42用二分法求方程的近似解

1、3.1.2用二分法求方程的近似解 整體設計教學分析求方程的解是常見的數(shù)學問題，這之前我們學過解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精確解較難.本節(jié)從另一個角度來求方程的近似解，這是一種嶄新的思維方式，在現(xiàn)實生活 中也有著廣泛的應用.用二分法求方程近似解的特點是：運算量大，且重復相同的步驟，因 此適合用計算器或計算機進行運算 .在教學過程中要讓學生體會到人類在方程求解中的不斷 進步.三維目標1. 讓學生學會用二分法求方程的近似解，知道二分法是科學的數(shù)學方法.2. 了解用二分法求方程的近似解特點，學會用計算器或計算機求方程的近似解，初步了解算 法思想.3. 回憶解方程的歷史，了解人類解方程的進步歷

2、程，激發(fā)學習的熱情和學習的興趣 重點難點用二分法求方程的近似解.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.（情景導入）師：（手拿一款手機）如果讓你來猜這件商品的價格，你如何猜？生1:先初步估算一個價格，如果高了再每隔10元降低報價.生2:這樣太慢了，先初步估算一個價格，如果高了每隔 100元降低報價.如果低了，每50 元上升；如果再高了，每隔20元降低報價；如果低了，每隔10元上升報價生3:先初步估算一個價格， 如果高了，再報一個價格；如果低了，就報兩個價格和的一半； 如果高了，再把報的低價與一半價相加再求其半， 報出價格；如果低了，就把剛剛報出的價 格與前面的價格結合起來取其和的半價 師：在現(xiàn)實

3、生活中我們也常常利用這種方法.譬如，一天，我們華莊校區(qū)與錫南校區(qū)的線路出了故障，（相距大約3 500米）電工是怎樣檢測的呢？是按照生1那樣每隔10米或者按照生2那樣每隔100米來檢測，還是按照生3那樣來檢測呢？生：（齊答）按照生3那樣來檢測.師：生3的回答，我們可以用一個動態(tài)過程來展示一下（展示多媒體課件，區(qū)間逼近法 ）.思路2.（事例導入）有12個小球，質量均勻，只有一個球是比別的球重，你用天平稱幾次可以找出這個球，要 求次數(shù)越少越好.（讓同學們自由發(fā)言，找出最好的辦法）解：第一次，兩端各放六個球，低的那一端一定有重球.第二次，兩端各放三個球，低的那一端一定有重球.第三次，兩端各放一個球，如

4、果平衡，剩下的就是重球，否則，低的就是重球.其實這就是一種二分法的思想，那什么叫二分法呢？推進新課新知探究提出問題 解方程2x-16=0. 解方程x2-x-2=0. 解方程 x3-2x2-x+2=0. 解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0. 我們知道，函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2 , 3)內有零點.進一步的問題是，如何找出這個零點的近似值？ 取中點”后，怎樣判斷所在零點的區(qū)間？ 什么叫二分法？ 試求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2，3)內零點的近似值. 總結用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟. 思考用二分法求函數(shù)零點近似值的特點.討論結果： x=8. x=-1,x=2. x

5、=-1,x=1,x=2. x=-邁,x= J2 ,x=1,x=2. 如果能夠將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值.為了方便，我們通過取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍.取中點” 一般地，我們把x= -_b稱為區(qū)間(a,b)的中點2 比如取區(qū)間(2,3)的中點2.5,用計算器算得f(2.5)0,因為f(2.5) f(3)0,所以零點在區(qū)間(2.5,3) 內. 對于在區(qū)間a,b：上連續(xù)不斷且f(a) f(b)0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在 的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法(bisecti on

6、). 因為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6，用計算器或計算機作出函數(shù) f(x)=lnx+2x-6的對應值表.X123456789f(x)-4-1.3O61.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知，f(2)0,則f(2) 3)O，這說明f(x)在區(qū)間內有零點xo,取區(qū)間(2, 3)的中點 xi=2.5,用計算器算得 f(2.5) -0.084,因為 f(2.5) f(3)0，所以 xo (2.5,3).同理,可得表(下表)與圖象(如圖3-1-2-1).區(qū)間中點的值中點函數(shù)的近似值(2, 3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2

7、.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53-1-2-5-0.009(2.53-1-2-5,2.5625)2.5468750.029(2.53-1-2-5,2.546875)2.53906250.010(2.53-1-2-5,2.5390625)2.535156250.001.如果重復上述步驟，那么 我們可以在有限次重復相同.特別地，可以將區(qū)間 度為 0.01 時，由于由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零點所在的范圍確實越來越小了零點所在的范圍會越來越小(見上表).這樣，在一定的精確度下， 步驟后，將所得的

