：P = Pid = pig , u = ujgj=ujgj則有：W = P u = Piujgi(2.1.8)(2.1.9)(2.1.10)(2.1.11)ij i j i= pujgi g =P uj =p ui上式表明，只要在斜角直線坐標(biāo)系中引進(jìn)協(xié)變和逆變基矢量，就能夠像在直角坐標(biāo)系下那樣，對一個矢量采用協(xié)變分量的分解，對另一個矢量采用逆變分量的分解，就得到矢量點積的簡潔形式。顯然，矢量 P的協(xié)變和逆變分量分別為：p；=p，p；=p d（2.1

5、.12）在斜角直線坐標(biāo)中，矢量的協(xié)變分量和逆變分量分別是矢量在協(xié)變和逆變基矢量的投影。從以上討論可以看出，采用對偶基矢量后，矢量有兩種分量，分別是矢量的協(xié)變分量和 逆變分量，相應(yīng)地有逆變基矢量和協(xié)變基矢量。今后把具有上標(biāo)的量稱為逆變量，具有下標(biāo)的量稱為協(xié)變量。同時應(yīng)注意：自由指標(biāo)在表達(dá)式中只能出現(xiàn)一次，啞標(biāo)出現(xiàn)兩次表示愛因斯坦求和約定，但必須一個指標(biāo)在上而一個指標(biāo)在下。為了便于理解，下面考慮極坐標(biāo)系中的矢量。選擇線元 矢量e,和82定義為沿坐標(biāo)增加的方向，就能寫出：d S = dr 0 + rd 日82這里實際上是把dr，rd 0看作是矢量d s的逆變分量了，但有類似于 出現(xiàn)， 矢量：d s作

6、為待研究的矢量，把單位（2.1.13） rd 0這樣非線性項的 將給運算帶來不便。我們對上式作一調(diào)整，便得坐標(biāo)的微分成為線元矢量d s的逆變這樣,dr dx1，d 9 =dx2就需要這兩個微分的系數(shù)：(2.1.14)g = e,，g2 =r e?（2.1.15）作為新的基矢量，而不是用單位矢量作為基矢量。 由此可見，在極坐標(biāo)系中，基矢量g和g2 隨點而變，相當(dāng)于一個活動標(biāo)架。現(xiàn)在把極坐標(biāo)的概念推廣到三維曲線坐標(biāo)系x；，i =1,2,3。在任意一點A，選擇三個矢量g的大小和方向，使得線元矢量滿足：d r = g dx； 對于任意曲線坐標(biāo)系，g一般不是單位矢量，都是坐標(biāo)的函數(shù)并且一般都具有量綱。然

7、后，考慮從定點 0 （也許是坐標(biāo)原點）到點 A引一個位置矢量r，矢量r是坐標(biāo)的函 數(shù)，相鄰點B的位置矢量為r1，則r1 = r + d r，d r是從A點到B點的r的增量，可以把 這一增量形式寫為：d r =冬dx； ex比較以上兩式得：dr g；ex由此看出，協(xié)變基矢量是位置矢量對相應(yīng)曲線坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)， 曲線坐標(biāo)系下的協(xié)變基矢量，其大小和方向都與坐標(biāo)有關(guān)。由協(xié)變基矢量g可通過對偶關(guān)系定義逆變基矢量：g； gj =引用這兩組基矢量，可以確定任一矢量P的兩組分量：P= P； g； =Pj gj 也可以把這兩組基矢量用于任何兩個矢量Vj gj =u；Vj 訐(2.1.16)(2.1.17)(2.1

8、.18)其方向與坐標(biāo)曲線相切。 所以,(2.1.19)(2.1.20)u或者有：v = ui gu和v的點積，U和v的點積寫為:i=U Vi(2.1.21)i=u；v當(dāng)協(xié)變基矢量g、g2、g3構(gòu)成右手系時，其混合積為正值，記: g g2 93】=g g： a =7g式中g(shù)為正實數(shù)，混合積的幾何意義是三個矢量依次構(gòu)成右手系時， 平行六面體的體積。iv = Ui gvj gj =UiVj 6；(2.1.22)（2.1.23）以這三個矢量為棱邊的g1丄g2, g1丄g3，即有g(shù)1平行1于 g2 X g3,可令 g1 =ag? x ,因為 1 = g1 g = a(gs )9 ajg ,可求得 a=,

