計(jì)算方法試題集及答案(新)

1、er位;*1. xx*為精確值x的近似值；x*,f X 為一元函數(shù)yif x的近似值；x*yiy2y2又取y *為二元函數(shù) y2x,y的近似值，請寫出下面的公式:e* X* X:f X*p *xr yiX* f X*f X*rxf x*, y*x*, y*y*f X*, y*e X*f X*, y*e y*Xy2*yy2*計(jì)算方法實(shí)際計(jì)算時(shí)，對數(shù)據(jù)只能取有限位表示,分別用2.718281 , 2.718282作數(shù)e的近似值,這時(shí)所產(chǎn)生的誤差叫則其有效數(shù)字分別有舍入誤差 o6位和 7設(shè)Xi設(shè)x,1.73 （三位有效數(shù)字），則73 1.731.216,X21.216,x23.654均具有3位有效數(shù)

2、字,3.654均具有3位有效數(shù)字,1 10-2則XiX2的相對誤差限為則Xi他的誤差限為0.0055。0.015已知近似值xA10* * 8；這個(gè)計(jì)算公式數(shù)值穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定8、精確值3.14159265 ，則近似值3.141 和 23.1415分別有3位和4位有效數(shù)字。-51/2*10 。9、若X e 2.71828 x ,則x有_6_位有效數(shù)字，其絕對誤差限為10、設(shè)X*的相對誤差為2%,求（X*） n的相對誤差0.02n11、近似值x 0.231關(guān)于真值x 0.229有（2 ）位有效數(shù)字;12、計(jì)算方法主要研究（ 截?cái)啵┱`差和（ 舍入）誤差;13、為了使計(jì)算 y 10 x6 3的乘除法次

3、數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改x 1y 10 (3 (4 6t)t)t,t寫為x 1，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式7200171999 改寫為a/200T 71999。14、改變函數(shù)f(X)仮 (x 1 )的形式，1使計(jì)算結(jié)果較精確yx。15、設(shè) 誥4 = 23149541，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=2.315016、已知數(shù)e=2.718281828.,取近似值x=2.7182,那麼x具有的有效數(shù)字是 4。二、單項(xiàng)選擇題：舍入誤差是(只取有限位數(shù)觀察與測量1、A. C.2、A.產(chǎn)生的誤差。.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值 .數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值)位有效數(shù)字的近似值。5 C .e所產(chǎn)生

4、的誤差是(C3.141580 是 n 的有(A . 6 B用1+ x近似表示模型 B .觀測 C .截?cái)郉.誤差。. 舍入x用1+ 3近似表示奸x所產(chǎn)生的誤差是(誤差。.截?cái)?位有效數(shù)字。.8A.舍入 B .觀測 C .模型5、 -324 . 7500是舍入得到的近似值，它有(CA .5 B . 6 C . 7 D6、( D )的3位有效數(shù)字是 0.236 X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82X 10 2 (C) 235.41843 1.732 計(jì)算 x(43 1)4(D) 235.54 X 10 17、取，下列方法中哪種最好？(16)16(C (4 27

5、3)2 ；(A) 28 16 石；(B)(4 2蟲)2;三、計(jì)算題1.有一個(gè)長方形水池，由測量知長為,并分析所得近似值的絕對誤差和相對誤差公式(D)血 1)4。按所給數(shù)據(jù)求出該水池的容積 相對誤差限.解：設(shè)長方形水池的長為當(dāng) L=50,W=25,H=20 時(shí)，(50 ± 0.01)米,寬為(25 ± 0.01)米,深為(20 ± 0.01)米,試,并求出絕對誤差限和L,寬為W探為H,則該水池的面積為 V=LWH 有 V=50*25*20=25000(米 3)此時(shí)，該近似值的絕對誤差可估計(jì)為L=WH相對誤差可估計(jì)為:而已知該水池的長、0.01WHL上HHLW H寬和

6、高的數(shù)據(jù)的絕對誤差滿足0.01,0.01故求得該水池容積的絕對誤差限和相對誤差限分別為WHHLLW25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.50250001.1*10 32.已知測量某長方形場地的長a=110 米,寬 b=80 米.若 a a0.1 米，b b*0.1米試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限.解：設(shè)長方形的面積為 s=ab2當(dāng) a=110,b=80 時(shí)，有 s=110*80=8800（米）此時(shí)，該近似值的絕對誤差可估計(jì)為ss a=b a相對誤差可估計(jì)為: 而已知長方形長、寬的數(shù)據(jù)的絕對誤差滿足0.10.1故求得該長方形的絕對誤差限和相對誤差限分別為

