垂直于弦的直徑(2)

1、第三章 圓垂徑定理教學設(shè)計說明一、學生起點分析學生的知識技能基礎(chǔ)： 學生在七、八年級已經(jīng)學習過軸對稱圖形的有關(guān)概念 和性質(zhì)，等腰三角形的對稱性， 以及本節(jié)定理的證明要用到的三角形全等的知識， 在本章前兩節(jié)課中也已經(jīng)初步理解了圓的軸對稱性和圓弧的表示等知識， 具備探 索證明幾何定理的基本技能學生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)： 在平時的學習中， 學生已掌握探究圖形性質(zhì)的不同手段 和方法，具備幾何定理的分析、探索和證明能力二、教學任務(wù)分析該節(jié)內(nèi)容為 1 課時圓是一種特殊圖形， 它是軸對稱圖形， 學生通過類比等 腰三角形的軸對稱性， 能利用圓的軸對稱性探索、 證明得出圓的垂徑定理及其逆 定理具體地說，本節(jié)課的教學目標

2、是：知識與技能1利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理；2運用垂徑定理及其逆定理解決問題過程與方法1經(jīng)歷運用圓的軸對稱性探索圓的相關(guān)性質(zhì)的過程，進一步體會和理解研 究幾何圖形的各種方法情感與態(tài)度1. 培養(yǎng)學生類比分析，猜想探索的能力2. 通過學習垂徑定理及其逆定理的證明，使學生領(lǐng)會數(shù)學的嚴謹性和探索 精神，培養(yǎng)學生學習實事求是的科學態(tài)度和積極參與的主動精神教學重點： 利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理教學難點：垂徑定理及其逆定理的證明，以及應(yīng)用時如何添加輔助線.三、教學設(shè)計分析本節(jié)課設(shè)計了四個教學環(huán)節(jié):類比引入，猜想探索，知識應(yīng)用，歸納小結(jié)第一環(huán)節(jié)類比引入活動內(nèi)容:1. 等腰三角形是軸對稱

3、圖形嗎?2. 如果將一等腰三角形沿底邊上的高對折，可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?圓，得到的圖形是否是軸對稱圖形呢?3. 如果以這個等腰三角形的頂角頂點為圓心，腰長為半徑畫活動目的: 通過等腰三角形的軸對稱性向圓的軸對稱性過渡，引導學生思考，培養(yǎng)學生類比分析的能力.第二環(huán)節(jié)猜想探索活動內(nèi)容:1.如圖，AB是O O的一條弦，作直徑 CD，使CD "丄AB,垂足為M .（2）你能圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由.（1）該圖是軸對稱圖形嗎？如果是， 其對稱軸是什么?條件：CD是直徑；CD丄AB 結(jié)論（等量關(guān)系）：AM=BM;AC =BC :Ad =Bb -證明：連接OA,OB,則OA=OB.在 RtA

4、 OAM 和 RtA OBM 中,V OA=OB，OM=OM， RtA 0AM 也 RtA OBM. AM=BM.點A和點B關(guān)于CD對稱.VO O關(guān)于直徑CD對稱,當圓沿著直徑CD對折時，點A與點B重合,AC和BC重合， AD和BD 重合. C CC CAC =BC，AD =BD -2.證明完畢后，讓學生自行用文字語言表述這一結(jié)論，最后提煉出垂徑定 理的內(nèi)容垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.3. 辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理?8注意：定理中的兩個條件缺一不可一一直徑（半徑），垂直于弦.通過以上辨析，讓學生對垂徑定理的兩個條件的必要性有更充分的認識.4. 垂徑定理逆定理的

5、探索如圖，AB是O0的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD,交AB于點M.（2）圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由（1）下圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么?條件： CD是直徑； AM=BM 結(jié)論（等量關(guān)系）：CD丄AB;AC BC ；AD BD 讓學生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理，并表述逆定理的內(nèi)容平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.5 辨析：“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.” 如果該定理少了 “不是直徑”，是否也能成立?反例:BC©DA 活動目的:活動1的主要目的是通過讓學生猜想、 類比、探索和證明獲得新知，從

6、而得到研究數(shù)學的多種方法的體會，獲取經(jīng)驗；活動2的主要目的是讓學生通過對定理表述反復的語言提煉，鍛煉學生的歸納能力和嚴謹?shù)谋硎瞿芰Γ?并對定理的 條件和結(jié)論有更深刻的理解和認識；活動3的主要目的是通過反例使學生對定理 的嚴謹性有更深的認識；活動 4的主要目的與活動1相似，并讓學生與活動1類比，提高探索能力；活動5的主要目的與活動3相似.實際教學效果:在活動1中的證明時，學生對如何證明平分弦，可能會有一定困難，此時應(yīng) 引導學生類比等腰三角形，通過連接 0A、0B,構(gòu)造等腰三角形，并利用三角形 全等的知識來證明；另外，在證明直徑平分弦所對的弧，也是一個難點，學生會 覺得比較難表述，這時應(yīng)類比等腰三

