初中圓復(fù)習(xí)-已經(jīng)整理

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔初中圓復(fù)習(xí)dd一、圓的概念集合形式的概念：1 、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4 、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5 、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩

2、條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn) C 在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn) B 在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn) A 在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離dr無交點(diǎn)；2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；rdd=rRrRr圖 1圖 2dR r圖 3ddrRrR圖4圖5五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（ 2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（ 3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共 4 個(gè)定

3、理，簡稱 2 推 3 定理：此定理中共 5 個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2 個(gè)即可推出其它 3 個(gè)結(jié)論，即： AB 是直徑 ABCD CE DE 弧BC弧BD 弧 AC弧 AD 中任意 2 個(gè)條件推出其他 3 個(gè)結(jié)論。Ard四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無交點(diǎn)外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)內(nèi)含（圖5）無交點(diǎn)CDOOEABCDB推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。dRr ；即：在 O 中， AB CD 弧 AC弧 BDdRr ；六、圓心角定理Rrd R r ；圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，dRr ；所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱 1

4、 推 3 定理，即上述dRr ；四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1 個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：AOBDOE ； ABDE ； OCOF； 弧BA 弧BD精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔四邊ABCD 是內(nèi)接四邊形CBAD180BD180EAdFrOODAEC九、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；BdD兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可CAC即： MNOA 且 MN 過半徑 OA 外端B MN 是 O的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）七、圓周角定理推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓

5、心的角推論 2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。的一半。以上三個(gè)定理及推論也即：AOB 和ACB 是弧 AB 所對的圓心角和圓周角稱二B推一定理：AOB2 ACB即：過圓心；過切點(diǎn)；POCDCCABOBOBOAAA2、圓周角定理的推論：垂直切線， 三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，十、切線長定理相等的圓周角所對的弧是等??；切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長即：在 O 中，C 、D 都是所對的圓周角相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。CD即： PA 、 PB 是的兩條切線推論 2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓

6、周角是直角所 PAPB ； PO 平分 BPA對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在 O 中， AB 是直徑或C90十一、圓冪定理 C90 AB 是直徑1、相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘推論 3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)積相等。即：三角形是直角三角形。在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于點(diǎn) P ，即：在 ABC 中， OCOAOBPA PB PC PD ABC 是直角三角形或C90推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：C在 O 中，直徑 ABCD ，BACE2AE BEO注意：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：

7、在直角三角形DC中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。BOB八、圓內(nèi)接四邊形PA圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角AO ECO 中，等于它的內(nèi)對角。即：在DD2、切割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)C到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。O即：在 O 中， PA 是切線， PB 是割線精彩文案BMANAE實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 PA2PC PB（ 2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在3、割線定理 ：從AOE : AE:OA 1:1: 2 ：圓外一點(diǎn)引圓的兩條（ 3）正六邊形割線，這一點(diǎn)到每條DE同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在割線與圓的交點(diǎn)的兩PO.條線段長的積相等CBAB:

8、OB: OA 1: 3:2（如右圖）。Rt OAE 中 進(jìn) 行 ，RtOAB中 進(jìn) 行 ，即：在 O 中， PB 、 PE 是割線PC PBPD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理： 兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：O1O2 垂直平分 AB 。即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 兩點(diǎn) O1O2 垂直平分 ABAABO1O2CO1O2B十三、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：（ 1）公切線長：Rt O1O2 C 中，AB2 CO12OO122 CO22 ；（ 2）外公切線長： CO2 是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2 是半徑之和十四、 圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（ 1）正三角形

9、在 O 中 ABC 是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt BOD 中進(jìn)行： OD :BD :OB1: 3:2；CBCOOOBDA AEDBA十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式nR1、扇形：（1）弧長公式： l；180（ 2）扇形面積公式：Sn R21 lR3602n ：圓心角R ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑l ：扇形弧長S ：扇形面積AOSlB2、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖S表S側(cè)2S底 = 2 rh2r 2（2）圓柱的體積：Vr 2hADD1母線長底面圓周長BC1C3、圓錐側(cè)面展開圖（1） S表S側(cè)S底 = Rrr 2（2）圓錐的體積： V1r 2h3精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔AOD=60°，則 DB