7、80*0.1110*0.119.019.00.0021598800;相對誤差限為0.002159 。絕對誤差限為19.03、設(shè)X*的相對誤差為2%,求（X*） n的相對誤差r0.02n解：由于 f(x) xn, f(X)(x)nn(x )nn nx 1(xX XnLX故 r(XT4、計(jì)算球體積要使相對誤差為1%問度量半徑 R允許的相對誤差限是多少?解：令r3,根據(jù)一元函數(shù)相對誤差估計(jì)公式，得f' RR4 R2f R-R33f RR43R VR 3 R R 1%從而得13005.正方形的邊長大約為100cm,問怎樣測量才能使面積的誤差不超過1cm2解：da=ds/(2a)=1cm 2/(

8、2*100)cm=0.5 *10 -2cm,即邊長 a 的誤差不超過 0.005cm 時(shí)，才能保證 其面積誤差不超過1平方厘米。6 .假設(shè)測得一個(gè)圓柱體容器的底面半徑和高分別為 試估計(jì)由此算得的容積的絕對誤差和相對誤差。VV50.00m 和 100.00m，且已知其測量誤差為0.005mo解:V*V*r2h2 rh(r* r) =2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325 r * r=2=0.0002r第一章插值法一、填空題：1.設(shè) Xi (i=0,1,2,3,4)為互異節(jié)點(diǎn)，li (X)為相應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則44Xii 02li4(X +2).2.設(shè) xi

9、(i=0,1,2,3,4，5)為互異節(jié)點(diǎn)，l i (X)為相應(yīng)的五次5543xi 2xi Xi 01 li X=x5 2x4 X313.已知f (X)2x35,貝 y f1,2,3,42, f1,2,3,4,54. f (X)3x2 1,則 f1,2,3,f1, 2,3,45.設(shè) fW二弘'二碩上=3,76. 設(shè)了 W =7. 設(shè) f 0:+ 2孑+3疋+1和節(jié)點(diǎn)礙_上f 2,上M 0"L2貝心，工0,116, f 0,1,20,f 116, f 246,則 f頓插值多項(xiàng)式為0+16(x-0)+7(x-0)(x-1)o8.如有下列表函數(shù)：Xi0.20.30.4f Xi0.04

10、0.090.16則一次差商 f 0.2,0.4 = 0.6Or 心=4.7 ,f x的二次牛9、2、f(1)1, f(2)2, f(3)1 ,則過這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為-2拉格朗日插值多項(xiàng)式為L2 x1-x 2 x 32x1x3222x 9x 810、對 f (x)11、已知 f(1)12、設(shè) f(0)X3 X 1,差商 f0,1,2,3( 1 ), f 0,123,4(=2, f(2) = 3, f(4) = 5.9，則二次 Newt on 插值多項(xiàng)式中0, f(1)16, f(2)46,則 l1(x)'） ；系數(shù)為（0.15 ）x x 2 , f（x）的二次牛頓插值多

11、項(xiàng)式為N2(x)16x 7x(x 1) o13、1 0（X）,l1（X）,ln（X）是以整數(shù)點(diǎn)x0，x1，xn為節(jié)點(diǎn)的 Lagrangen插值基函數(shù)，則 lk xk 0n1，Xkljk 0Xknx(x4 x2 3)lk(x)4Y，,當(dāng) n 2 時(shí) k 0( Xx23 ) o1114、設(shè)一階差商為一E4-22則二階差商金,"滬m沁L Eg) “邑一野41615、通過四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式p（X）,只要滿足三階均差為0,則p（x）是不超過二次的多項(xiàng)式16、若 f（x）3x 2x 1,則差商f2,4,8,16,323o二、單項(xiàng)選擇題：1、設(shè)f (-1)=1, f (0)=3, f (2)

12、=4,則拋物插值多項(xiàng)式中A - 0. 5 B .0 . 52、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(A) f(x,x0,x1,x2,x2的系數(shù)為(A )。C . 2 D . -2(B ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C )。,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),RJx)f(x)Pn(x)(B)(C)f(x,x0,x1,x2,xn )(xRn(x) f(x)f(nPn(x)-(D)(n3、有下列數(shù)表f(n1)()(n 1)!x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),1)()晉 n1(x)x00.511.5252.f(x)-2-1.75-10.252254.)。所確定的

