互成角度的兩個平面鏡成像

1、頁眉內(nèi)容兩個互成角度的平面鏡成像規(guī)律的研究“、從教學中引出的問題及思考MiM 2題1:如圖1 ,兩平面鏡 M 1 M 2平行且兩鏡 面相對，兩鏡間一物點S到M 1距離3cm ,到M 2距離7cm ,求離S點最近的5個像的位置。題2:如圖2,兩平面鏡鏡面的夾角為此60兩鏡面間有一物點 S, S一共可成幾個像？上述兩題，均可以通過作圖法分析得出答案。 但是，作圖難免有誤差，因此，作出像點的位置 就不很準確，甚至會使作圖得到的成像個數(shù)與實 際不符，其次，兩鏡面所成夾角的大小有無數(shù)種 情況，不可能對每一角度都作圖分析，特別是當 兩鏡面夾角很小時，所成像的個數(shù)很多，若采用 作圖法更加困難，且不準確。如何

2、通過計算式確定每一像點的位置，每一像點的位置及成像的個 數(shù)與鏡面夾角有何關系呢？對此問題，我查閱課本、教參書及其他有關，國門巾-口) S (K, 2 e + a )5鞏小口） §國飛皆十口）資料，都找不到有關這一問題的論述。因此，我反復對這一問題進行實驗和研究。二、對兩平面鏡組合成像規(guī)律的研究通過實驗發(fā)現(xiàn)，當兩 鏡面夾角8在 0°到180°間變化時，8越大, 像的個數(shù)越少。對此，我曾試圖應用平面幾何有關邊角關系、利用平面解析幾何知識，建立平面直角坐標系及兩點間的距離公式、點 到直線距離公式、兩直線垂直關系求垂足坐標等方法來研究本問題，結(jié)5 鳳一國口 U §

3、; -（2）果都因為計算太繁雜，無法找出其規(guī)律，于是我改用平面解析幾何中的極坐標知識來討論，比較簡便地得出其規(guī)律，下面介紹其推導過程設兩平面鏡 Mi、M 2鏡面夾角為9 （單位為度，本文所述角度均以度為單位，00 < 9 < 180° ）,兩鏡面間有一物點S,分別通過兩鏡面的直線相交于 0點，且使這兩直線及物點S也處于同一平面上，令OS=R, OS與M 1的鏡面夾角為a ,建立如下極坐標系：以 O點為極點, 以通過M 1的射線OM 1為極軸（如圖 3）,根據(jù)平面鏡成像的特點，則物 點S及各像點 Si、S2、S3、S4、.的極坐標標示如圖（圖中用奇數(shù)下 標表小的像點 Si、

4、S3、S5、S7、 為通過平面鏡 M 1所成的像點，用偶數(shù)下標表示的像點S2、s 4、s 6、S8、為通過平面鏡M2所成的像點）。1、各像點的位置由圖可以看到，物點S和各像點S1、S 2、S3、S 4、都在以O為圓心，半徑為R的圓 周上，各像點的位置可以用極坐標的極徑和極角確定，各像點的極角如下表（表中n =3, 7, 11 , 15,等奇數(shù)）。且像點S n與S n-1的極角互為相反數(shù)。像點極角像點極角S 1一 aS 22 8 aS 3一（2 0 一 a）S 42 8 + aS 5(2 8 + a)S 64 0 一 aS 7一 (40 一 a)S 84 0 + aS 9(4 8 + a )S

5、106 8 aS n-1S nS n+1S n+22、成像的個數(shù)由圖 3 可以看到，/ S 10s 2= 28, /S 3OS4= 4 8 , / S 50 s 6 =6 8, /S 70s8=8 8, /S 90s 10=108,，其余類推。因 此可以得出：當兩平 面鏡鏡面夾角 為8 ° （ 0°1800 ）時，物點S經(jīng)兩平面鏡所成的像的個數(shù)為m = 2 X 360 20即 m = 360 + 0對上式，有幾點必須說明：（1） .當m為偶數(shù)時，成像個數(shù)為m,但最后兩個像重合于同一點，且在SO直線上，該點與 。點距離等于 OS,所以實際看到的像是（ m 1 ） 個。例如，當

6、8= 60°時，成6個像，而實際看到的像是5個（如圖4）。圖4圖5（2） .當m為奇數(shù)時，成像個數(shù)與實際看到的像的個數(shù)都為m。例如當8 = 7 2 °時，m = 5 ,所成的像和實際看到的像都是5個（如圖5 ）。（3） .當m為非整數(shù)時，成像個數(shù)與看到的像的個數(shù)一致，但可能是小于m的最大整數(shù)，也可能是大于m的最小整數(shù)（不能采用四舍五入的規(guī)則），這要根 據(jù)物點的位 置而定。例如，當8 =50°時，m= 7.2,即成 像可能是7個也可能是8個，當口= 25°時，成8個像（如圖6）,當a=10°時，成7個像（如圖7）。（4） .當8 = 0°

7、;時，R-oo,成像為無限多個。（5） .當8= 180°時，m=2,即成像為2個，實際看到的像是1個， 相當于單塊平面鏡成像的情況。（6）當兩鏡面的夾角大于1800時，當物點在兩鏡背面的夾角的對角范圍內(nèi)時則成兩個像（否則只是單個平面鏡成像），因為此時從物點發(fā)出的光線經(jīng)其中一平面鏡反射后不能再射到另一平面鏡上（如圖8）。圖8三、兩平面鏡組合成像規(guī)律在教學中的應用得出上述規(guī)律之后，我為培優(yōu)小組的學生講解這個規(guī)律及推導過程，他們對這個規(guī)律表現(xiàn)出濃厚的興趣，并應用這個規(guī)律來解決課外練習上 的同類問題。例如，學生在末掌握兩平面鏡組合成像的規(guī)律之前采用作 圖法討論兩鏡面成30°角時的成像個數(shù)，有的成 10個像，有的成 11個像，有的成12個像（最后兩個像不重合），到底應成多少個像呢？學生覺得不可思議， 當學生掌握這一成像規(guī)律后，就輕易地解決了這一問題。對此，學生的體會是：把作圖法和計算法結(jié)合起來，解答這類問題便更 加簡單、準確。由此，我深深體會到，教師在教學中不但要幫助學生理解和掌握教 材中已經(jīng)得出的規(guī)律，而且要善于歸納和推導教材中沒有給出的規(guī)律，以指導和幫助學生解決有關的問題，這對培養(yǎng)學生