7、角形的軸對稱性， 運用圓的軸對稱性啟發(fā)引 導；在活動2中，學生的說法可能不夠準確、精煉，但教師應(yīng)該鼓勵學生堅持勇 于嘗試，讓學生互相指出說法的不足和缺陷， 互相加以修正，在反復的語言提煉 中對定理的條件和結(jié)論有更深刻的理解和認識， 這也是一個自主構(gòu)建的過程；活 動3是通過反例說明定理的條件的必要性和嚴謹性，要注意讓學生學會通過反例找出對應(yīng)缺失的條件，提高學生對定理的理解；在活動4中，學生已經(jīng)有了活動1的經(jīng)驗，教師應(yīng)放手讓學生去猜想、類比、探索和證明，增加學生對數(shù)學知識 的探索的領(lǐng)悟和經(jīng)驗；活動5與活動3相似.第三環(huán)節(jié)知識應(yīng)用活動內(nèi)容:講解例題及完成隨堂練習.CE1 例：如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是

8、一段圓?。磮D中CD ,¥點0是Cd所在圓的圓心），其中CD=600m，E為CD上的 一點，且0E丄CD，垂足為F, EF=90m.求這段彎路的半徑.解：連接0C,設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF=（R-90）m.0E 丄 CD二 CF JcD 二1"。=3002 2根據(jù)勾股定理，得OC2=CF2 +0F2即 R2=3002+(R-90)2.解這個方程，得R=545.所以，這段彎路的半徑為545m.2.隨堂練習1. 1400年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為 37.4米，拱高（即弧的中點到弦的距離）為 7.2米，求橋拱所在圓的半徑.（結(jié)果精確

9、到0.1米）.-kT-37.4C3.隨堂練習2.如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?為什么?有三種情況:(1)圓心在平行弦外;圓心在其中一條弦上;圓心在平行弦內(nèi).OD活動目的：活動1、2的主要目的是讓學生應(yīng)用新知識構(gòu)造直角三角形，并通過方程的方法去解決幾何問題；活動3的主要目的是讓學生通過作垂線段構(gòu)造 符合定理使用的條件，從而運用定理解決問題，以及培養(yǎng)學生解題中的分類思想.實際教學效果:在活動4中，對于例題和隨堂練習1教師要引導學生如何夠造可以應(yīng)用垂徑 定理的幾何構(gòu)圖，讓學生積累如何添加輔助線的經(jīng)驗，以及體會到構(gòu)造直角三角形并利用勾股定理列方程在解決幾何問題中的作用，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)

10、合的思想.對于 隨堂練習2,教師要引導學生通過自行畫圖，探索分析符合條件圖形有多少種情 況：圓心在平行弦外，在其中一條弦上、在平行弦內(nèi)，并通過添加輔助線構(gòu)造可 以應(yīng)用垂徑定理的條件，以及比較三種構(gòu)圖的共同點，得出說理的思路都是一樣 的結(jié)論.第四環(huán)節(jié)歸納小結(jié)活動內(nèi)容:學生交流總結(jié)1.利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理2.解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑,連接半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件活動目的：通過回顧本節(jié)課的各個環(huán)節(jié)， 鼓勵學生交流自己的收獲和感想， 加深對本節(jié)課知識和探索方法的理解和掌握，培養(yǎng)學生養(yǎng)成歸納反思的學習習慣實際教學效果：學生在互相交流中，

11、 對于歸納出來的內(nèi)容， 會有各種表述，大多都是圍繞知識本身，教師應(yīng)引導學生對探索知識的方法也能歸納反思四、教學設(shè)計反思1要從培養(yǎng)學生學習方法的角度使用教材教材為教師提供了基本的教學素材， 但如何使用這些素材，教師完全可以根據(jù)學生的實際情況進行適當調(diào)整 學生在探索垂徑定理的時候， 于如何證明垂徑定理， 這時通過類比等腰三角形的軸對稱性， 可以使學生對證明其中一個難點在的思考得到突破， 從而尋找出合理的證明方向 這既使學生掌握了新知識， 也培 養(yǎng)了學生的學習數(shù)學的類比思想和觀察、猜想的能力2要鼓勵學生敢于表述和善于糾錯垂徑定理及其逆定理的文字表述是一個難點， 教師如果直接給出， 則學生就少了一個鍛煉表述能力和嚴謹?shù)胤治龅臋C會 因此，應(yīng)該讓學生大膽表述， 并對 各人的表述嚴謹分析