13、插值多項(xiàng)式的次數(shù)是(A(A)二次；(B)三次；(C)四次；(D)五次4、由下列數(shù)表進(jìn)行 Newt on插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是(Xi11.522.533.5f (Xi)-10.52.55.08.011.5(A) 5 ；4 -(C)(B)D )3 ；( D) 2。95、設(shè)li(x)是以kli(k)Xk k(k 0,1，L ,9)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則k 0( C )(C) i ；(D) 1。x01234f(x)1243-5(B) k ；(A) X ；6、由下列數(shù)據(jù)確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為(A )(A) 4 ；(B)2；(C)1；(D)3。三、問答題1.什么是Lag

14、range插值基函數(shù)？它們有什么特性？h (Xj )="答：插值基函數(shù)=，藺是滿足插值條件= 2幻厲丿=1,同的n次插值多0 咼)-(7 -召 1)(兀一心+1)(蠱一凡)項(xiàng)式，它可表示為-丙-尬J航-殆并有以下性質(zhì),2.答：給定插值點(diǎn)后構(gòu)造的Lagrange多項(xiàng)式為Lb) Newt on插值多項(xiàng)式為N/k)它們形式不同但都滿足條件=幾碼（孟）=筋=0丄于是=它表明n次多項(xiàng)式【厶（天）1敢（力有n+1個(gè)零點(diǎn)，這與n次多項(xiàng)式只有n個(gè)零點(diǎn)矛盾，故°=帆（尤）即L.W與是相同的。是用基函數(shù)表達(dá)的，便于研究方法的穩(wěn)定性和收斂性等理論研究和因此較適合于計(jì)算。應(yīng)用，但不便于計(jì)算，而N豪

15、0）每增加一個(gè)插值點(diǎn)就增加一項(xiàng)前面計(jì)算都有效,3.Hermite插值與Lagrange插值公式的構(gòu)造與余項(xiàng)表達(dá)式有何異同？答：Hermite插值的插值點(diǎn)除滿足函數(shù)值條件外還有導(dǎo)數(shù)值條件比Lagrange插值復(fù)什一些，但它們都用基函數(shù)方法構(gòu)造，余項(xiàng)表達(dá)式也相似，對Lagrange插值余項(xiàng)表達(dá)式為，而Hermite插值余項(xiàng)在有條件的點(diǎn)看作重節(jié)點(diǎn)，多一個(gè)條嚴(yán)©件相當(dāng)于多一點(diǎn)，若一共有 m+1個(gè)條件，則余項(xiàng)中前面因子為（朋+ 1）!后面相因子a 和）改為Hermite插值余項(xiàng)。四、計(jì)算題1、設(shè) f XX7 5x3 1,求差商f 20,21 , f 20,21,22 , f 20,21,L ,

16、27,f 20,21,L ,28解：f 207, f21169, f 2216705，f 20,21162, f21,228268,f20,21,22270213根據(jù)差商的性質(zhì)，得小0. 門2 ,2 ,L ,2c0.c82 ,2 ,L ,27!f 88!求滿足下列條件的埃爾米特插值多項(xiàng)式解:根據(jù)已知條件可求得2x2X 2x 1 X 2, 1 XX X 1 X 2, 1 X X 20代入埃爾米特三次插值多項(xiàng)式公式=2 2x 1 x3、如有下列表函數(shù)：2 2 32x 5 X 1 22X 1 X 22X 2 X 1Xi01234f Xi36111827試計(jì)算此列表函數(shù)的差分表，并給出它的牛頓插值多項(xiàng)

17、式及余項(xiàng)公式 解：查分表如下：yi 1 xP3 xyo 0 xy。0 X y。1 XXififi2fi3fi4fi03163211513187104279100Nk(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0 < x< 14、給出In X的函數(shù)表如下：X0.400.500.600.70ln X一一一一0.9162910.6931470.5108260.356675試用線性插值和拋物插值求 In 0.54的近似值。解答線址插值.馭 = a銃則InCk 54賽F企 °： 593 147) +J. 8 a 500 54 0 耳dgO_- 2 510 8

