37.分式全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

1、分式全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】0的條件.1. 理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無(wú)意義、分式值為2. 了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分和通分法則.3掌握分式的四則運(yùn)算.4結(jié)合分式的運(yùn)算，將指數(shù)的討論范圍從正整數(shù)擴(kuò)大到全體整數(shù)，構(gòu)建和發(fā)展相互聯(lián)系的 知識(shí)體系.5. 結(jié)合分析和解決實(shí)際問(wèn)題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解 法，體會(huì)解方程中的化歸思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1分式A叫做分式.其中AB般地，如果 A、B表示兩個(gè)整式，并且 B中含有字母，那么式子 叫做分子，B叫做分母.要點(diǎn)詮釋?zhuān)悍质街械姆帜副硎境龜?shù)，由于除數(shù)不能為0，所

2、以分式的分母不能為 0,即A當(dāng)BM 0時(shí)，分式A才有意義.B2. 分式的基本性質(zhì)A_AxM A_AMB BxM B 5-M （M為不等于0的整式）.3. 最簡(jiǎn)分式分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.如果分子分母有公因式， 要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).要點(diǎn)二、分式的運(yùn)算1. 約分利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分 .2通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的?式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.3 .基本運(yùn)算法則 分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類(lèi)似，具體運(yùn)算法則如下：(1)加減運(yùn)算a

3、b a +b錯(cuò)誤！未找到引用源。；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相c c c加減.b d bd(2 )乘法運(yùn)算-b兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，(3)除法運(yùn)算？斗2 = ? 2 =巴，其中ab d b c bc;異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減ac二麗，其中a、b、ed是整式，bdHO.把分母相乘的積作為積的分母b、c、d 是整式，bed H 0.兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘(4 )乘方運(yùn)算分式的乘方，把分子、分母分別乘方。4. 零指數(shù)J =1(x0).5.負(fù)整數(shù)指數(shù)盯戸二ShO/為止整數(shù))，6. 分式的混合運(yùn)算順序先算乘方，再

4、算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的.要點(diǎn)三、分式方程1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2. 分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母，即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方 程.3. 分式方程的增根問(wèn)題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0,那么就會(huì)出現(xiàn)不適合原方程的根-增根.要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂驗(yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根.驗(yàn)根的方法是將 所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0,如果為0，即為增根，不為 0，就是原方程的解.要

5、點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類(lèi)似，但要稍復(fù)雜一些.解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量” 等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.【典型例題】類(lèi)型一、分式及其基本性質(zhì)血1、當(dāng)X為任意實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式一定有意義的是（A.x+1孟+1D.ki-1【答案】C；【解析】一個(gè)分式有無(wú)意義， 取決于它的分母是否等于UBM 0.當(dāng)x = 0時(shí)，X2 =0，所以選項(xiàng) A不是；當(dāng)0.即若一是一個(gè)分式，則一有意義BB1x = 2時(shí)，2x +1 = 0，所以選項(xiàng)B不是；因?yàn)閄2 0，所以X2 aO，即不論x為何實(shí)數(shù)，都有X2

6、+ 20，所以選項(xiàng)C是;當(dāng)x = 1時(shí)，1 x I - 1 = 0，所以選項(xiàng)D不是.【總結(jié)升華】分式有意義的條件是分母不為零，無(wú)意義的條件是分母為零把下列各式分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為最簡(jiǎn)整數(shù).0.4x2 + y2 10 .-0.6y21x21 -a +-b 解：(1) 231 r-a -b344 ) + -b X123丿11 -a b 咒124丿6a+16b4a -3b0.3x +0.2y _(0.3x +0.2y)x100 _ 30x +20y(2)0.05X - y (0.05X -y) X1005x-100y5(6x + 4y)5(x-20y)_ 6x + 4y ；x-20y (0.

