理論力學(xué)復(fù)習(xí)的總結(jié)

1、第一篇靜力學(xué)第1章靜力學(xué)公理與物體的受力分析1.1 靜力學(xué)公理公理1二力平衡公理：作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的必要和充分條件是：這兩個(gè)力大小相等、方向相反且作用于同一直線上。F=-F 工程上常遇到只受兩個(gè)力作用而平衡的構(gòu)件，稱為二力構(gòu)件或二力桿。公理2 加減平衡力系公理：在作用于剛體的任意力系上添加或取去任 意平衡力系，不改變?cè)ο祵?duì)剛體的效應(yīng)。推論 力的可傳遞性原理：作用于剛體上某點(diǎn)的力，可沿其作用線移至剛 體內(nèi)任意一點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的作用。公理3力的平行四邊形法則：作用于物體上某點(diǎn)的兩個(gè)力的合力，也 作用于同一點(diǎn)上，其大小和方向可由這兩個(gè)力所組成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)表 示

2、。推論三力平衡匯交定理：作用于剛體上三個(gè)相互平衡的力，若其中兩個(gè) 力的作用線匯交于一點(diǎn)，則此三個(gè)力必在同一平面內(nèi)，且第三個(gè)力的作用線通過(guò) 匯父點(diǎn)。公理4作用與反作用定律：兩物體間相互作用的力總是同時(shí)存在，且 其大小相等、方向相反，沿著同一直線，分別作用在兩個(gè)物體上。公理5鋼化原理：變形體在某一力系作用下平衡，若將它鋼化成剛體， 其平衡狀態(tài)保持不變。對(duì)處于平衡狀態(tài)的變形體，總可以把它視為剛體來(lái)研究。1.2 約束及其約束力1 .柔性體約束2 光滑接觸面約束3 .光滑鉸鏈約束第2章 平面匯交力系與平面力偶系1. 平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線通過(guò)各力作用線的匯交點(diǎn)，其大小和方向可由失

3、多邊形的封閉邊來(lái)表示，即等于個(gè)力失的矢量和，即FR=F1+F2+ .+Fn=刀 F2. 矢量投影定理：合矢量在某軸上的投影，等于其分矢量在同一軸上的投影的 代數(shù)和。3. 力對(duì)剛體的作用效應(yīng)分為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。力對(duì)剛體的移動(dòng)效應(yīng)用力失來(lái)度量； 力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力矩來(lái)度量，即力矩是度量力使剛體繞某點(diǎn)或某軸轉(zhuǎn) 動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理量。(Mo(F) = Fh)4. 把作用在同一物體上大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力所組 成的力系稱為力偶，記為(F,F 。例2-8如圖2.-17 (a)所示的結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件自重忽略不計(jì)，在構(gòu)件AB上作用一力偶, 其力偶矩為500kN? m求A、C兩點(diǎn)的約束力。解

4、 構(gòu)件BC只在B C兩點(diǎn)受力，處于平衡狀態(tài)，因此 BC是二力桿，其受力如 圖2-17 (b)所示。由于構(gòu)件AB上有矩為M的力偶，故構(gòu)件AB在鉸鏈A、B處的一對(duì)作用力FA FB構(gòu)成一力偶與矩為M的力偶平衡(見(jiàn)圖2-17 (c)。由平面力偶系的平衡方 程刀Mi=0，得-Fad+M=0則有FA=FBN=471.40N由于FA FB為正值，可知二力的實(shí)際方向正為圖 2-17 (c。所示的方向。 根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，可知 FC=FB =471.40N，方向如圖2-17 (b) 所示。第3章平面任意力系1 合力矩定理：若平面任意力系可合成為一合力。則其合力對(duì)于作用面內(nèi)任意 一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)