18、25) =- 0. 620 219洗插值4取工巾 0. 5 工=0, 6 4工jj = 0. 7y得4醫(yī)WT X (-。亦825)十(0. 51 - 0, 5X0,51 - 0. b> 一FCO, 1 d 5)& 7 二d &)一 X m 3：>6 675)= 一 0.616 S3F 2注£ 若電工"=止斗，工1 =山孫吐-則由54 d 1615 319 £.5 .已知X-112F (X)31-1請依據(jù)上述數(shù)據(jù)求f(x)的2次Lagrange插值多項(xiàng)式。解：記x0所以 L2(X)f(Xo)1,X1 1,X22,則f (X0)(X X1)

19、(X X2) (X0 X,)(X0 X2) f(X2) (X X0)(X X1)(X2 X0)(X2(x 1)(x 2)(3, f(x1) 1,f(X2)1f(x1) (X X0)(X X2)(X1 X0)(X0 X2)1)(xX1)(x1)(x 2)1 1)( 1 2) (X 1)(x 1) (2 1)(2 1)11)(x 2) -(X(1 1)(1 2)11)(x 2) -(X 1)(x 1)36.用插值法求滿足以下條件的不超過三次的插值多項(xiàng)式 f(0)=1,f(1)=2,f =9,f' (1)=3,并寫出插值余項(xiàng)。解：根據(jù)Lagra nge插值多項(xiàng)式和Newt on插值多項(xiàng)式得出

20、L2 x N2 x3x2 2x17設(shè)待插值函數(shù)為:H3 xN2 x根據(jù)H3 1f' 13,得參數(shù)1,H3 xX31.插值余項(xiàng)為:R3H3 x2x x 1 x 2 4!7、已知xi1345f (Xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f (x)的三次插值多項(xiàng)式P3(x)，并求f (2)的近似值(保留四位小數(shù))。答案:L3(x) 26(x 1)(x 4)(x 5)(3 1)(3 4)(3 5)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為XiVi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10141P3(x)N3

21、(x)2 2(x 1) (x 1)(x 3) (X 1)( x 3)(x 4)4f(2)P3(2) 5.58、已知sinx區(qū)間0.4 , 0.8的函數(shù)表i 0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解:應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差M 3|R2(X)|3(X)|盡量小，即應(yīng)使| 3(X)|盡量小，最靠近個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)0.5,06,0.7最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果si no .638910.596274，且sin 0.638910.596274扌

22、1(0.638910.5)(0.638919 0.6)(0.638910.7)40.55032 109、取節(jié)點(diǎn)Xo0,x10.5, X2f(x)X在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式 B(x),并估計(jì)誤差。解:F2(x) e(X0.5)(x 1)(0 0.5)(0 1)e 0.5(X 0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)(X 0)(x0.5)(1 0)(1 0.5)2(x0.5)( x 1) 4e0.5.1,x(x 1) 2e x(x0.5)又 f(x)宀(x)ex,M3 maX|f(x)| 1故截?cái)嗾`差10、已知f取五位小數(shù)。L2(x)解:23(xf(1.5)|R2(x)| |e x(-1)

23、=2 , f (1)=3 , f(X 1)(X2)1 1)( 1 2)1)(x2)L2(1.5)P2（X）|(2)=-4 ,（X1-|x(x 0.5)(x 1)| 。求拉格朗日插值多項(xiàng)式 L2（X）及f （1，5）的近似值,1)(x 2)(1 1)(1 2)4(X 1)(X 1)(2 1)(2 1)32(x 1)(x 2)10.04167244-(X 1)(x 1)311、（12分）以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算用Newt on插值方法：差分表:10001112110.0476190114420.0434783-0.0000941136J115的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。1

24、0+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)訥15=10.7227555f''' X3 -X8f'''3!1 3-68115 100 115 121 115 14415 6 29 0.00163X0123f (X)13927插值多項(xiàng)式；Newt on插值多項(xiàng)式，并計(jì)算f5）的近似值。（1）寫出相應(yīng)的三次Lagrange（2）作均差表，寫出相應(yīng)的三次12、（10分）已知下列函數(shù)表:解：（1）L3(x)(X 1)(x2)(x 3)(X 0)( X 2)( X 3) (X 0)(x1)( X 3