7、4x2+0.3y2 )10040x2 +30y2(3)原式=2 2 2 2(0.25x -0.6y )咒10025x -60y5(8x2+6y2) 225(5x -12y )8x2+6y2 ； -5x2 -12y2 要把小數(shù)先化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)；相【總結(jié)升華】在確定分子和分母中所有分母的最小公倍數(shù)時(shí), 乘時(shí)分子、分母要加括號(hào)，注意不要漏乘.類(lèi)型二、分式運(yùn)算11243、計(jì)算：1-x +1+X +1 + X2 +1 + X4【思路點(diǎn)撥】 本題如果直接通分計(jì)算太繁瑣，觀察比較發(fā)現(xiàn)，前兩個(gè)分式分母之積為平方差公式，通分后與第三個(gè)分式的分母又符合平方差公式，以此類(lèi)推可解此題.【答案與解析】22444解：原式=

8、+ + = + =8 .1-X21+X21+X41-X41+X41-X8【總結(jié)升華】 此類(lèi)題在進(jìn)行計(jì)算時(shí)采用“分步通分”的方法，逐步進(jìn)行計(jì)算，達(dá)到化繁為簡(jiǎn) 的目的在解題時(shí)既要看到局部特征，又要全局考慮.舉一反三：1【變式】計(jì)算+(a + 2005)(a + 2006)a(a +1) (a+ 1)(a +2) (a+2)(a +3)【答案】1a +1丿、a +1 a +2 丿la+2005 a+2006 丿1111+a+1 a+1 a + 2 a+2 a+3a+2005 a+ 2006a + 20062006a+2006 a(a+2006) a(a+2006)a2 + 2006a類(lèi)型三、分式條件

9、求值的常用技巧4、已知X2X+l=4，求 42Xx4 +x2 +1的值.【思路點(diǎn)撥】直接求值很困難，根據(jù)其特點(diǎn)和已知條件，能夠求出其倒數(shù)的值,這樣便可求X4 + X2 +1的值.【答案與解析】解：方法一：X4 +x2 +1/4 ,2 , . .2 (X +x +1)hX1十-X/2Xk X-1,x + 丄=4XX4 +x2 +1=15 , /42X +x +115方法二:原式(x4 +x2 +1) + X2、+1A】2J1X丿1x2+1+4 fx2+4rX I X-1115【總結(jié)升華】(1 )本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將所求分式通過(guò)分式的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知分式的代數(shù)式來(lái)求值.11X4 + X2 +1(2

10、)根據(jù)完全平方公式，熟練掌握x+丄、X2+4 X X XXX2之間的關(guān)系,利用它們之間的關(guān)系進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化. 舉一反三：【變式】已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且aba +bbc1 ac1 ? ?b+c 4c+a 5求abc_的值.ab +bc+ca【答案】解：aba +ba +b13bc14ca=3,b + cb +c , L，J,_ 15ab1 11則丄+丄=3 ,丄+_ b ac b將這三個(gè)等式兩邊分別相加,c + a c + a=5,caa c得2 S1+ -12 , la b c 丿1 1 1=6. abcabcab+bc+ac _ab +bc + acabc2 2 27a + 4b-仮=0,求

11、:a2黑薫的值.【答案與解析】解：解關(guān)于a、b的方程組產(chǎn)+2b7c = 07a +4b -15c = 0得 J a = cb =2ca =c代入原式中,b =2c2 2 2 原式=4c 5(2c)2 -6 c2 + 2(2 c)2 +3c2_ -22c2-12c211【總結(jié)升華】當(dāng)所求分式的分子、公母無(wú)法約分，也無(wú)法通過(guò)解方程組后代入求值時(shí)，若將 兩個(gè)三元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)當(dāng)作已知數(shù)時(shí)，即可通過(guò)解方程組代入求值.舉一反三：【變式】已知2 22x -xy -3y =0，且 x 工y，求一的值.xy -X - y【答案】2解：因?yàn)?x2-xy -3y =0 ,所以(X +y)(2x -3y)