5、于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。2平面任意力系平衡的充分和必要條件為：力系的主失和對(duì)于面內(nèi)任意一點(diǎn)Q的主矩同時(shí)為零，即FR=0,Mo=0.3 .平面任意力系的平衡方程：刀Fx=0,刀Fy=0,刀Mo(F)=0.平面任意力系平衡 的解析條件是，力系中所有力在作用面內(nèi)任意兩個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù) 和分別等于零，各力對(duì)于作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也是等于零例3-1如圖3-8 (a)所示，在長(zhǎng)方形平板的四個(gè)角點(diǎn)上分別作用著四個(gè)力，其中 F1=4kN F2=2kN F3=F4=3kN平板上還作用著一力偶矩為 M=2kN m的力偶。試 求以上四個(gè)力及一力偶構(gòu)成的力系向0點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。解(

6、1)求主矢FR,建立如圖3-8(a)所示的坐標(biāo)系，有F Rx=E Fx=- F2cos60 +F3+F4cos30 =4.598kNF Ry=E Fy=F1 F2sin60 +F4sin30 =3.768kN所以，主矢為 .F R=5.945kN主矢的方向:cos (F R,i ) = =0.773, / (F R, i)=39.3 cos (F R,j )=0.634，Z( F R, j ) =50.7(2)求主矩，有M0= M0( F) =M+2F2cos60 2F2+3F4sin30 =2.5kN - m由于主矢和主矩都不為零，故最后的合成結(jié)果是一個(gè)合力 FR如圖3-8 (b) 所示，F(xiàn)

7、R=F R,合力FR到O點(diǎn)的距離為d= mq =0.421mFS.例 3-10連續(xù)梁由AC和CE兩部分在C點(diǎn)用鉸鏈連接而成，梁受載荷及約束情況如圖3-18(a)所示，其中 M=10kN m F=30kN, q=10kN/m，l=1m。求固定端 A 和支座 D 的約束力。解 先以整體為研究對(duì)象，其受力如圖3-18 (a)所示。其上除受主動(dòng)力外，還受固定端A處的約束力Fax、Fay和矩為MA的約束力偶，支座D處的約束力FD 作用。列平衡方程有刀 Fx=0, Fax Fcos45 =0刀 Fy=0, FAy- 2ql+Fsin45 +FD=0刀 MA( F) =0, MA+ 4ql 2 +3FDl+

8、4Flsin45 =0以上三個(gè)方程中包含四個(gè)未知量，需補(bǔ)充方程。現(xiàn)選CE為研究對(duì)象，其受力如圖3- ( b)所示。以C點(diǎn)為矩心，列力矩平衡方程有刀MC(F) =0, ql 2 +FDI+2FISin45 =0聯(lián)立求解得FAx=21.21kN, Fay=36.21kN, MA=57.43kN- m FD=- 37.43kN第4章 考慮摩擦的平衡問(wèn)題1. 摩擦角：物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束力和法線間的夾角。tan書(shū)m=fs2. 自鎖現(xiàn)象：當(dāng)主動(dòng)力即合力Fa的方向、大小改變時(shí)，只要Fa的作用線在摩 擦角內(nèi)，C點(diǎn)總是在B點(diǎn)右側(cè)，物體總是保持平衡，這種平衡現(xiàn)象稱為摩擦 自鎖。例4-3梯子AB靠在墻上

9、，其重為 W=200N如圖4-7所示。梯長(zhǎng)為I，梯子與水平面的 夾角為B =60已知接觸面間的摩擦因數(shù)為0.25。今有一重650N的人沿梯上爬， 問(wèn)人所能達(dá)到的最高點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離s為多少？解 整體受力如圖4-7所示，設(shè)C點(diǎn)為人所能達(dá)到的極限位置，此時(shí)FsA=fsFNA, FsB=fsFNB刀 Fx=0, FNB-FsA=0刀 Fy=0, FNA+FsB-W-W仁0刀 MA( F) =0， -FNBsin 0 -FsBlcos 0 +Wcos 0 +W1scosB =0 聯(lián)立求解得S=0.456l第5章空間力系1. 空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零,即FR乏Fi=02.

