(完整版)勾股定理經(jīng)典例題(含答案)

1、勾股定理經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC中，/ C=90°(1) 已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.思路點(diǎn)撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。11解析:(1)在厶ABC中，/ C=90°,在厶ABC中，/ C=90°,在厶ABC中，/ C=90°,a=6, c=10,b=-a=40, b=9,c= & Ic=25 , b=15,a=-舉一反三【變式】如圖/ B=Z ACD90° , AD=1

2、3, C!=12, B(=3,則AB的長是多少？【答案I：/ ACD90° AD=13, CD=12 AC =adJ- cD =132- 122=25AC=5/ ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB 2=AC BC2 2=5 3=16 AB= 4 AB的長是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在中，一弓二匚飛,匸二二二丄U .求BC的長.角的直角三角形，為此作匸i 一 -1-'于D,則有思路點(diǎn)撥：由條件小"X陽=2曲=15£BAD = ,2，再由勾股定理計(jì)算出 AD DC的長，進(jìn)而求出 BC的長.解析：作于D,則因二二二巴, '(

3、的兩個(gè)銳角互余)BD=-AB = 5- .o -(在中，如果一個(gè)銳角等于-L J那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)根據(jù)勾股定理，在 二一工匸中，血=JaB2-BD2 =如-1 亍=15 .根據(jù)勾股定理，在八匚中，CD= JQ _ 的=J祁-15" = 65二上E二+匸J 亠二舉一反三【變式1】如圖，已知：一匚：二：，二 WX , _：二二一丄 于p. 求證：Ji i ；_.解析：連結(jié)BM根據(jù)勾股定理，在矗ASMF中， 加二冊_加.而在-中，則根據(jù)勾股定理有=曲亦.又二量=-T-1-（已知），.加二曲-曲+亦.在三二匚27中，根據(jù)勾股定理有?.囲=肘+血【變式2】已知:/ A=60&#

4、176; AB=4, CD=2求：四邊形 ABCD勺面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長AB DC交于F,或延長AD BC交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD BC交于E。/ A=Z 60°/ B=90°,.Z E=30°o.AE=2AB=8 CE=2CD=4.Bh=AE-AB2=82-42=48, BE=':： o/ dE= CE2-CD2=42-2 2=12,. DE='：='o丄 丄S 四邊形 ABC=SaABE'S CDE= 2 AB- B

5、E-2 CD- DE®?類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動(dòng)中，小明從營地 A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東 60°方 向走了亠二-到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西 30°方向走了 500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。（2）確定目的地 C在營地A的什么方向。解析：（1）過B點(diǎn)作BE/AD/ DAB=/ ABE=60/ 30° +/ CBA+Z ABE=180/ CBA=90即厶ABC為直角三角形由已知可得：BC=500m AB=°°m由勾股定理可得：1一丨-止亠所以-'I I

6、 ''(2)在 Rt ABC中，/ BC=500m AC=1000m/ CAB=30/ DAB=60 / DAC=30即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ？CH如圖所示，點(diǎn)【答案】由于廠門寬度足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于D在離廠門中線 0.8米處，且 CDLAB, 與地面交于 H. 解：OC= 1米（大門寬度一半），0.8米（卡車寬度一半）Rt OCD中，由勾股定理得：； = 0 . 6米，=0 . 6 + 2 . 3

7、= 2 . 9（米）2. 5（米）.高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四 個(gè)村莊A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是： 最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長，然后進(jìn)行比較,得出結(jié)論.解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（1 ）、圖（2）中的總線路長分別為AB+BC+CD = 3, AB+BC+CID3圖（3 ）中，在

8、Rt ABC中圖（3）中的路線長為-圖（4）中，延長 EF交BC于 H,貝U FHL BC, B十CH=-由/ FBHh及勾股定理得：里 施璽EA = ED= FB= FC=二 EF= 1 2FH= 1 -此圖中總線路的長為 4EA+EF= I I J- -'''3 > 2.828>2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm,高AE為4cm, EC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.圖，在Rt ABC中，EC=底面周長的一半=10cm,根據(jù)

9、勾股定理得（提問：勾股定理）ac=丄_丄10.77（ cm）（勾股定理） 答：最短路程約為1 0.77cm.類型四：利用勾股定理作長為而的線段5、作長為：、廣的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為 1的等腰直角三角形，斜邊長就等于/ ，直角邊為和1的直角 三角形斜邊長就是',類似地可作作法：如圖所示（1）作直角邊為1 （單位長）的等腰直角ACB,使AB為斜邊;（2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角卩丄。斜邊為廣;（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形宀八二 這樣斜邊二占、4'-、】、的長度就是舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示 |的點(diǎn)。解析：可以把看作是直角三角形的斜

10、邊，' ",為了有利于畫圖，讓其他兩邊的長為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點(diǎn)，使0A=3作AC丄OAAC=1,以0C為半徑，0為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B即為-。五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對頂角相等（正確）3 原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.4 原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓(不正確)2. 逆命題：相等的角是對頂角(