9、 vg根據(jù)對偶關(guān)系可由協(xié)變基矢量確定逆變基矢量。因為故有:(2.1.24)同理可得:13= (g3xg), g Jg每個矢量都可以分解成協(xié)變分量或逆變分量。如果把每個基矢量都用同名的基矢量表 示，即把協(xié)變基矢量用逆變分量表示以及把逆變基矢量用協(xié)變分量表示時，便有：g 和gj, g、可 gj(2.1.26)譬如g =1g +0gPjjTij變換到新坐標(biāo)系，則這 9個量T；和T j的集合定義兩個二階混變張量。這也是一階張量推 廣到二階張量的必然結(jié)果。3n個有序數(shù)的集合現(xiàn)在我們可以定義三維空間中的任意高階張量，如果三維空間中有Tj,(共有n個指標(biāo))，這組數(shù)按下式進(jìn)行坐標(biāo)變換：憎；屮佝譏_SHnn則這

10、組有序數(shù)的集合就是三維空間中的n階張量，每一個數(shù)就是張量的分量， 張量的指標(biāo)代表坐標(biāo)變換時張量分量的協(xié)、逆變性質(zhì)，如果指標(biāo)全為上標(biāo)，稱為n階張量的逆變分量，如里，果指標(biāo)全為下標(biāo)，則稱為n階張量的協(xié)變分量，同時具有上標(biāo)和下標(biāo)的張量分量，稱為n階張量的混變張量。要判別一組有序數(shù)的集合是否構(gòu)成一個張量，使用商法則是比直接采用定義更為方便的方法，下面以三階張量為例說明商法則。若已知ck是一階張量的逆變分量，bj是二階張量的協(xié)變分量，aijk能對下式成立：ck = aijk bij則aijk必為一個三階張量的逆變分量。現(xiàn)在給予證明，根據(jù)已知條件：cSfVJ, bij 邛Pjjbj代入后得：n k I i

11、jk Q j Pi-c =a Pi Pj bij，兩邊同乘p:得：k ijk 口 i R j R k .c =a Pi Pj Pk br同時在新坐標(biāo)系中，有下式成立：八把上兩式相減得（aijk】pPjjXaijk）bjjv0由于bj的任意性，就有：這說明aijk必是一個三階張量。矢量的實體表示是其分量與相應(yīng)基矢量的線性組合，張量也有同樣形式的實體表達(dá)。為此，構(gòu)造任意兩個矢量a和b的并矢，寫作ab，把這兩個矢量的分量逐個相乘，基矢量并寫到一起，分量相乘后可得到四種9個數(shù)的集合，譬如其中一種是aibj，考察并矢的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，并利用協(xié)變和逆變轉(zhuǎn)換系 數(shù)的互逆性質(zhì)，有：ab = aibj gg=偲）

12、（叫）（腎g3（Pjg）= 怙jlaf gk= akblgkg因此ab是一個二階張量，而aibj只是它的逆變分量，這里基矢量的并矢 ggj可稱為二階基 張量，它們是線性無關(guān)的。由于ab在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時保持不變，所以是一個張量實體。在一個坐標(biāo)系中，對于二階張量可以實體表示為：T當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時，T張量是矢量的推廣， 矢量可用分量表示，也有實體表示，=Tj gigj =Tj dgj =Tj gigj =T Pg張量實體不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而變化。對于上面的二階張量，有：fij-r- i，j， T-i，/ -|-j，i=T gi g=Tij-g gggg griji jijj i=T gigj =Tij g g