10、空間匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在三條坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和 分別等于零.3. 要使剛體平衡，則主失和主矩均要為零，即空間任意力系平衡的必要和充分條件是：該力系的主失和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零，即FR=XFi=0,Mo=刀Mo(Fi)=04. 均質(zhì)物體的重力位置完全取決于物體的幾何形狀，而與物體的重量無(wú)關(guān).若物體是均質(zhì)薄板，略去Zc,坐標(biāo)為xc=E Ai*xi/A,yc=刀Ai*yi/A5. 確定物體重心的方法(1)查表法組合法：分割法；負(fù)面積(體積)法(3)實(shí)驗(yàn)法第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)第6章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)6.2直角坐標(biāo)法運(yùn)動(dòng)方程x=f(t) y=g(t) z=h(t)消去t可得到軌跡方程f (x,y

11、,z )=0其中例題6 -1橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖6-4(a)所示，曲柄oc以等角速度w繞0轉(zhuǎn)動(dòng)，通 過(guò)連桿AB帶動(dòng)滑塊A、B在水平和豎直槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，OC=BC=AC=L求：(1)連桿 上皿點(diǎn)(AM=)的運(yùn)動(dòng)方程；(2) M點(diǎn)的速度與加速度。解：(1)列寫(xiě)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程由于M點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡未知，故建立坐標(biāo)系。點(diǎn)M是BA桿上的一點(diǎn)，該桿兩端分別被限制在水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)。曲柄做等角速轉(zhuǎn)動(dòng)，=wt。由這些約束條件寫(xiě)出M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程x=(2L-r)coswt y=rsinwt消去t得軌跡方程：(x/2L-r) 2 + (y/x ) 2 =1(2)求速度和加速度對(duì)運(yùn) 動(dòng)方程 求導(dǎo)，得 dx/dt=-(2L-r)

12、wsinwt dy/dt=rsinwt 再求導(dǎo) a1=-(2L-r)w 2 coswt a2=-rw 2 sinwt由式子可知 a=a1i+a2j=-w 2 r6.3自然法2. 自然坐標(biāo)系：b=t x n其中b為副法線n為主法線t3. 點(diǎn)的速度v=ds/dt切向加速度at=dv/dt法向加速度 an=v 2 /p第七章剛體的基本運(yùn)動(dòng)7.1岡H體的平行運(yùn)動(dòng)：剛體平移時(shí)，其內(nèi)所有各點(diǎn)的軌跡的形狀相同。在同 一瞬時(shí)，所有各點(diǎn)具有相同的速度和相同的加速度。岡寸體的平移問(wèn)題可歸結(jié)為點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。7.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：瞬時(shí)角速度 w=lim O/ t=d 0 /dt瞬時(shí)角加速度 a=lim w/A t

13、=dw/dt=d 2 0 /dt 2 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的代數(shù)值等于該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離與剛體角速度的乘積 a=V(a 2 +b2 )=RV( a 2 +w2 )0 =arctan|a|/b =arctan|a |/w 2轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度和加速度的大小都與該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離成正比。第8章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)8.1合成運(yùn)動(dòng)的概念：相對(duì)于某一參考系的運(yùn)動(dòng)可由相對(duì)于其他參考系的幾 個(gè)運(yùn)動(dòng)組合而成，這種運(yùn)動(dòng)稱為合成運(yùn)動(dòng)。當(dāng)研究的問(wèn)題涉及兩個(gè)參考系時(shí)，通常把固定在地球上的參考系稱為定參考 系，簡(jiǎn)稱定系。吧相對(duì)于定系運(yùn)動(dòng)的參考系稱為動(dòng)參考系，簡(jiǎn)稱動(dòng)系。研究的對(duì) 象是動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)； 動(dòng)

14、點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn) 動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)。動(dòng)系作為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)著，因此，牽連運(yùn)動(dòng)具體有剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，常見(jiàn)的牽連運(yùn)動(dòng)形式即為 平移或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)也可分解為相 對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。在研究比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果適當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)參考系，往往 能把比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)。 這種研究方法無(wú)論在理論上或 實(shí)踐中都具有重要意義。動(dòng)點(diǎn)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度、相對(duì)加速度，分別 用vr和ar表示。動(dòng)點(diǎn)在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì) 加速度，分別用va和aa表示。換句話說(shuō)，觀