11、不正確)3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.？(正確)4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.(正確)總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果 ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷 ABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷厶ABC的形狀，需要找到 a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題。2 2 2解析：由 a +b+c +50=6a+8b+10c,得：2 2 2a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25=0, (a-3

12、) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0。/ (a-3) 2> 0, (b-4) 2> 0, (c-5) 2> 0。 a=3 , b=4, c=5。/ 3 2+42=52,2.2 2 a +b =c。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。舉一反三 【變式1】四邊形 ABCD中，/ B=90°, AB=3 BC=4, CD=12, AD=13求四邊形 ABCD勺面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié)AC/ B=90° , AB=3 BC=4 AC=aB+bC=25 （勾股定理） AC=5

13、/ AC+CD=169 , AD=169 ac+cD=aD / ACD=90 （勾股定理逆定理）【變式2】已知： ABC勺三邊分別為形.分析:本題是利用勾股定理的的逆定理,mi- n2,2mn,m2+ n2(m,n為正整數(shù)，且m>n),判斷 ABC是否為直角三角2 2 2只要證明：a +b =c即可證明:=(w?所以 ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形 ABCD E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF AB請問FE與DE是否垂直？請說明。【答案】答：DEI EF。明：設(shè) BF=a,則 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE=

14、cU+cD=4a2+16a2=20a2。連接DF （如圖）DF'=AF2+AD）=9a2+16a2=25a2。 dfMF+dE, FE 丄 DE經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長是20，求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù) 勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x，根據(jù)題意得：2 2 2(3x) + (4x)= 20化簡得x2= 16;1直角三角形的面積=二X 3x X 4x = 6x2= 96總結(jié)升

15、華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求解。舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為 2，求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊 ABC作AC丄BC于D2貝BD-二BC (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合) AB= AC= BC= 2 (等邊三角形各邊都相等) BD- 1在直角三角形 ABD中, AB"= AD+BD,即：AD= AB"- BD= 4 1 = 3 AC=' ABC=BC- AC=注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a,則其面積為-a。【變式2】直角三角形周長為 12cm斜邊長為5cm,求直角三角形的面積。 【答

16、案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x , y，根據(jù)題意得：>+> + 5 = 12、丁 4才=53(2)由(1)得：x+y =乙(x+y) 2= 49, x2+2xy+y 2= 49 (3)-(2),得：xy = 12直角三角形的面積是二xy = 2 x 12= 6 (cmi)【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1, n+2, n+3，求n。思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長的邊)長n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得：2 2 2(n+1) + (n+2)=( n+3)化簡得：n2= 4 n=± 2，但當(dāng) n= 2 時(shí)，n+

17、1= 1<0,二 n= 2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。【變式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()A、8, 15, 17 B 、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D 、8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷， 對數(shù)據(jù)較大的可以用 c2= a2+b2的變形：b2= c2 a2 =( c a) (c+a)來判斷。 例如：對于選擇 D,2/ 8 工(40+39)X( 40 39),以8, 39, 40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)。

18、【答案】：A【變式5】四邊形 ABCD中，/ B=90° AB=3 BC=4, CD=12 AD=13求四邊形 ABCD勺面積。解：連結(jié)AC/ B=90° , AB=3 BC=4 aC=aB+bC=25 （勾股定理） AC=5/ AC+CD=169 , AD=169 ac+cD=aD/ ACD=90 （勾股定理逆定理）1 1 S 四邊形 ABC=SaABc+SaACt= AB 類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路 MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN= 30°,點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP= 160m。假設(shè)拖拉機(jī) 行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)

19、在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h ,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于 100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段 AB并計(jì)算其長度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要 求拖拉機(jī)對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束 影響學(xué)校。解析：作AB丄MN垂足為B。在 Rt ABP中，/ ABP= 90°,/ APB= 30°, AP = 160,1 AB

20、= AP= 80。(在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半) 點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn) C處學(xué)校開始受到影響，那么AC= 100(m),由勾股定理得：2 2 2BC = 100 -80 = 3600, BC= 60。同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn) D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD- 100(m), BD- 60(m), CD- 120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為 ：18km/h 5m/st 120m 5m/s 24s。答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒。

21、總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條"路”。他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1m),卻踩傷了花草。解析：他們原來走的路為3+4- 7(m)設(shè)走“捷徑”的路長為 xm,則. 廠'' 故少走的路長為 7-5 - 2(m)又因?yàn)?步為1m,所以他們僅僅少走了 4步路。【答案】4【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長為1的正三角形,這樣的三角形稱為單位正

22、三角形。(1) 直接寫出單位正三角形的高與面積。(2) 圖中的平行四邊形 ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD勺面積是多少?(3) 求出圖中線段AC的長(可作輔助線)。73124x =斗【答案】(1)單位正三角形的高為-，面積是-(2)如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積(3)過A作AKL BC于點(diǎn)K (如圖所示)，1+1 = 1心以曲，故=-尼類型三：數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問 題來解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB AC邊上的點(diǎn)，且思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE CF,要求EF,但這三條線段不在冋一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD.解：連接AD.因?yàn)? BAC=90 , AB=AC 又因?yàn)?AD ABC的中線， 所以 AD=DC=DB ADL BC.且/ BAD玄 C=45