人教版初二一元二次方程和二次函數(shù)教案

1、一元二次方程、知識結(jié)構(gòu)：解與解法元二次方程根的判別韋達定理、考點精析性點一、概念(1)定義：廠只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2,這樣的整式方程 就是 次方程。(2) 一般表達式： ax2 bx c 0(a 0)難點：/何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2” ：該項系數(shù)不為“ 0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。 典型例題:例1、下列方程中是關(guān)于 x的一元二次方程的是()c / 2 一 11A 3x12 x 1B2 - 2 0x x_22_2.C ax bx c 0D x 2x x 1變式：當k時，關(guān)于x的方程kx22x x2

2、3是一元二次方程。例2、方程 m 2 x|m| 3mx 1 0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為針對練習： 1、方程8x2 7的一次項系數(shù)是 ,常數(shù)項是 。 2、若方程 m 2 xm 例1、已知2y2 y 3的值為2,則4y2 2y 1的值為。例2、關(guān)于x的一元二次方程 a 2x2 x a2 4 0的一個根為0,則a的值為0是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值；寫出關(guān)于 x的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x2 Vm ?x 1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=

3、n=1考點二、2程的露力概念：!使方程兩邊相等的未知數(shù)的值,就是方程的解。2)應(yīng)用：狗用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：b ,則此方程0的兩個根，例3、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 例2、若9 x 116 x 2 ，則x的值為。 針對練習：|下列方程無解的是() 2222_ A. x 3 2x 1 B. x 20 C. 2x 3 1 x D. x 9 bx c 0 a 0的系數(shù)滿足a c必有一根為 例4、已知a,b是方程x2 4x m 。的兩個根，b,c是方程y2 8y 5m則m的值為針對練習:2 1、已知萬程x kx 10 0的一根是2,則k為,另一根是 2、已知a是x2 3x 1 0的根

4、，則2a2 6a 3、若 2x 5y 3 0,則 4x?32y 0點三、步法方法：直接開方法;因式分解法；配方法；公式法2）關(guān)鍵點：|降次類型一、直接開方法:lx2m m 0 , x 而2.例 2、右 4x y 3 4x對于x2bx n 2等形式均適用直接開方法典型例題:例1、解方程：1 2x2 8 0; _22 25 16x =0;9 0;類型二、因式分解法:x x1 x x20x x1,或 x方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”,方程形式：如 ax m2 c2 cx 2ax a 0典型例題：例 1、2x x 35x3的根為（C x1一，x23 D x2y 4 0 ,則4x

5、+y的值為變式 1： a2C. y 2y 6 0D. y 2y 6 03、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1,且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1,且兩根互為相反數(shù)： b2 2 a2 b26 0,則a2b2 。變式2：若x y2 x y 3 0,則x+y的值為。變式 3：若 x2xyy14 , y2 xy x28 ,貝U x+y 的值為。例3、方程x2x60的解為()A. x13, x22B. x13, x22C. x13,x23D. x12,x22針對練習： 1、下列說法中：方程 x2 px q0的二根為 x1 , x2,則 x2px q (x x1)(x x

6、2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2y2 (x y)(. x . y)(. x , y)方程(3x 1)2 7 0 可變形為(3x 1 v,7)(3x 1 v7) 0正確的有()A.1個 B.2個 C.3個D.4個 2、以1 與1 為根的一元二次方程是()_2 一 一B. x2x 6 04、若實數(shù)x、y滿足x y 3 x y2 0 ,則x+y的值為（D、1 或 2A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2215、方程：x2 2的斛是。x,2. 2b b 4ac2a4a2類型三、配方法 ax2 bxe 0 a 0 x在解方程中，多不用

