(完整版)常微分方程試題庫(kù).

1、20常微分方程一、填空題i 微分方程(dy)n dy y x2 o的階數(shù)是dx dx答：12.若M(x, y)和N(x,y)在矩形區(qū)域R內(nèi)是(x,y)的連續(xù)函數(shù),且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 方程M (x,y)dx N(x, y)dy 0有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件是?)計(jì)(y)3. 為齊次方程.答：形如dy g(=)的方程dx x4 如果 f (x, y) dy f (x, y)存在dx唯一的解y(x),定義于區(qū)間x x0h上，連續(xù)且滿足初始條件yo(xo)，其中h .答：在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件h min(a,)m5 對(duì)于任意的(x,如)，(x, y2) R ( R為某一矩形區(qū)域

2、),若存在常數(shù) N(N 0)使則稱f(x,y)在R上關(guān)于y滿足利普希茲條件.答：f(x,yj f(x,y2) Ny! y?6.方程dyx2y2定義在矩形區(qū)域R: 2 x 2, 2 y 2上，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)的解的dx存在區(qū)間是1答：11x _47.若 Xj(t)(i41,2,.n)是齊次線性方程的n個(gè)解,w(t)為其伏朗斯基行列式，則w(t)滿足一階線性方程答：w a1(t)w 08 若人(t)(i 1,2,n)為齊次線性方程的一個(gè)基本解組，X(t)為非齊次線性方程的一個(gè)特解,則非齊次線性方程的所有解可表為n答：xci xi xi 19若(X)為畢卡逼近序列 n(X)的極限，則有 (X).(

3、刈 答:衛(wèi)f (n 1)!10. 為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解y(x)，則經(jīng)過(guò)變換，可化為伯努利方程.答：形如 dy p(x)y2 q(x)y r(x)的方程y z ydx11. 一個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是 區(qū)間.答：開(kāi)12方程dy 、y 1滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 .dx答：D (x,y) R2y 0,(或不含x軸的上半平面)13 .方程x2 sin y的所有常數(shù)解是.dx答：y k ,k 0, 1,2,14. 函數(shù)組1(x), 2(x), , n(x)在區(qū)間I上線性無(wú)關(guān)的條件是它們的朗 斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零.答：充分15. 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y1(x),

4、y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是.答：線性無(wú)關(guān)(或：它們的朗斯基行列式不等于零)16. 方程y 2y y 0的基本解組是x x答：e , xe17. 若 y (x)在(,)上連續(xù)，則方程dy (x)y的任一非零解與dx x軸相交.答：不能18. 在方程y p(x)y q(x)y 0中，如果p(x)， q(x)在(,)上連續(xù)，那么它的任一非零解在 xoy平面上與x軸相切.答：不能19. 若y,x), y2(x)是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們共同零點(diǎn)答：沒(méi)有20. 方程 矽.1一y2的常數(shù)解是.dx答：y 121. 向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x), ,Yn(x)在其定義區(qū)間I上

5、線性相關(guān)的 條件是它們的朗斯基行列式W(x) 0，x I .答：必要22. 方程dy x2 y2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是dx答：xoy平面23. 方程x(y2 1)dx y(x2 1)dy 0所有常數(shù)解是 .答：y 1, x 124 .方程y 4y 0的基本解組是 .答: sin 2x, cos2x25.一階微分方程的通解的圖像是 維空間上的一族曲線.答：2二、單項(xiàng)選擇題1. n階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是( A )個(gè).(A) n(B) n-1(C) n+1(D) n+22 .如果 f (x, y),都在xoy平面上連續(xù)，那么方程ydy f(x,y)的任一解的存在dx區(qū)

6、間(D ).(A)必為(B)必為(0,3.4.5.6.7.8.9.(C)必為(1方程dy x 3dx,0)(D)將因解而定y滿足初值問(wèn)題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是( D ).(A)上半平面(B) xoy平面(C)下半平面(D)除y軸外的全平面一階線性非齊次微分方程組的任兩個(gè)非零解之差(A)不是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解(C)是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解方程dy J_y2dx(A )一方程dy . x ydx(A)有三個(gè)過(guò)點(diǎn)(，1)共有(B)無(wú)數(shù)2 ( B )奇解.(B)無(wú)n階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)(A) n 維(B) n 1 維方程dx 3y3過(guò)點(diǎn)(a).(A)有無(wú)數(shù)個(gè)解C ).(B)是非

7、齊次微分方程組的解(D)是非齊次微分方程組的通解)個(gè)解.(C)兩(D)(C)有一個(gè)(D) 有兩個(gè)(C)線性空間.n 1維(D) n 2 維(B)只有三個(gè)解(C)只有解0( D)只有兩個(gè)解fy (x, y)連續(xù)是保證f(x, y)對(duì)y滿足李普希茲條件的()條件.(A)充分(B)充分必要10.二階線性非齊次微分方程的所有解(A)構(gòu)成一個(gè)2維線性空間(C)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間(C)必要(D)必要非充分(B).構(gòu)成一個(gè)3維線性空間(D)構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間11 .方程dy , y的奇解是(D ).(A) y x(B) y 1(C) y 1(D) y 012.若y,x) , y 2(x)是一階線性非齊