25、)(0 1)(03 2x22)(0 3)8x 1(1 0)(1 2)(1 3)(2 0)(2 1)(2 3)(X 0)(x1)( X 2)(3 0)(3 1)(3 2)3319(2 )均差表：32718N3(x)1 2x2x(x1)4-x(x 1)(x 2)f(1.5)N3(1.5)525X023f ( X)132已知y=f (X)的數(shù)據(jù)如下13、及 f (2.5 )求二次插值多項(xiàng)式 % b)7(2.5) fy-xC25)+-x2 5 +1 = 266672 114、設(shè)KSh廠也_ 5-4(1 )試求/國在上的三次Hermite 插值多項(xiàng)式H ( x )使?jié)M足H(r) = Q丄2,= y如)H

26、( X)以升幕形式給出。(2)寫出余項(xiàng)R二-H図的表達(dá)式(1)225450450251 91" g1 Q陀)冷花廠心滬金疋(打第四章數(shù)值積分、填空題:x2dx，利用梯形公式的計(jì)算結(jié)果為2.5，利用辛卜生公式的計(jì)算結(jié)果為2.333。2. n次代數(shù)精度。3. 梯形公式具有次插值型求積公式至少具有次代數(shù)精度，如果n為偶數(shù)，則有 n+11次代數(shù)精度,Simpson公式有 3次代數(shù)精度。4.插值型求積公式nAk f Xkk 0bf X的求積系數(shù)之和b-aa和xdx,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為0.4268 ，用辛1，辛卜生公式的代數(shù)精度為5、計(jì)算積分0.5卜生公式計(jì)算求得的近似

27、值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為3。6、已知 f (1)=1, f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求51 f(X)dX T 12 )。7、 設(shè) f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三點(diǎn)式求f (1)2.5 )。8、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。1Xe0dX ,要求誤差不超過10 6 ,利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用 4779、數(shù)值積分公式11f(x)dx|f( 1) 8f(0) f (1)9的代數(shù)精度為_210、已知f。)1.0, f(2)1.2,f(3)1.3，則用辛普生(辛卜生)公式計(jì)算求得31 f(x)dx,用三點(diǎn)式求得答案：2.367，0.25f (

28、1)10、數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值11、對于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式二、單項(xiàng)選擇題：1、等距二點(diǎn)求導(dǎo)公式(A) f(X1) f(X0)X1X0則由三點(diǎn)的求導(dǎo)公式，有f 了 (對心陽X加(心)上至少具有n次代數(shù)精度.f (x1)( A )。(B)f(X1) f(X0)X0X1(C) f(X0) f(X1)X0 X1(D) f(X1) f(X0)X1 X02、在牛頓-柯特斯求積公式:bf(x)dxan(b a)Crf(Xi)c(n)i 0中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)（A）時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（A） n 8，（B）n 7,（C） n 10，（

29、D） n 6，三、問答題1.什么是求積公式的代數(shù)精確度？如何利用代數(shù)精確度的概念去確定求積公式中的待定參數(shù)？*解此方程組得2635,于是有血舟 £/（o）+彳了（*）+ A 了答：一個(gè)求積公式如果當(dāng)廣（泣）為任意m次多項(xiàng)式時(shí)，求積公式精確成 立，而當(dāng)/（!：）為次數(shù)大于 m次多項(xiàng)式時(shí)，它不精確成立，則稱此求積公式具有m次代數(shù)精確度。根據(jù)定義只要令 血= 0丄，戰(zhàn)）代入求積公式兩端， 公式成立，得含待定參數(shù)的 m+1個(gè)方程的方程組，這里 m+1為待定參數(shù)個(gè)數(shù)，解此方程組則為所求。四、計(jì)算題1、確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精 確度. 匸

30、- A/（o）+ ivci>-h 解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。令f二1," :兀打弋入公式兩端并使其相等，得曲 + 5 + C=l再令得 故求積公式具有3次代數(shù)精確度。/上M工=A- J一 h) + .4p/<0) -r解答求秩公式中含有三個(gè)待定審數(shù)即沖計(jì)比,婦將 2、=分那代人求積公式'井令其左右相等得-1 +円?？ㄖ?2W kA 1 41)= 02 ,解爾 A_】=厲=yk/U = U/3.所求公式至少具有兩機(jī)代數(shù)精確度-又由于J jg工y (西尸+魯辰4h1A故/3血 4 討(一心十訂(為+ 1皿)具有三歡代數(shù)精 確S -(3