15、察者在定系中觀察到的動(dòng)點(diǎn)的速度 和加速度分別為絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度； 在動(dòng)系中觀察到動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分 別為相對(duì)速度和相對(duì)加速度。在某一瞬時(shí)，動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)M相重合的一點(diǎn)稱為此瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn) M的牽連點(diǎn)。 如在某瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)將沿著牽連點(diǎn)的軌跡而運(yùn)動(dòng)。 牽連點(diǎn)是動(dòng) 系上的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到動(dòng)系上的哪一點(diǎn)，該點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)。定義某瞬時(shí)牽 連點(diǎn)相對(duì)于定參考系的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連速度、牽連加速度，分別用 ve和ae表示。動(dòng)系O x y與定系Oxy之間的坐標(biāo)系變換關(guān)系為x=xO+x cos 0 -y sin 0 y=y0+x sin 0 +y cos 0在點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間

16、t，即得點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡；在點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方 程中消去時(shí)間t，即得點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。例題8-4礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B上，如圖所示。站在地面上觀察礦 砂下落的速度為v1=4 m/s，方向與豎直線成30角。已知傳送帶B水平傳動(dòng)速 度v2=3 m/s.求礦砂相對(duì)于傳送帶 B的速度。解：以礦砂M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在傳送帶B上。礦砂相對(duì)地面的速度v1為絕 對(duì)速度；牽連速度應(yīng)為動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的哪一點(diǎn)的速度。 可設(shè)想動(dòng)參考 系為無(wú)限大，由于它做平移，各點(diǎn)速度都等于 v2。于是v2等于動(dòng)點(diǎn)M的牽連 速度。由速度合成定理知，三種速度形成平行四邊形，絕對(duì)速度必須是對(duì)角線，因此作出的速度平行四邊形如圖所

17、示。根據(jù)幾何關(guān)系求得Vr= V( ve2 +va2 -2vevacos60 o ) =3.6 m/sVe與 va 間的夾角 B =arcsin (ve/vr*sin60 o ) =46o 12總結(jié)以上，在分析三種運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系是 運(yùn)動(dòng)的，因此它們不能處于同一物體；為便于確定相對(duì)速度，動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡應(yīng) 簡(jiǎn)單清楚。8.3當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度和相對(duì)加速度 的矢量和。第9章剛體的平面運(yùn)動(dòng)9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的分析：其運(yùn)動(dòng)方程x=f1(t) y=f2(t)9 =f3(t)完全確定平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在剛體上，可以選取平面圖形上的任意點(diǎn)為基點(diǎn)

18、而將平面運(yùn)動(dòng)分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平面圖形平移的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。9.2剛體平面運(yùn)動(dòng)的速度分析：平面圖形在某一瞬時(shí)，其上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)的連線上的投影相等，這就是速度投影定理。Vcosa=vcosb例9-1橢圓規(guī)尺AB由曲柄OC帶動(dòng)，曲柄以勻角速度0繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖9-7所示， OC=BC=AC=r求圖示位置時(shí)，滑塊 A、B的速度和橢圓規(guī)尺AB的角速度。解 已知OC繞軸O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，橢圓規(guī)尺 AB做平面運(yùn)動(dòng)，vc=3 0r。(1) 用基點(diǎn)法求滑塊A的速度和AB的角速度。因?yàn)镃的速度已知，選C為基 點(diǎn)。vA=Vc+VAC式