10、C的度數(shù)為B15與直線 L 相切于已知點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是 _6已知直角三角形的兩直角邊長分別為5 和 12 ，則它的外接圓O=_，內(nèi)切圓半徑r=_半徑RRCArB十六、內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（ 1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（ 2） ABC中， C=90°， AC=b， BC=a， AB=c，則內(nèi)切圓的abc半徑 r=。2（ 3） S ABC= 1 r (ab c) ，其中 a，b， c 是邊長， r 是內(nèi)2切圓的半徑。（ 4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖， BC切 O于點(diǎn) B，AB為弦， ABC叫弦切角， DB

11、E= A。ADOBE練習(xí)題1若 的半徑為 4cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為 3cm，那么點(diǎn)AO與 O的位置關(guān)系是 ( ) A點(diǎn) A在圓內(nèi) B 點(diǎn) A在圓上c 點(diǎn) A 在圓外 D 不能確定2 已知O的半徑為 5, 弦的弦心距為 3, 則的長是ABAB3如圖，MN是半徑為 1 的 O的直徑，點(diǎn) A在 O上， AMN=30°， B 為 AN弧的中點(diǎn)， 點(diǎn) P 是直徑 MN上一個(gè)動點(diǎn)， 則求 PA+PB的最小值4 如圖 2，已知 BD是 O的直徑， O的弦 AC BD于點(diǎn) E，若7 O 的半徑為6， O 的一條弦AB為 63 ，以 3 為半徑的同心圓與直線AB 的位置關(guān)系是8、PB是O的切線，切

12、點(diǎn)是A、 ，=50°，過APABAPB作O直徑，連接，則=_ACCBPBC9如圖 4，AB是 O的直徑，弦AC、BD相交于 P，則 CD AB等于A sinBPCBCosCTanDcotBPCBPCBPC10如圖 5，點(diǎn) P 為弦 AB上一點(diǎn)，連結(jié)OP，過 PC作 PCOP，交于，若=4，=2，則的長是PCOCAPPBPCA2B2C22D 311圓的最大的弦長為12 cm，如果直線與圓相交，且直線與圓心的距離為d，那么A、d<6 cm B 、6 cm<d<12 cm C d6 cm D d>12 cm12如圖 6，在以 O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小

13、圓的切線，P 為切點(diǎn)，設(shè)AB=12，則兩圓構(gòu)成圓環(huán)面積為_13如圖7， PE是 O 的切線， E 為切點(diǎn)， PAB、 PCD是割線， AB=35， CD=50， AC DB=12，則 PA=_14如圖 8，AB是 O的直徑，點(diǎn) D在 AB的延長線上， 且 BD=OB，點(diǎn) C在 O上， CAB=30°，求證： DC是 O的切線ABBMPONoAEC精彩文案_D圖2DCBA15如圖， AB既是 C的切線也是 D 的切線， C與 D 相外實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔切， C 的半徑 r=2 ， D 的半徑 R=6，求四邊形 ABCD的面積。6： 5，： 2：3，EDAE EB16 如圖 10，BC是O的直

14、徑，A是弦延長線上一點(diǎn)，求的長和的正切值BDABECB切線DE平分于，求證：ACEPCA(1)是O的切線 (2) 若 =32，=15，求OEACAD DBAC的直徑 (12分 )AEBO17 如圖 11， AB是 O的直徑，點(diǎn) P 在 BA的延長線上，BDCFD弦 ，垂足為，且2= ·(1)求證：是O的切CD ABEPC PE POPC線； (2) =1 2，=6，求O的半徑； (3) 求 sinPCA21如圖，在 Rt ABC中， B 90°， A 的平分線交 BC于點(diǎn)若OE EAPA， 為上的一點(diǎn)， ，以為圓心，長為半徑作，的值 (12 分)D EABDE DCDDBD