8、零點所在區(qū)間內的任意一點作為函數(shù)零點的近似值 端點作為函數(shù)零點的近似值.例如，當精確|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.00781250.01 , 所以，我們可以將 x=2.53-1-2-5 作為函數(shù) f(x)=lnx+2x-6零點的近似值. 給定精度,用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟如下：仁確定區(qū)間a,b,驗證f(a) f(b)0，給定精度-2。求區(qū)間(a,b)的中點c.3。計算 f(c):a. 若f(c)=O,則c就是函數(shù)的零點；b. 若 f(a)f(c)0,則令 b=c此時零點xo(a,c)；c. 若 f(c)f(b)0,則令 a=c此時零點xo(c,b).由于計算

9、量較大， 借助計算器或計算機完4。 判斷是否達到精度$即若|a-b| 則得到零點值 a(或 b)；否則重復步驟 24 由函數(shù)的零點與相應方程的關系，我們可用二分法來求方程的近似解而且是重復相同的步驟，因此，我們可以通過設計一定的計算程序，成計算. 應用示例思路1例1借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度為0.1).活動：師生共同探討交流，引出借助函數(shù)f(x)=2x+3x-7的圖象，能夠縮小根所在區(qū)間，并根據(jù)f(1)0,可得出根所在區(qū)間(1,2)； 引發(fā)學生思考，如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間； 共同探討各種方法，弓I導學生探尋出通過不斷對分區(qū)間，有助于問題的解決； 用圖

10、例演示根所在區(qū)間不斷被縮小的過程，加深學生對上述方法的理解； 引發(fā)學生思考在有效縮小根所在區(qū)間時，到什么時候才能達到所要求的精確度.學生簡述上述求方程近似解的過程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2 x+3x-7,用計算器或計算機做出函數(shù)f(x)=2 x+3x-7的對應值表與圖象(3-1-2-2).x012345678f(x)-6-2310214075142273圖 3-1-2-2觀察圖表可知f(1) f(2)0,說明這個函數(shù)在區(qū)間(1, 2)內有零點X0.取區(qū)間(1 , 2)的中點x=1.5,用計算器算得f(1.5) 0.33.因為 f(1) 1.5)0,所以 X0 (1,1.5

11、).再取區(qū)間(1 , 1.5)的中點x=1.25,用計算器算得f(1.25)電87.因為 f(1.25) f(1.5)0,所以 X0 (1.25,1.5).同理，可得，X0 (1.375,1.5) , X0 (1.375,1.4375).由于 |1.375-1.437 5|=0.06250.1,所以，原方程的近似解可取為1.4375.例2利用計算器，求方程x2-2x-1=0的一個近似解(精確度0.1).活動：教師幫助學生分析：畫出函數(shù)f(x)=x 2-2x-1的圖象，如圖3-1-2-3所示.從圖象上可以發(fā)現(xiàn)，方程x2-2x-1=0的一個根X1在區(qū)間(2, 3)內，另一個根X2在區(qū)間(-1, 0

12、)內.計算得X1所在的區(qū)根據(jù)圖象，我們發(fā)現(xiàn)f(2)=-10 ,這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2, 3)上穿過x軸一次, 即方程間.解：設f(x)=x2-2x-1，先畫出函數(shù)圖象的簡圖，如圖3-1-2-3.因為 f(2)=-10 ,所以在區(qū)間(2，3)內，方程x2-2x-1=0有一解，記為xi.取2與3的平均數(shù)2.5，因為f(2.5)=0.250，所以 2xi2.5.再取2與2.5的平均數(shù)2.25，因為f(2.25)=-0.437 50，所以 2.25Xi2.5.如此繼續(xù)下去，得f(2)0Xi (2,3),f(2)0 xi (2,2.5),f(2.25)0xi (2.25,2.5),f(2.375)0

13、 xi (2.375,2.5),f(2.375)0xi (2.375,2.437 5).因為2.375與2.437 5精確到0.1的近似值都為2.4,所以此方程的近似解為xi2.4.點評：利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個近似解.思路2例1利用計算器，求方程lgx=3-x的近似解(精確度0.1).活動：學生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示并及時評價學生.分別畫出y=lgx和y=3-x的圖象，如圖3124所示.在兩個函數(shù)圖象的交點處，函數(shù)值相等 因此，這個點的橫坐標就是方程lgx=3-x的解.由函數(shù)y=lgx與y=3-x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx=3-x有唯一解，記為X1，并且這個解在區(qū)