13、gg T g gj容易證明，上式與張量的分量形式是完全等價的。高階張量的實體表示完全可以依次類推， 其中基張量的個數(shù)就是張量的階數(shù)，矢量可看作一階張量，而標(biāo)量可看作零階張量，它們都具有對坐標(biāo)的不變性，或者說張量不依賴于坐標(biāo)系。在曲線坐標(biāo)系的每個點都需要引進(jìn)對偶的協(xié)變基矢量和逆變基矢量，張量就可分解為協(xié)=10 MPa,變、逆變和混變分量，譬如二階張量有四種分量?，F(xiàn)以彈性平面應(yīng)力狀態(tài)為例考察這四種分 量，在直角坐標(biāo)系中某點的應(yīng)力分量為：crx=50MPa，CTy=20MPa，x討論& =60” 中的逆變、協(xié)變和混變應(yīng)力分量。 插圖匕和n，引用記號X1 =x建立兩個坐標(biāo)系，斜角直線坐標(biāo)系的坐標(biāo)參數(shù)為

14、X1； J x2；n。由圖有：1 1 2 22*x = x +x cosG， x = x si并由此求得：112 cosot2x2=x-Xsi notsi na令直角坐標(biāo)系的兩個基矢量為e,和e2，則斜角直線坐標(biāo)系中矢徑為:r = X1 e, + X2 e2 = (x1 + X com 打 + x2 sinote則協(xié)變基矢量分別為:gT =drex1g2=drex2-=co血 0 +sin ae2其模均為1。則兩坐標(biāo)系的變換系數(shù)為:ex1ex2,=cosot根據(jù)ex2ex11=0,%2=ex2ex2-=si naP11exex1=1,P2ex2ex1=0，p2ex1cosasi netex2e

15、x2si not，得逆變基矢量:11 e1cosotsi nete2ei+ P22e2si nae2把笛卡爾坐標(biāo)系作為舊坐標(biāo)系,斜角直線坐標(biāo)系作為新坐標(biāo)系,由張量分量的坐標(biāo)變換關(guān)系有:0-+叫咋12+盯卩1 咯21+腎盯b2222,11O12O212221x，c22c1L2b21+ fpjb12C2122Pi2O11O122122y，12T_ xy，c21Tyx，代入上式中得:2cos asin2 abycosetsinacosetsinaSx2sin abycos a.2Sin Ctcos a-2zSin J類似地推導(dǎo)可以得到:以及by= cos2acrxsi nasinoSxsin2 OC

16、T+ sina cosGTxy+ sig coswTyx= C0Sabx +si naxy=COSb x+ siyxxcosot_TyxSin acos a+ Tyx2cos ot-:Tyxsinasin otb； , = cosabx -cosaby +sinagy2， 1b 1, = X yxsi notVcos awr -砧 Jy2，cosa2y +Txysin a1 - Txy sina2 , = cosabx -cosaby +sinofcos Ct；T yxsi na若代入a =60和應(yīng)力值，可以得到四種應(yīng)力分量的具體數(shù)值（略）。上述各應(yīng)力分量的四種表示如圖所示，注意第一個指標(biāo)表示

17、應(yīng)力的作用面，第二個指標(biāo)表示應(yīng)力方向。第四節(jié)度量張量前面提到，在把協(xié)變基矢量分解為協(xié)變分量以及逆變基矢量分解為逆變分量時，分別定義了度量張量的協(xié)變分量和逆變分量， 并且協(xié)變分量是協(xié)變基矢量的點積， 逆變分量是逆變 基矢量的點積?，F(xiàn)在考察這些分量的坐標(biāo)變換關(guān)系，根據(jù)定義：gf =g 匸 A* gN g =3,0g； g g邛：,叩 g1 =PPjgkl所以gij和gij是二階協(xié)變張量和二階逆變張量，根據(jù)一般張量的概念， 度量張量還存在兩種混變分量，它們是：gj = g g =可，gj = gj =硏顯然，度量張量的兩種混變分量都是單位張量，可以推論它們在任何坐標(biāo)系均為單位張量。 這樣，度量張量的