19、中的VC的大小和方向是已知的，vA的方向沿y軸，vAC的方向垂直于AC，可 以作出速度矢量圖，如圖9-7所示。由圖形的幾何關(guān)系可得vA=2vccos30 =底3 0r,Vac=Vc，Vac=3 ABr解得3 AB=w 0 (順時(shí)針)(2) 用速度投影定理求滑塊B的速度，B的速度方向如圖9-7所示。vBBC=vCBCVccos30 =vBcos30解得Vb=vC= 3 Or第三篇 動(dòng)力學(xué)第10章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程1. 牛頓第一定律：不受了作用（包括受到平衡力系作用）的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止 或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。又稱慣性定律。2. 牛頓第二定律：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小， 加速

20、度的方向與力的方向相同。F =ma3. 牛頓第三定律：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反， 沿著同一直線，同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。例 10-5物塊在光滑水平面上并與彈簧相連，如圖10-5所示。物塊的質(zhì)量為 m彈簧的剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長(zhǎng)變形量為a時(shí)，釋放物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn) 0,設(shè)物塊在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為|x|，彈 簧力大小為F=k|x|，并指向0點(diǎn)，如圖10-5所示，則此物塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分 方程為=Fx=-kx令3 2門(mén)亠，將上式化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一+3 2 nx=0HLaf上式的解可寫(xiě)為X=Acos（3 nt+ 9 ）

21、其中A、9為任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。由題意，當(dāng)t=0時(shí)，臺(tái)=0,x=a，代入上式，解得9 =0, A=a,代入式中，可解得運(yùn)動(dòng)方程為 X=acos3 nt第11章動(dòng)力定理B = mVe1. 動(dòng)量：等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積.2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理： 微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力 的矢量和. 積分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在任一時(shí)間間隔內(nèi)的變化，等于在同一時(shí)間間隔內(nèi)作 用在該指點(diǎn)系上所有外力的沖涼的矢量和.（沖涼定理）3. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律：如果所有作用于質(zhì)心系的外力在x軸上投影的代數(shù)和恒等于零，即刀F=0,則Vex二常量，這表明質(zhì)心的橫坐標(biāo)xc不變或質(zhì)

22、心沿x軸 的運(yùn)動(dòng)時(shí)均勻的。8例11-5 :已知液體在直角彎管ABCD中做穩(wěn)定流動(dòng)，流量為 Q,密度為p, AB端流入截面的直徑為d,另一端CD流出截面的直徑為di。求液體對(duì)管壁的附 加動(dòng)壓力。解 取ABCD一段液體為研究對(duì)象，設(shè)流出、流入的速度大小為vi和v2,則皿代V1二-， v2=-盤(pán)丿瓦建立坐標(biāo)系，則附加動(dòng)反力在Q汶、y軸上的投影為F Nx=p Q(v2-0)= ndi F Ny=p Q 0-(-vi ) ndi例11-7 :圖11-6所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄 OA受力偶作用以勻角速 度w轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B沿x軸滑動(dòng)。若OA=AB=J OA及 AB都為均質(zhì)桿，質(zhì)量都為m1, 滑塊B的質(zhì)量為

23、m2試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡及此系統(tǒng)的動(dòng)量。解 設(shè)t=0時(shí)桿OA水平，則有=wt。將系統(tǒng)看成是由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的，分 別位于桿:OA的中點(diǎn)、桿AB的中點(diǎn)和B點(diǎn)。系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為Xc= 一cos業(yè)Icos cotYc=-.-.i - - s in o t=:-ls in o t 上式即系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程。由上兩式消去時(shí)間t,得xc 2 +-2 =1即質(zhì)心C的運(yùn)功軌跡為一橢圓，如圖11-6中虛線所示。應(yīng)指出，系統(tǒng)的動(dòng)量, 利用式(11-15 )的投影式，有Px=mvcx=(2m1+m2=-2(m1+m2)l o sin o tPy=mvcy=(2m1+m2)- =m1lo cos o tG9