7、配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式 的值或極值之類的問題。典型例題:22例1、已知x、y為頭數(shù)，求代數(shù)式 x y 2x 4y 7的最小值。例2、已知x2 y24x 6y 13 0, x、y為實數(shù)，求xy的值。針對練習：1、試用配方法說明10x2 7x 4的值恒小于0。2、已知x211,c1x-40,則 xxxx 3、若t 2 3 3x2 12x 9 ,則t的最大值為 ,最小值為類型四、公式法條件：a 0,且b2 4ac 017777b Jb2 4ac 八 口/ /公式：x , a 0,且b 4ac2a典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程：(1)31 x 2 6. x 3 x 68.2 x 4

8、x 1 0 3x2 4x 1 0 3 x 1 3x 1x 1 2x 5例2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1) x2 2/x 3；(2)4x2 8x 1, 2x2 4xy 5y2說明：對于二次三項式 ax2 bx c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解,一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax2 bx c=0,求出兩根，再寫成2ax bx c = a( x x1)(x x2).分解結(jié)果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi),取決于能否把括號內(nèi)的分母化去.類型五、“降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值;解二元二次方程組。例1、已知X23x 2X 1 3 X2 1 砧/擊的值。例2、如果x2x 10,那么代數(shù)式x3 2x

9、2 7的值。例3、已知a是一元二次方程 x2 3x 1a3 2a2 5a 1 3/土0的一根，求2的值。a 1例4、用兩種不同的方法解方程組2x y 6,(1)22x2 5xy 6y2 0.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想一一化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已 知的問題.考點四、根的判別式 b2 4ac根的判別式的作用-定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于x的方程x2 2g 1 0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 例2、關(guān)于x的方程m 1 x2 2mx m 0有實數(shù)根，則 m的取值

10、范圍是()A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1D. m 1例3、已知關(guān)于x的方程x2k 2 x 2k 0(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰 ABC的一邊長為1,另兩邊長恰好是方程的兩個根，求 ABC的周長。例4、已知二次三項式9x2 (m 6)x m 2是一個完全平方式，試求m的值. x典型例題：|2例1、關(guān)于x的方程 m 1 x 2mx 3 0有兩個實數(shù)根，則 m為,只有一個根，則 m為。例2、 不解方程，判斷關(guān)于 x的方程x2 2 x k k23根的情況。 2一 一 .例3、如果關(guān)于x的萬程x kx 2 0及方程x x 2k 0均有實數(shù)根，問這兩方程是否有

11、相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由。考點六、應(yīng)用解答題 “碰面”問題；“復利率”問題；“幾何”問題;“最值”型問題；“圖表”類問題 典型例題:1、五羊足球隊的慶祝晚宴， 出席者兩兩碰杯一次， 共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席? 2V2 6例5、m為何值時，萬程組y,有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解?mx y 3.針對練習： 1、當k 時，關(guān)于x的二次三項式x2 kx 9是完全平方式。 2、當k取何值時，多項式 3x2 4x 2k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么? 3、已知方程mx2 mx 2 0有兩個不相等的實數(shù)根，則 m的值是.、 y kx 2, 4

12、、k為何值時，方程組 2y2 4x 2y 1 0.(1)有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；(2)有兩組不相等的實數(shù)解；(3)沒有實數(shù)解. S、當k取何值時，方程x2 4mx 4x3m2 2m 4k 0的根與m均為有理數(shù)?考點五、方程類問題中的“分類討論”2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人?3、北京申奧成功，促進了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放1市場，根據(jù)計劃，第一年投入資金 600萬兀，第二年比第一年減少 ,，第三年比第二年減少31- 一,、入-,該產(chǎn)品第一年收入資金約 400萬元，公司計劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回，21還要盈利

13、,要實現(xiàn)這一目標，該產(chǎn)品收入的年平均增長率約為多少？（結(jié)果精確到0.1,353 3,61 ）4、A、B兩地間的路程為36千米,甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲 再走2小時30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點七、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對于ax2 bx c 0而言，當滿足才能用韋達定理。、一, 、 b c2）王要內(nèi)谷：x1 X2-, X1X2 一a a3應(yīng)用:聿體代入求值。典型例題:0、0時,例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程角形的斜邊是（）A. .3B.3C.62x28x 7 0的兩根，則這個直角三例2、已知，是方程x2 x 10的兩個根，那么