14、間(2，3)內.v=3 t4 V圖 3-1-2-4解：設f(x)=lgx+x-3，設X1為函數(shù)的零點即方程lgx=3-x的解.X1 (2,3), f(3)0X1 (2.5,3),f(2.75)0 X1 (2.5,2.75), f(2.625)0X1 (2.5,2.625),X1 (2.562 5,2.625).用計算器計算，得f(2)0f(2.5)0，f(2.5)0，f(2.5)0， f(2.562 5)0X1 2.6.因為2.562 5與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，所以原方程的近似解為例2求方程Inx-2x+3=0在區(qū)間1,2內的根(精確度0.1).解：設f(x)=Inx-2x

15、+3,則原方程的根為函數(shù)f(x)的零點.設X1為函數(shù)的零點即方程 lnx-2x+3=0的解.如圖 3-1-2-5,因為 f(1)=1,f(2)=-0.306 852 819,所以f(1)f(2)0,f(1.812 5)=-0.030 292 8920, 所以 X1 (1.75,1.812 5).由于 |1.812 5-1.751=0.062 50.1,所以區(qū)間(1.75,1.812 5)內的每一個實數(shù)都可以作為方程Inx-2x+3=0在區(qū)間點評：先設出方程對應的函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，初步確定解所在的區(qū)間 方程近似解. 二分法，即逐漸逼近的方法. 計算量較大，而且是重復相同的步驟，借助計算器或計

16、算機完成計算比較容易 知能訓練:1,2內的根.,再用二分法求x-10123ex0.3712.277.3920.0x+212345)D.(2,3)1.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為(A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)2.用二分法判斷方程2x=x2的根的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案:1.C.設 f(x)=eX-x-2,f(1)0,即 f(1)f(2)0,f(1.5)=-2.8750,所以 f(x)=-x 3-3x+5 在區(qū)間 (1,1.5)上有一個零點.又因為f(x)是(-g，+ 上的減函數(shù)，所以f(x)=-x 3-3x+5在區(qū)間(1,1.5

17、)上有且只有一個零點.作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(2),因為f(3)0,所以f(x)=2x ln(x-2)-3在區(qū)間(3,4)上有一個 零點.又因為f(x)=2x ln(x-2)-3在(2,+ g上是增函數(shù)，所以f(x)在(3,4)上有且僅有一個零點.作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(3),因為f(0)0,所以f(x)=ex-1+4x-4在區(qū)間(0,1)上有一個零 點.又因為f(x)=ex-1+4x-4在(-g，+ g)是增函數(shù)，所以f(x)在(0,1)上有且僅有一個零點.作出函數(shù)圖象(圖 3-1-2-8(4),因為 f(-4)0,f(-2)0,f(2)0, 所以 f(x)=3(x+2)(x

18、-3)(x+4)+x 在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一個零點.(課本第91頁練習)1. 由題設可知 f(0)=-1.40,于是 f(0) f(-1)0,X0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, 1)內有一個零點下面用二分法求函數(shù)f(x)=x 3+1.1x2+0.9x-1.4在區(qū)間(0, 1)內的零點.取區(qū)間(0, 1)的中點X1=0.5,用計算器可算得f(0.5)=-0.55.因為 f(0.5) f(1)0,所以 X0 (0.5,1).再取區(qū)間(0.5 , 1)的中點X2=0.75,用計算器可算得f(0.75) 0.32.因為 f(0.5) f(0.75)0,所以 X0 (0.5

19、,0.75).同理，可得 X0 (0.625,0.75), X0 (0.625,0.687 5) , X0 (0.656 25,0.687 5). 由于 |0.687 5-0.656 25|=0.031 250.1,所以原方程的近似解可取為0.656 25.2. 原方程可化為x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用計算器可算得f(2) 70,f(3) f(2) f(3)0,所以這個方程在區(qū)間(2,3)內有一個解X0.下面用二分法求方程x=3-lgx在區(qū)間(2,3)的近似解.取區(qū)間(2,3)的中點X1=2.5,用計算器可算得f(2.5) -0.10.因為f(2.5) f0,所以X0 (

20、2.5,3). 再取區(qū)間(2.5,3)的中點 X2=2.75,用計算器可算得f(2.75). 0因為f(2.5) f(2：75)0,所以xo (2.5,2.75).同理，可得 X0 (2.5,2.625),X0 (2.562 5,2.625),X0 (2.562 5,2.593 75),X0 (2.578 125,2.59375),x0 (2.585 937 5,2.59 375).由于 |2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 50.01,所以原方程的近似解可取為2.593 75.(課本第92頁習題3.1)1. A,C點評：需了解二分法求函數(shù)的近似零點的條件.2. 由