18、實體形式可完整地寫成：i jijt i j t j iG = gij gg =g gig gg F ggj度量張量協(xié)變分量的行列式記為 g，利用式：訐=gikgjk把上式展開成矩陣形式，并對兩邊取行列式，由于矩陣之積的行列式等于因子矩陣行列式之 積，所以有：c c jk gik g=gik igjk二ggjk=1因此有:=丄gg是一個標(biāo)量函數(shù)，考察它的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，利用度量張量協(xié)變分量的坐標(biāo)變換關(guān)系并同時 取其行列式，有：g二 gijjgij如令協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)的行列式pjfpikJigkl=gPk Pj=也，上式成為:g j2g因此，盡管g是標(biāo)量函數(shù)，但是在新舊兩個坐標(biāo)系的值是不同的，這樣的標(biāo)量

19、稱為偽標(biāo)量。 注意到協(xié)變基矢量構(gòu)成右手系時，混合積是以三個基矢量為棱邊的平行六面體的體積，而g等于混合積的平方，因此有：5 g2 g3 0, g =|gij| aO有了度量張量后，現(xiàn)在簡單介紹一下空間的概念。數(shù)學(xué)上的空間是指具有一定性質(zhì)的點的集合，測量空間距離的規(guī)則就叫度量，這里關(guān)心的是三維空間情況下這些點的集合，那么空間中任意一點對應(yīng)著獨立的三個數(shù)即坐標(biāo)。空間中兩點的距離也就是矢量的長度，而矢量的長度可用矢量點積來表達(dá)，因此規(guī)定了矢量的點積也就規(guī)定了兩點的距離。如果兩點很近，則其間的距離是線元矢量 d r的長度，由于線元是個微分量，可用相應(yīng)的線元弦長來代替：(ds)2 =d r dgi dx

20、 gj dxj = gijdxidxjgij，從而建立起微分距離的空間度量，gijdxidxj為空間的度量，稱gij為度量張用度量張量決定性質(zhì)的空間稱為度H0，這樣的空間稱為黎曼空間。如果上式表明坐標(biāo)的微分導(dǎo)致線元長度的變化完全取決于gij 一般是坐標(biāo)xi的函數(shù)，如果 g=gij0，則稱這個空間為歐氏空間，反之, 線元長度的平方也是一個微分二次型，gj 0，則稱這個空間為閔可夫斯g = gj基空間。鑒于線元的平方(d s)2是二次型gijdxidxj，所以稱 量，它也是確定空間幾何性質(zhì)的一個最基本的度量尺度。 量空間。gj是其系數(shù)，由式可知，這個二次型是正 定二次型，如果把 gij看作矩陣，這

21、個矩陣也是正定的?，F(xiàn)以球坐標(biāo)系為例，確定度量張量的協(xié)變分量和逆變分量。注意到笛卡爾坐標(biāo)系中的度量張量有：gii =1，g- =1gj =0， gj =0 (i H j)式中在兩個相同指標(biāo)下面加一橫，表示不對指標(biāo)求和。觀察式，容易得到：gr g / = gi gj =0(i K J )gi k g所以球坐標(biāo)系中的協(xié)變和逆變基矢量互相垂直，為正交曲線坐標(biāo)系，同時考慮到 kj =甲的展開式，因此，有：.八1gj = gU =0(i H j),=g-考慮變換關(guān)系gij匸生P-gij，則有：gii =+ 腎卩；+=cos 日 cos2 + sin2 0 cOs + sin2 =1922，咼：際利 vr2

22、cos2W 933，邛3咼+氏陽+陵“2 且g12, = g23，= g13，= 0，而逆變分量為：11 彳 22 1g ，g =?cosg12度量張量協(xié)變分量的行列式為：g =r4cos 半第五節(jié)置換張量前面已經(jīng)看到，在一個坐標(biāo)系中基矢量的點積構(gòu)成度量張量，并且度量張量的混變分量就是克氏符號?，F(xiàn)在考察基矢量的混合積形式。在最簡單的笛卡爾坐標(biāo)系中，三個互相正交27的單位基矢量的混合積為Ee, e2 e3】=1。當(dāng)這三個基矢量任意排列時，其全部排列構(gòu)成個值，利用置換符號的性質(zhì)，寫其混合積為e ej ek = ejk ?，F(xiàn)在推廣到任意曲線坐標(biāo)系中，曲線坐標(biāo)系中基矢量的混合積有：g g2 aZG,