14、針對練習:1、解方程組x y 3,(1)x2 y2 5 4 (a b),求 b- J-的值。；a b23、已知x1，x2是萬程x3x 9 0的兩實數(shù)根，求x1一 2 一 一7x2 3x2 66 的值。二次函數(shù)圖像與性質(zhì)1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如y aX2 bx c（a，b，c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，其中 X是自變量，y是X的函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù) a 0,而b，c可以 為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).22 .二次函數(shù)V ax bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量X的二次式，X的最高次數(shù)是2.b是一次項系數(shù)，ca，b，c是常數(shù)

15、，a是二次項系數(shù), 常數(shù)項.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、圖像 二次函數(shù)y = a X2的圖像是一條拋物線，拋物線的頂點再原點對稱軸是y軸。當a 0時，拋物線開口向上，頂點是拋物線的最低點；當a 0）【或向下（k0）【或下（k0）或下（k0）【或左（h0）【或左（h0）【或左（h0）】 平移|k|個單位y=a (x-h)2+k在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 h值正右移，負左移；k值正上移，負下移概括成八個字左加右減，上加下減1 .下列函數(shù)中，y隨x的增大而增大的是（）D. y=；x2(x0）的對稱軸為直線x=1,且經(jīng)過點（一1, y1）、（2, y2）,試比較y1和y2的大小：y1 y2 （填“啰K皂”）.13

16、 .若二次函數(shù)y= x2+2x+k的部分圖象如圖所示，且 關(guān)于x的一元二次方程一x2 + 2x+ k=0的一個解是x1=3,則另一個解是x2=14 .下列命題：若a+b+c=0,則b2 4acQ若ba+ c,則一元二次方程ax2 + bx+ c=0有兩個不相等的實數(shù)根；若b = 2a+3c,則一元二次方程ax2 + bx+ c=0有兩個不相等的實數(shù)根；若b2-4ac0, 則二次函數(shù)y=ax2+ bx+ c的圖象與坐標軸的公共點個數(shù)是 2或3,其中正確的是（填 序號）.三、解答題（共58分）15 . （8分）已知二次函數(shù)的關(guān)系式為 y = 4x2 + 8x.寫出這個函數(shù)圖象的對稱軸和 頂點坐標，

17、并求圖象與x軸的交點坐標.16 . （8分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx 3的圖象經(jīng)過點A（2 , 3）、B （1, 0）.（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，應(yīng)把圖象沿y軸向上平移個單位.17 . （10分）（1）請在如圖所示的平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)y=x22x的大致圖象；（2）根據(jù)方程的根與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，將方程x22x1 = 0的根在圖上近似地表示出來（描點）；（3）觀察圖象，直接寫出方程x22x1 = 0的根（結(jié)果精確到0.1）.18.(10分)已知二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交 點坐標為(一1, 0),

18、與y軸的交點坐標為(0, 3).(1)求出b、c的值，并寫出此二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)根據(jù)圖象，寫出當函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量19.(10分)已知反比例函數(shù)y=k的圖象與二次函數(shù)y=ax2 + x1的圖象相交 x于點(2, 2).求a和k的值;反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點，為什么?20.(12分)如圖，已知拋物線y= ax2-2ax- b(a0)與x軸的一個交點為B (1, 0),與y軸的負半軸交于點C,頂點為D.(1)直接寫出拋物線的對稱軸及拋物線與 x軸的另一個交點A的坐標；以AD為直徑的圓經(jīng)過點C.求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;點E在拋物線的對稱軸上，點 F在拋物線上，且以B、A、F、E四點 為頂點的四邊形為平行四邊形，求點 F的坐標.第兜題21、為迎接第四屆世界太陽城大會，德州市把主要路段的路燈更換為太陽能路燈.已知太陽能路燈的售價為5 000元/個，目前兩個商家有此產(chǎn)品.甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個，則按原價付款；若一次購買100個以上，且購買個數(shù)每增加一個，其價格減少 10元，但