24、LJ例11-11 :平板D放置在光滑水平面上，板上裝有一曲柄、滑桿 、套筒機(jī) 構(gòu)，十字套筒C保證滑桿AB為平移，如圖示。已知曲柄 0A是一長(zhǎng)為r，質(zhì)量為 m的均質(zhì)桿，以勻角速度 w繞軸0轉(zhuǎn)動(dòng)?；瑮UAB的質(zhì)量為4m,套筒C的質(zhì)量為 2m機(jī)構(gòu)其余部分的質(zhì)量為20m設(shè)初始時(shí)機(jī)構(gòu)靜止，試求平板 d的水平運(yùn)動(dòng)規(guī) 律 x(t)。解 去整體為質(zhì)點(diǎn)系，說(shuō)受的外力有各部分的重力和水平面的反力。因?yàn)?外力在水平軸上的投影為零，且初始時(shí)靜止，因此質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心在水平軸上的坐標(biāo) 保持不變。建立坐標(biāo)系，并設(shè)平板 D的質(zhì)心距O點(diǎn)的水平距離為a，AB長(zhǎng)為I， C距O點(diǎn)的水平距離為b,則初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的水平軸的坐標(biāo)為Xc仁-=

25、曲.寸卅討紺總20m+m+4m+2m27設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，平板D向右移動(dòng)了 x(t)，曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)了角度wt,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì) 心坐標(biāo)為Xc2=(1)+rcoswt+2mx(t)+b27mr因?yàn)樵谒椒较蛏腺|(zhì)心守恒，所以 xc1=xc2, 解得：X(t)= - (1-cos 3 t)第12章動(dòng)量矩定理1. 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：指點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩失在z軸的投影，等于對(duì)z軸的動(dòng)量矩，即Lo(mv)=Lz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn) O的動(dòng)量矩的矢量和.即:Lo=刀 Lo(mv)2. 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的裝動(dòng)慣量與角速度的乘積.(Lz=wJz)3. 平行軸定

26、理：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行 的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.4. 動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力 對(duì)同一點(diǎn)的矩.(b10LJ例12-2 :已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤(pán)的質(zhì)量都為 m,圓盤(pán)半徑為R,桿長(zhǎng)3R,求擺對(duì)通過(guò)懸掛點(diǎn)0并垂直于圖面的Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解擺對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz=Jz 桿+Jz 盤(pán) 桿對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz桿=ml 2 =m( 3R)2 =3mR2圓盤(pán)對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jzc2= -mR2利用平行軸定理人門(mén)丙Jz盤(pán)=Jzc2+m(R+l 2)= mR2 +16mR =- mF?所以蹄 恕Jz

27、= Jz 桿 +Jz 盤(pán)=3mR2mR =二 mR 2例12-3 :質(zhì)量為M1的塔倫可繞垂直于圖面的軸 0轉(zhuǎn)動(dòng)，繞在塔輪上的繩索 于塔輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，繞在半徑為r的輪盤(pán)上的繩索于剛度系數(shù)為k的彈簧相連 接，彈簧的另一端固定在墻壁上，繞在半徑為R的輪盤(pán)上的繩索的另一端豎直懸 掛質(zhì)量為M2的重物。若塔輪的質(zhì)心位于輪盤(pán)中心0,它對(duì)軸0的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jo=2mr,R=2r,M仁m,M2=2m求彈簧被拉長(zhǎng)s時(shí)，重物M2的加速度。解 塔輪做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)該瞬時(shí)角速度為 w,重物作平移運(yùn)動(dòng)，則它的速度 為v=Rw,它們對(duì)0點(diǎn)的動(dòng)量矩分別為L(zhǎng)o1， Lo2，大小為L(zhǎng)o仁-Jo w=-2mr2w， Lo2=-2mR2w=-8m2 2 系統(tǒng)對(duì)0點(diǎn)的外力矩為M0 () =J r-m2g R=ksr-4mgr根據(jù)動(dòng)量矩定理“ L0=2 M0(得 10mr2=(4mg-ks)ra _ dt - lOmT因重物的加速度a2=Ra，所以：a2=Ra =11第13章動(dòng)能定理1. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力所做元功的和，這就是質(zhì)點(diǎn)系 微分形式的動(dòng)能定理.(13-23)2. 質(zhì)點(diǎn)系積分形式的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的改變量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力