21、 x,f(x)的對應值表可得f(2) f(3)0,f(3) f(4)0,f(4) f(5)0,又根據(jù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a) f(b)0 ,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點.”r知函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(2, 3), (3, 4), (4, 5)內有零 點.(-1,0)內有一個解.(x+1)(x-2)(x-3)=1在區(qū)間(-1, 0)內的近似解. xi=-0.5,用計算器可算得 f(-0.5)=3.375.3. 原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令 f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得 f(-1)=-1

22、,f(0)=5. 于是 f(-1) f(0)0,所以這個方程在區(qū)間下面用二分法求方程 取區(qū)間(-1 , 0)的中點因為 f(-1) f(-0.5)0,所以 X0 (-1,-0.5).再取(-1 , -0.5)的中點X2=-0.75,用計算器可算得f(-0.75) - 1.58.因為 f(-1) f(-0.75)0,所以 X0 (-1,-0.75).同理，可得 X0 (-1,-0.875) , X0 (-0.937 5,-0.875).由于 |(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 50.1,所以原方程的近似解可取為-0.937 5.4. 原方程即 0.8X-1-lnx=0,令 f

23、(x)=0.8X-1-lnx,f(0)沒有意義，用計算器算得f(0.5) 0.59,f(-0=2.于是 f(0.5) f(1)0,所以這個方程在區(qū)間(0.5,1)內有一個解.下面用二分法求方程0.8X-1=lnx在區(qū)間(0, 1)內的近似解.取區(qū)間(0.5 , 1)的中點X1=0.75,用計算器可算得f(0.75)- 0.13.因為 f(0.75) f(1)0,所以 X0 (0.75,1).再取(0.75,1)的中點X2=0.875,用計算器可算得f(0.875) -04.因為 f(0.875) f(0.75)0,所以 X0 (0.75,0.875).同理，可得 X0 (0.812 5,0.8

24、75), X0 (0.812 5,0.843 75).由于 |0.812 5-0.843 75|=0.031 250.1,所以原方程的近似解可取為0.843 75.5. 由題設有 f(2)肉.310, 于是 f(2) f(3)0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2, 3)內有一個零點.2下面用二分法求函數(shù)f(x)=Inx 在區(qū)間(2 , 3)內的近似解.X取區(qū)間(2 , 3)的中點X1=2.5,用計算器可算得f(2.5)- 0.12.因為 f(2) f(25)0,所以 X0 (2,2.5).再取(2 , 2.5)的中點X2=2.25,用計算器可算得f(2.25) -0.08.因為 f(2.25) f(

25、2.5)0,所以 X0 (2.25,2.5).同理，可得 X0 (2.25,2.375) , X0 (2.312 5,2.375),X0 (2.343 75,2.375),X0 C (2.343 75,2.359 375),X0 C (2.343 75,2.351 562 5),X 0 C (2.343 75,2.347 656 25).由于 |2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 250.01,所以原方程的近似解可取為2.347 656 25.B組b Jb2 4ac 3 ( 3)24 2 ( 1)23 411.將系數(shù)代入求根公式X=，得 X= 一1 = 片2a2

26、24所以方程的兩個解分別為X1=3 7 ,X2=3 1744下面用二分法求方程的近似解.取區(qū)間(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令 f(x)=2x 2-3x-1.在區(qū)間(1.775,1.8)內用計算器可算得 f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.于是 f(1.775) f(1.8)0.所以這個方程在區(qū)間(1.775,1.8)內有一個解.由于 |1.8-1.775|=0.0250.1,所以原方程在區(qū)間(1.775,1.8)內的近似解可取為1.8.同理，可得方程在區(qū)間(-0.3,-0.275)內的近似解可取為-0.275.所以方程精確到0.1的近似解分別是

27、1.8和-0.3.2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x 3-6x2-3x+5,函數(shù)圖象如下圖所示.所以這個方程在區(qū)間(-2,0),(0,1),(6,7)內各有一個解.取區(qū)間(-2, 0)的中點xi=-l,用計算器可算得f(-1)=1.因為 f(-2) f(-1)0,所以 Xo (-2,-1).再取(-2, -1)的中點X2=-1.5,用計算器可算得f(-1.5)=-7.375.因為 f(-1.5) f(-1)0,所以 X0 (-1.5,-1).同理，可得 X0 (-1.25,-1) , X0 (-1.125,-1),X0 (-1.125,-1.062 5).由于 |(-1.062 5)-(-1.125)1=0.062 50.1,所以原方程在區(qū)間(-2, 0)內的近似解可取為-1.062 5.同理，可得原方程在區(qū)間(0, 1)內的近似解可取為0.7,在區(qū)間(6, 7)內的近似解可取為 6.3.3. (1)由題設有 g(X)=2- : f(X): 2=2-(x 2+3x+2) 2=-x4-