15、求證：（ l ）是D的切線；AC圖10圖1118 如圖， O的兩條割線AB、AC分別交圓 O于 D、B、E、C，弦 DF/AC交 BC 于 C（ 1）求證：AC FGBC CG ；（ 2）若 CFAE求證： ABC為等腰三角形BDGF·OAEC圖 1219. 如圖 12，AB 是 O 的直徑，弦 CD AB 與點(diǎn) E，點(diǎn) P 在 O上， 1= C，（ 1）求證： CB PD；（ 2）若 BC=3，sinP= 3 ，求 O的直徑。520如圖 13， ABC內(nèi)接于 O，AB是 O 的直徑， PA是過 A 點(diǎn)的直線， PAC B（ l ）求證： PA是 O的切線；（ 2）如果弦 CD交 A

16、B于 E，CD的延長線交 PA于 F，AC8，CE：（ 2）ABEBAC22如圖， AB是 O的直徑，以O(shè)A為直徑的 O1 ；與 O 的弦 AC相交于 D， DE OC，垂足為 E（ l ）求證： ADDC；（ 2）求證： DE是 O1 的切線；（3）如果 OE EC，請判斷四邊形O1 OED是什么四邊形，并證明你的結(jié)論CDAEBOO1考點(diǎn)一：與圓相關(guān)概念的應(yīng)用利用與圓相關(guān)的概念來解決一些問題是必考的內(nèi)容，在復(fù)習(xí)中準(zhǔn)確理解與圓有關(guān)的概念，注意分清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.1. 運(yùn)用圓與角（圓心角，圓周角），弦，弦心距，弧之間的關(guān)系進(jìn)行解題【例 1】 已知：如圖所示， 在 ABO 中， AOB=90

17、°，B=25°，以 O為圓心， OA長為半徑的圓交AB 于 D，求弧 AD的度數(shù) .【例 2】 如圖， A、 B、 C 是 O 上的三點(diǎn)， AOC=100°，則ABC的度數(shù)為（） .30°.45°.50°. 60 °2. 利用圓的定義判斷點(diǎn)與圓，直線與圓、 圓與圓的位置關(guān)精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔系離為 _.【例 3】 已知 O的半徑為 3cm，A 為線段 OM的中點(diǎn)，當(dāng) OA滿4. 判斷圓的切線的方法及應(yīng)用足：判斷圓的切線的方法有三種：（ 1） 當(dāng)OA=1cm 時(shí) ， 點(diǎn)M與O的位置關(guān)系（1）與圓有惟一公共點(diǎn)的直線是圓的切線；是

18、.（ 2）若圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，則該直線是（ 2 ） 當(dāng) OA=1.5cm 時(shí) ， 點(diǎn) M 與 O 的 位 置 關(guān) 系圓的切線；是.（ 3）經(jīng)過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切（ 3 ） 當(dāng) OA=3cm 時(shí) ， 點(diǎn) M 與 O 的 位 置 關(guān) 系線 .是.【例 4】 如圖， O 的直徑 AB=4， ABC=30°， BC=3， D4【例 4】 O的半徑為 4，圓心 O到直線 l 的距離為 3，則直線是線段 BC的中點(diǎn) .l 與 O的位置關(guān)系是（） .（ 1）試判斷點(diǎn) D 與 O的位置關(guān)系，并說明理由 . .相 交. 相切 . 相（2）過點(diǎn) D 作 DE AC

19、，垂足為點(diǎn) E，求證：直線 DE是離 .無法確定 O的切線 .【例 5】 兩圓的半徑分別為 3cm 和 4cm，圓心距為 2cm，那么兩圓的位置關(guān)系是 _.3. 正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算【例 6】 已知正六邊形的周長為72cm，求正六邊形的半徑，邊心距和面積 .4. 運(yùn)用弧長及扇形面積公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算【例 5】 如圖，已知 O為正方形 ABCD對角線上一點(diǎn)， 以 O為圓【例 7】 如圖，矩形 ABCD中，BC=2，DC=4，心，OA的長為半徑的 O與 BC相切于 M，與 AB、AD分別相交于以 AB 為直徑的半圓O與 DC相切于點(diǎn) E，E、 F，求證 CD與 O相切 .則陰影部分的面積為5. 運(yùn)