31、) 了(町張理跨(-h) +附(可)解：令了補(bǔ)=1,芥,/代入公式精確成立，得得求積公式贏7?1Lj«必鞫日乳-町十(¥)0=彳 5+兮y =-討故求積公式具有2次代數(shù)精確度。1 '2.求積公式 of(x)dx A0f (0) Af(1) Bof (0)，已知其余項(xiàng)表達(dá)式為HIR(f) kf ( ),(0,1)，試確定系數(shù) Ao,Ai,Bo，使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并給出代數(shù)精度的次數(shù)及求積公式余項(xiàng)。f (x)1,A0A11A02 3等,則得f (x)x, A1B01 y,求得A113,則有f (x)2 x,A113B01 T1f0(x) dx1 f (

32、0);f (1);f'(0)再令f (x)x 3，此時(shí)1x03dx14，而上式右端y,兩端不相等，故令 f (x)令公式兩端相A 0 , A1 , B 0°它的代數(shù)精度為2次。f '(0)的值，仍用代數(shù)精度定義確定參數(shù)1, X, X2,分別代入求積公式，解：本題雖然用到了為求余項(xiàng)可將10 f (x)dx 當(dāng) f (x)3 f代入上式得所以余項(xiàng)R(3、根據(jù)下面給出的函數(shù)f (x)(0)(x)1f(x)x3代入求積公式y(tǒng) f (1)3x2,x3dx(0)IIIkf ()，(0,1)(x)6k(x)6,172Tt f (sin x的數(shù)據(jù)表，分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛甫生公式

33、x),(0,1)7.Xk0.0000.1250.2500.3750.500f10.9970.98960.9760.95885(x k)39784158472675108Xk0.6250.7500.8751.000f0.9360.9080.87710.841(x k)1556385168925747098解1用復(fù)合梯形公式，這里n=8, h丄0.125,8計(jì)算I :乎dxsin x dxx0.125f (0.625) f (0.75) f (0.875) f 1 f (0)2f (0.125) f (0.25) 2f (0.375) f (0.5)0.94569086用復(fù)合辛甫生公式：這里n=4

34、, h10.25.可得4'Sdx f (0)4f (0.125) f (0.375)0 x6f (0.625) f (0.875) 2f(0.25)f (0.5)f(0.75)f(1)0.94608330514、求 AB 使求積公式1f(x)dx Af(1)f(1)Bf(i)1f（2）的代數(shù)精度盡量高，I并求其代數(shù)精度；利用此公式求1'x （保留四位小數(shù)答案:f(x)1, x, x2是精確成立,2A2B2AA ?B求積公式為11 f(x)dx19f( 1)8 1f(1) 9f( 2)1£)當(dāng)f（x） x時(shí)，公式顯然精確成立;1 當(dāng) f（X） x時(shí)，左=5，右=3。所以

35、代數(shù)精度為 3。2x 3 1111rdt 9亠亠8131391/23123970.692861405、n=3,用復(fù)合梯形公式求01 Xde dx的近似值（取四位小數(shù)），并求誤差估計(jì)。解:1 x0e dx T32( e13 e23) e11.7342f(x) ex,f(x)(x) | e|R| |ex T3Ie12 32e0.0251080.05至少有兩位有效數(shù)字。6、（ 15分）用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 其誤差。用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化丄1e xdxRdf解：專 h2f()Simpson公式）計(jì)算 0 'Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似值。1e0-y e 820.00

36、1302時(shí)，試用余項(xiàng)估計(jì)1276827h7T(8)-f(a)2 f(Xk)f(b)2k 111 2 (0.8824969 0.7788008 0.606530660.5352614 0.47236655 0.41686207)0.63294340.3678794717、（10分）已知數(shù)值積分公式為:hh2''0 f(x)dx -f(0)f(h) h f (0) f (h)試確定積分公式中的參數(shù)，使其代f(x)x時(shí)，022h 2h3h2f(x)2x dx-0h hx時(shí)，032h 3h4h rc3 1f(x)3x dx-0h x時(shí)，04212h 4 ,h5h rc1f(x)4x4d

37、x-0h4x時(shí)，05212所以，其代數(shù)精確度為3。hh2I8、（10分）用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分02hh20 4h3h20 3h2h2數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：f（x）1顯然精確成立；h211£ 2h2h5 石；S16 f04f 1S21124f2fS215S20.393sin x或利用余項(xiàng):1 sin x00.9461458810-52 x3!4f4 x5!S26 x7!dx的近似值，要求誤差限為0.946086930.946086938 x9!0.510 5。33f(4)2X7 2!4x9 4!5 a2880n42880 5n40.510 5n 2，