23、g1 g2 g3=；27中可能的排列，因為混合積中若有兩 三種Jg取上面兩組各三個基矢量任意排列，則每一組共有個矢量相同，混合積為零，所以只有6種排列不為零，其中三種順序排列的值為正值，逆序排列為負(fù)值，為此擴(kuò)展具有 3個指標(biāo)的置換符號為：ijk eijk =e1當(dāng)i,j,k順序排列= 1,當(dāng)i, j, k逆序排列0,當(dāng)i,j,k非序排列則基矢量混合積的全部排列可統(tǒng)一寫為：g gj g丄 Jgejk, gi gj gk 匸命eijk對基矢量的混合積進(jìn)行坐標(biāo)變換，得：g -gj - g/JP；gi Pjjg Pk0；冋廬|5bi gj gJ根據(jù)張量定義應(yīng)為三階張量， 并且是三階張量的協(xié)變分量, 其

24、協(xié)變分量與逆變分量記為：=g gj gk】=7gejkr i j k 11 ijk=g g g 二石e協(xié)變分量和逆變分量的關(guān)系可通過置換張量定義和指標(biāo)升降關(guān)系得到：靭k =gi gjX gk=(gir gr) (gjs gs)x(gkt d) giVjsgkt gr g所以，協(xié)變分量可通過逆變分量指標(biāo)三次下降而得到，反之亦然。到置換張量的六種混變分量，張量，其分量一般是坐標(biāo)的函數(shù)。置換張量實體形式記為：k iki P P k E = y gigjg = y ggjgk = yrgi gj g =利用置換張量，考察基矢量的叉積，因為：g天gj比較上式兩邊，得：g gjgj - gk-混合積滿足坐

25、標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系, 個張量為置換張量，稱這毎ijkrsts _ tX g = girgjsgktS 根據(jù)指標(biāo)升降關(guān)系還可得 但沒有實際使用價值。置換張量是關(guān)于任意一對指標(biāo)的反對稱Q = Ejk= ijl 6 = ijl g gkl=名ijl gijkgk同理可得：gj用置換張量表示基矢量的叉積與式(由逆變基求協(xié)變基)的形式是完全等價的。置換符號關(guān)于任意兩個指標(biāo)均反對稱，它不是三階張量的分量， 利用置換符號，可以改寫行列式的展開式：a = ap1ai2ai3ai1a 22 a23 a 21a32a33a3i j k123 ijkaia2a 3eij aha jake這里令p為行號，q為列號。根據(jù)行列式

26、的性質(zhì)，如果在a1aj2a3e|jk中對下標(biāo)作任意的位置置換，譬如aaiak就相當(dāng)于把行列式的兩列互換，行列式的值為-adz，在置換一次又改變了符號，其結(jié)果又回到了+ 4=6230，這個規(guī)律可以寫成:i j kaelmn = aLa ma neijk =1aL2aL3aL1a m2a m3a m1an2an3an因為交換行列式的兩行時行列式的值也變號，因此類似地有:Imn I m n ijkae=aa jake =latma1na%la2ma2na 2la3ma3na327種展開式，把行列式換行、換列以及兩行這樣相當(dāng)于把行列式的唯 兩列相等時的性質(zhì)都包括進(jìn)來，拓展了行列式的表達(dá)形式。如果同時變

27、換行列式的行和列，則得到一組共有6個自由指標(biāo)的行列式，即種展開式表達(dá)為apia.ajka.ia ma mka mianank an= aeijkemn (i, j,k,l,m,n = 1,2,3)，這個式子也可以這樣證明,首先可直接寫出:aeijk =ia1ai.kaia2a2ka2ia 3aj3ka 3elmn =式得證。如杲考慮克氏符號構(gòu)成的行列式，由于&是一個單位矩陣，所以=1 ,則有:把以上兩式相乘，得:a；a；a；8air8a； 8a；8a；ia mainijkae eimn aia2a38=ar8ar8ar8 =ala mankka2ka 388a：8a：8a：8ka Ika mk