20、用圓錐的側(cè)面弧長和底面圓周長關(guān)系進(jìn)行計(jì)算【例 8】 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的母線長與底面半徑長的比是.考點(diǎn)二：圓中計(jì)算與證明的常見類型1. 利用垂徑定理解題垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過圓心，它們在圓內(nèi)常常構(gòu)成圓周角、等分線段、直角三角形等，從而可以應(yīng)用相關(guān)定理完成其論證或計(jì)算 .【例 1】 在 O中，弦 CD與直徑 AB相交于點(diǎn) P，夾角為30°，且分直徑為1 5兩部分，AB=6，則弦CD的長為. . 2 . 4 .4. 22. 利用“直徑所對的圓周角是直角”解題“直徑所對的圓周角是直角”是非常重要的定理，在解與圓有關(guān)的問題時(shí)，常常添加輔助線構(gòu)成直

21、徑所對的圓周角，以便利用上面的定理.【例2】 如圖，在 O 的內(nèi)接 ABC 中， CD是 AB 邊上的高，求證： ACD=OCB.3. 利用圓內(nèi)接四邊形的對角關(guān)系解題圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，這是圓內(nèi)接四邊形的重要性質(zhì)，也揭示了確定四點(diǎn)共圓的方法.【例 3】 如圖，四邊形 ABCD為圓內(nèi)接四邊形， E 為 DA延長線上一點(diǎn)， 若 C 45°， AB 2 ，則點(diǎn) B 到 AE 的距【例 6】如圖，半圓O 為 ABC的外接半圓， AC 為直徑， D為劣弧上一動點(diǎn)， P 在 CB 的延長線上，且有BAP=BDA.求證： AP 是半圓 O的切線 .【鞏固練習(xí)】一 . 選擇題：1. O的半徑為

22、R，點(diǎn) P 到圓心 O的距離為 d，并且 dR，則 P 點(diǎn)A.在 O內(nèi)或圓周上B.在 O外C.在圓周上D.在 O外或圓周上2. 由一已知點(diǎn) P 到圓上各點(diǎn)的最大距離為5，最小距離為1，則圓的半徑為A 、2或3B、 3C、4D、2或43. 如圖， O中，ABDC是圓內(nèi)接四邊形， BOC=110°，則 BDC的度數(shù)是A.110 °B.70 °C.55 °D.125 °AOPBC精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔4. 在 O中，弦 AB垂直并且平分一條半徑，則劣弧 AB的度數(shù)等14.在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， A B C=5 2 1，于則 D=。A.30

23、6; B.120 °C.150 ° D.60 °15.若三角形的外心在它的一條邊上，那么這個(gè)三角形5. 直線上有一點(diǎn)到圓心O的距離等于 O 的半徑，則直線與是。 O的位置關(guān)系是、相離、相切、16.如圖，圓內(nèi)接四邊形 ABCD相切或相交、相交的對角線AC， BD 交于 E 點(diǎn)，6、如圖，切 O于，交 O于點(diǎn)、，若PA 5，AB=120 ° ， CD=70° 則 PB B，則的長是AEB=。、10、5、52、537 如圖，某城市公園的雕塑是由 3 個(gè)直徑為 1m的圓兩兩相壘立在水平的地面上， 則雕塑的最高點(diǎn)到地面的距離為A 23B.33C.22D. 3222228、已知兩圓的圓心距是9，兩圓的半徑是方程2x217x+35=0的兩根，則兩圓有條切線。A、1條B、2條 C 、3條 D、4條9、如果等腰梯形有一個(gè)內(nèi)切圓并且它的中位線等于