12、=0 ,所以 X + y =0或 2x -3y = 0 ,又因?yàn)閄 H y，所以X + y工0,2所以 2x -3y =0，所以 y ,3X2XXX3所以一芻-Xy -x-y2 -X32x 3x3X3=77一一 X3類(lèi)型四、分式方程的解法申尸6、解方程一6X-25-(x+3)(x+5)+ (x+3)(x5)【答案與解析】 解：原方程整理得:+(x+ 5)(x-5) (x+ 3)(x +5) (x + 3)(x-5)方程兩邊同乘以(x+3)(x+5)(x-5)得:6(x+3) =3(x -5) +5(x+5)去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得：2x=8 , x=4 .檢驗(yàn)：把 x=4代入(X+3)(x+5

13、)(x-5) h0 x=4是原方程的根.【總結(jié)升華】 解分式方程的基本思想是：設(shè)法將分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程，去分母是解 分式方程的一般方法，在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母，使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方 程但要注意可能會(huì)產(chǎn)生增根，所以必須驗(yàn)根.舉一反三：【變式】學(xué)完分式方程后，張老師出了這樣一道題：已知方程3的根為正數(shù),x+4 x+k試探索k的取值范圍，并請(qǐng)大家討論，下面是甲、乙兩學(xué)生的對(duì)話.甲：乙：4x+4x + k，故 k 4根為正數(shù)，3(x +4) =4(x +k).請(qǐng)問(wèn):x=12-4k aO .k 3.(1)甲的說(shuō)法正確嗎？若正確，請(qǐng)?jiān)趉的范圍內(nèi)選取一個(gè)你喜歡的數(shù)值代入，求x的值；若不

14、正確，試舉一反例說(shuō)明.（2）乙的說(shuō)法正確嗎?【答案】解：（1 ）甲的說(shuō)法不正確，舉一反例說(shuō)明：若k =3時(shí)，原方程轉(zhuǎn)化為43X+4 X+33(x +4) =4(x +3).解得：x=0，不符合題意.（2）乙的說(shuō)法是正確的.類(lèi)型五、分式方程的應(yīng)用V尸7、某公司投資某個(gè)項(xiàng)目， 現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有能力承包這個(gè)項(xiàng)目，公司調(diào)查發(fā)現(xiàn)：乙隊(duì)單獨(dú)完成工程的時(shí)間是甲隊(duì)的2倍；甲乙兩隊(duì)合作完成工程需要20天；甲隊(duì)每天的工作費(fèi)用為1000元，乙隊(duì)每天工作費(fèi)用為550元，根據(jù)以上信息，從節(jié)約資金的角度考慮，公司應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)，應(yīng)付工程隊(duì)費(fèi)用多少元再求出他們各自所需的費(fèi)用，進(jìn)行比較【思路點(diǎn)撥】 本題應(yīng)先求他們完成工程所用的天數(shù)，選擇.2x天,【答案與解析】解：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需 x天，則乙隊(duì)單獨(dú)完成需要1 1 1根據(jù)題意得： 一 + =x 2x 20解得：x = 30.經(jīng)檢驗(yàn)x = 30是原方程的解.當(dāng)x = 30時(shí)，2x = 60,都符合題意，應(yīng)付甲隊(duì) 30X 1000 = 30000（元）；應(yīng)付乙隊(duì) 30X 2 X 550= 33000（元）.公司應(yīng)選擇甲工程隊(duì)，應(yīng)付工程隊(duì)總費(fèi)用為30000元.【總結(jié)升華】（1）工程問(wèn)題類(lèi)的應(yīng)用題，常常選用工作效率或工作時(shí)間或工作量作相等關(guān)系來(lái)列方程.（2）在工程問(wèn)題中，常用1表示工作總量，且工作總量=工作效率X工作天數(shù).依據(jù)這一基本關(guān)系式找相等關(guān)