28、anijk卅 erst 二 8 8 8k+ 8 8 8+ 8 8j 8 -8 8 8 - 8 8 8 -8 8j 8器稱為廣義的克氏符號，當(dāng)i, j,k和r,s,t都是順序排列或都是逆序排列時，器=1 ；當(dāng)i, j,k和r,s,t中一為順序排列，一為逆序排列時，8St = 1;其余情況，=0。它的主要性質(zhì)在一 Qst- 8 8 Q 8=8 8k 8 8=3 Q- 8=2 Q =28 =6于：ijke erstijke eijke ejk把上式啞標(biāo)改寫成：Imn ceimn e =6上式兩邊同乘a=|aq|并利用式，得到：cImnImn i j6a=aemne=eljke aLamaijki1

29、ijke 7g孑1 ijk根據(jù)指標(biāo)升降關(guān)系，有：ijkli mj nkli mj nk pqE =mngg g = Jgemng g g =Jgg上式即為置換張量的逆變分量的定義。對于兩個任意給定的矢量 a和b，在任意曲線坐標(biāo)系中，a = ai g，b = bj gj令這兩個矢量的叉積為kq = qk g得矢量q的協(xié)變分量：qkq，則有：= ab = a gi xbj g j bg x gj =九乜詠 gkijk同理得到矢量q的逆變分量：k. ijkq =aibj s但必須注意叉積三個矢量的二重叉積， 表示連續(xù)兩次叉積運算， 其結(jié)果仍是一個矢量， 的順序，即有：ax(bxc) =3 gi X

30、(bjOk sjklg) = abjOk sjklg x g = abjCk sjkl =孑64(紀(jì)5/弋或)gm =akCkbm gm ajbjCm gm =(a c) b- (a b) c(axb)x c = (a c)b-(b c)a一組三個矢量的混合積abc用矢量的逆變分量表示為：a1a be = a= aibjck 孤 =Jg aibjckejkc12 a b22c3ab33c另外一組三個矢量的混合積 uv W用矢量的協(xié)變分量表示:uvw = u vxw= UjVjWk k =-uiVjWkeijkVgUiViw1U2V2w2U3V3w3把兩組混合積相乘，注意矩陣行列式之積等于矩陣之

31、積的行列式以及矩陣轉(zhuǎn)置不影響行列式 的值，得：123iiiaaaU1V1W-1a Uia va Wiabc u vw =b1b2b3U2V2w2 =biUibiVibiWi123iiicccU3V3W3c Uic Vic W利用矢量點積公式，顯然有：a uavawabc u vw =b ubvbwc ucvcw上述等式與坐標(biāo)選擇無關(guān)，它適用于任意曲線坐標(biāo)系。 第六節(jié)張量代數(shù)(1) 張量相等若兩個同階張量T和S在同一個坐標(biāo)系中的一種分量(譬如逆變分量)一一相等，則 這兩個張量的其它分量也將一一對應(yīng)相等，且在任意坐標(biāo)系中的分量也會一一相等，記為：T =S(2) 張量的加法若將兩個同階張量 T和S在

32、同一個坐標(biāo)系中的一種分量(譬如逆變分量)一一相加， 所得結(jié)果是同階張量的該種分量，令張量之和為U，記為：U =T +S(3) 張量的并乘以二階張量為例，令Tj、Skl分別是張量T和S的分量，則張量的并乘得一新張量 U， 張量U的階數(shù)等于張量 T和S的階數(shù)之和，其分量是T和S的各9個分量的兩兩乘積， 所 以四階張量U有81個分量，其實體表示為：U =TS = Tj gigj Sk1 gkggjgkgu V gi gjgkg = u矢量并矢或張量并乘有時也記為U =TS，并乘運算不能調(diào)換順序。由于廣義克氏符號：翥=eijkemn器是一個6階張量。它是兩個置換張量的并乘，所以廣義克氏符號張量的縮并是