38、IS2'f(x)dx -f (1) f (2)9、( 9分)數(shù)值求積公式 02是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少?x 2x 1fz、P(X)f(1)f(2)解：是。因?yàn)閒(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為1 22 133P (x)dx f(1) f (2)02。其代數(shù)精度為1。10、(10分)取5個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計(jì)算積分 的近似值(保留4位小數(shù))。2亠dx0 1 2x21 2x2Xi00.511.52f (Xi)10.6666670.3333330.1818180.111111(2 分)解: 5個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值f(x)(1) 復(fù)化梯形公式(n=

39、4,h=2/4=0.5 ):0.51 2 (0.666667 0.333333 0.181818) 0.1111110.868687(2) 復(fù)化梯形公式(n=2,h=2/2=1)：1S2 -1 4 (0.666667 0.181818) 2 0.333333 0.111111 60.86195311、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度:T41oXfxdx Aof取 f(X)=1,X,令公式準(zhǔn)確成立，得:A0 A1-AoAlA0Aif(x)=x 2時(shí)，公式左右=1/4; f(x)=x 3時(shí)，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代數(shù)精度=212、證明定積分近似計(jì)算的拋

40、物線公式具有三次代數(shù)精度證明：當(dāng)/ W =1時(shí),dx = h - a公式左邊:公式右邊:b - a “” ,1 +4 +1 -B-a左邊=右邊>w=x 時(shí)右邊:左邊= 右邊左邊:h-d. 3 丄 / y十丄！J右邊：丁"*（）左邊=右邊左邊:右邊:寧卄（導(dǎo)曲-呼左邊=右邊時(shí)左邊:+嘰小寧（沁5 S子或具有三次代數(shù)精度13、試確定常數(shù)A, B, C和，使得數(shù)值積分公式r勺八）必用母（P）+型®+0/3）有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？10解血心廠E二席，疣二土阻9V 5，該數(shù)值求積公式具有 5次代數(shù)精確度,第五章常微分

41、方程一、填空題1、求解一階常微分方程初值問題y = f(x,y) , y(xo)=yo的改進(jìn)的歐拉公式為35yn01ynhf (Xn, yn)hyn 1yn - f (Xn, yn) f X 1, 丫畀)2 。2、解初值問題Y f(x,Y)y(xo) Yo的改進(jìn)歐拉法yn 12階方法。3、解初始值問題ynyn01yn hf (Xn, yn)-f(Xn,yn) f(Xn 1切01)2是I yI yE F近似解的梯形公式是卩上+ 幾仏九)十川心兒J4、解常微分方程初值問題y* = 工(心)=幾的梯形格式尸嗣=兒兀)+/a二、計(jì)算題9+P是二階方法1.用改進(jìn)歐拉方法計(jì)算初值問題dy dX Y(O)解

42、：改進(jìn)的歐拉公式y(tǒng)n 1yn代入f(x, y) X2ynynyn扣20.05yn 1yny,且 XnXn2yn Xn0 X 1，取步長h=0.1計(jì)算到y(tǒng)5。XnYn0.10.00550hf (Xn, yn)h-f (Xn, yn)2f (Xn 1,yn 1)nh,有1 Xn 1ynh(x2Xn yn)(1.9xn 2.1Xn -1.9yn0.11)(nO,.123,4)0.20.30.40.02193 0.05015 0.09094 0.145000.52.用梯形法解初值問題 y - H 十廠 -曲）=0取步長h=0.1，計(jì)算到x=0.5 ,并與準(zhǔn)確解-心-Xl解：用梯形法求解公式，得相比較3

43、7y超+1 =兒+0.05x（a +忑純兒十兀十耳+1-XM1） 解得$把*1 二十0.05>(2盜：+22心一,+ Q 11)門.0了，理=0.12,3.43 .用改進(jìn)的Euler法解初值問題y x y,y 01,并與精精確解為+ F ；t +1X*0.10. 203040.5改進(jìn)Eulexr法0.005500.021930.050150.090940.14500梯形法0.005240.021410.0493?0.039910-14373穡確解y&J0.005160.021270.049130.099630.1434?0x1 ；取步長h=0.1計(jì)算y 0.5，確解y X 1 2ex相比較。（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后 4位）解：改進(jìn)的尤拉公式為:yn 1ynhyn 1yn2hfXn，yXn，ynf Xn 1, yn 1代入f x,yy