33、把基張量中的任意兩個基矢量(一般選一個協(xié)變基矢量和一個逆變基矢 量)進(jìn)行點積，其結(jié)果是對應(yīng)分量的指標(biāo)變成啞標(biāo)。譬如將四階張量T = Tjk1 g gj gkg1中的第2、第4基矢量進(jìn)行點積，或直接將張量分量的第2、第4指標(biāo)進(jìn)行縮并，有：G T j1 k -r ij f 1 k -,-ijk “ks= T.ki gj gg g =Tki6jgi g =T,kj gig =Sk gig可以證明，張量縮并后得到一個新張量，其階數(shù)比原張量低兩階。例如ijk .J%mn是一個6階(4) 張量的縮并張量，直接把第3、第6指標(biāo)進(jìn)行縮并后可得一個四階張量ijk1mk。(5) 張量的點積兩個張量T和S先并乘后縮

34、并的運算稱為點積，一般是取前一個基張量的最后一個基 矢量和后一個基張量的第一個基矢量進(jìn)行點積，否則須指明哪兩個基矢量進(jìn)行點積。可以證明，兩個張量點積后得到一個新張量，其階數(shù)比兩個張量階數(shù)之和低兩階。以一個四階張量和三階張量的點積為例：T s= Tiki gigjgkd s；grgsd =代：& gr)gigjgkgsd htIS；ggjgkgsg雙點積是兩個張量T和S并乘后進(jìn)行兩次縮并的運算，一般是取前一個基張量的最后 兩個基矢量和后一個基張量的前兩個基矢量分別進(jìn)行點積，雙點積有兩種形式，其中并聯(lián)式是把需運算的前兩個基矢量和后兩個基矢量按“前前后后”次序分別進(jìn)行點積，例如：T :S =Tijk

35、i ggjgkglS： grgsd =代目站 gXg1 gs)ggjgggjg而串聯(lián)式是把需運算的前兩個基矢量和后兩個基矢量按“里里外外”次序分別進(jìn)行點積，例如：T S = Tijki gi gj gkg1 s： gr gsd PS： gr)(gk gs)g gj g “總 g gj g 以上兩種雙點積得到的是不同的張量。(6) 張量的叉積張量的叉積是矢量叉積的推廣。現(xiàn)以兩個二階張量T和S說明之，T和S的叉積為：T r = (Tj gigjP(Ski gkg) = Tj Ski gi(ggk)g1 二TjSkiJkmgigmg1 與張量雙點積規(guī)定的運算順序相同，可以定義張量間的混合積和雙重叉積

36、：Z S = (Tij gi gj尸(Skl gkd) = Tj Skl(gi gk)(gj 汽 g1) =Tij s飛叫jm gm(Tij gigj)Sk1 gkg1TijSk1(g gk)(g以 gTijSkl汕 gmgn在進(jìn)行張量的點積運算時，一般是將一個協(xié)變基矢量和一個逆變基矢量進(jìn)行點積。而在叉積運算時，總是把兩個協(xié)變基矢量或者兩個逆變基矢量進(jìn)行叉積，這種處理會帶來運算上的方便。如果條件不滿足，就利用協(xié)變基矢量和逆變基矢量的轉(zhuǎn)換關(guān)系， 進(jìn)行運算。（7）張量的轉(zhuǎn)置 如果保持基張量的排列順序不變，構(gòu)造相應(yīng)的形式再轉(zhuǎn)置，所得張量稱為原張量的轉(zhuǎn)置張量。例如，指標(biāo)調(diào)換排列次序，得到一個新張量：! T jik IR =Tkj g gj g g張量的轉(zhuǎn)置只是調(diào)換其分量指標(biāo)的前后次序，R的分量為：Rijki 二Tkj：因此，張量及其轉(zhuǎn)置張量都具有相同的基張量，這種運算叫張量的k I .而調(diào)換張量分量兩個指標(biāo)的順序，對四階張量 T = Tijkl g g gkg1的第1、第3基張量保持不變，所以這表示同階的轉(zhuǎn)置張量張量分量的指標(biāo)和基張量具有相同的排列順序，不同的只是轉(zhuǎn)置張量的分量聯(lián)系于原張量的某種分量。（8）張量的對稱化和反對稱化 若調(diào)換張量分量某兩個指標(biāo)的順序后張量保持不變則稱該張量對這兩個指標(biāo)具有對稱 性。如四階張量滿足：Tki =Tjki