8、次微分方程的兩個(gè)不同特解，則該方程的通解可用這兩個(gè)解表示為(C)13.14.15.三、(A)1 (x)2(x)(C) C( 1(x)2(x)1(x)fy(x, y)連續(xù)是方程2(B)必要非充分(A)必要方程屯、ydx(A)有一個(gè)(B)1(x)2(x)(D) C ,x)2(X)f(x,y)初值解唯一的(D )條件.(C)充分必要(D)充分C )奇解.(B)有兩個(gè)(C)(D)有無(wú)數(shù)個(gè)方程dy 3y3過(guò)點(diǎn)(0, 0)有(Adx).(A)無(wú)數(shù)個(gè)解(B)只有一個(gè)解(C)只有兩個(gè)解(D)只有三個(gè)解求下列方程的通解或通積分解：竺dy yx y2 ，則y1dye y (1dyy dy c)所以3yxcy2另外

9、 y 0也是方程的解2.求方程蕓x y2經(jīng)過(guò)(0,0)的第三次近似解解：0(X)01(x)xx020 (x)dx2(X)xx021 (x) dx1 2 _ x 21 2x215一 x203(x)022 (x)dx1511118xxx2044001603.討論方程dydxy(i)1的解的存在區(qū)間dx兩邊積分 所以方程的通解為故過(guò)y(i) 1的解為通過(guò)點(diǎn) (1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 2,所以解的存在區(qū)間為 (，2)4. 求方程(汐1 0的奇解解：利用p判別曲線得p2 y2102p 0消去p得y21即 y所以方程的通解為y si n(x c)所以y1是方程的奇解11x5. (co

10、sx )dx (2)dy 0yy y解：-M =y2=yN =J一x2yu1cosxxy得u sin xxv1xy2yyyuxy2'(y)所以(y)yln y故原方程的解為sin x仝In y c=,所以方程是恰當(dāng)方程 y x(y)6. y y2 2ysinx cosx sin2 x解：yy2 2ysinx cosx sin2x故方程為黎卡提方程.它的一個(gè)特解為ysin x ,令 y zsin x ,則方程可化為dz2 1 z , zdxx c即1y sin x,故1 y sin xx cx c2327. (2xy 3y )dx (7 3xy )dy 0解：兩邊同除以y2得2xdx3y

11、dx7 2 ydy3xdy 0dx2d3xyd -y0所以2 x3xy7yc ,另外 y 0也是方程的解8史 dxxy1 x2解當(dāng)y 0時(shí)，分離變量得dyy等式兩端積分得In y*ln(1x2) In C即通解為y C 1 x29.dydx解2x3y e齊次方程的通解為3 xy Ce令非齊次方程的特解為y C(x)e3x代入原方程'確定出C(x) 1e5x C原方程的通解為Ce3x , 1 2x+ e510. dx5y xy解方程兩端同乘以y 5，得5dx4ydxyx令y 4 z，則4y5 dy史，代入上式，得dxdx1dzz x4 dx通解為Ce4原方程通解為y 4 Ce 4x x

12、-42 211 2xydx (x y )dy 0解 因?yàn)樾l(wèi) 2x ，所以原方程是全微分方程. yx取(X。，yo)(0, 0)，原方程的通積分為xy 2o2xydx o y dy C1即x2y - y3 C312. 掘 ylnydx解：當(dāng)y 0, y 1時(shí)，分離變量取不定積分，得通積分為出dx C yin yin y Cex2 213. yy (y) 3x 0解原方程可化為(yy x2)0于是y矽x2 Cdx積分得通積分為y2 C1x -x3 C22314. d21 (y)2 上dx , x x解：令yxu，則色dx du x - dxu，代入原方程，得1 u2分離變量，取不定積分，得du.1

13、 u2dxlnC(C 0)通積分為：yarcsinln Cxxxytanyxxu ,則dyduu x代入原方程，得dxdxduduuxu tan u，xtan udxdx15.業(yè) d x解令1x當(dāng)tanu 0時(shí)，分離變量，再積分，得dutan udxxIn CIn sinuIn x In C即通積分為：si n# Cxx16. 魚(yú)工1 dx x解：齊次方程的通解為y Cx令非齊次方程的特解為y C(x)x代入原方程，確定出 C(x) lnx C原方程的通解為y Cx + xln x17. (x2ey y)dx xdy 0解積分因子為(x)丄x原方程的通積分為x x yy1 (e2)dx0 dy

14、 &x即ex - C, C e Cix18. yy (y)20解：原方程為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可改寫(xiě)為(yy) 0即yyCi分離變量得ydy C1dx積分得通積分y? C1 x C2219. y (x In y )1解令y p，則原方程的參數(shù)形式為1 .x In pPy p由基本關(guān)系式y(tǒng) ,有dxdy y dx1)dpP1(1 )dpP積分得 y p In p C得原方程參數(shù)形式通解為1 .x In ppy p In p C220. yy y 2x 0解原方程可化為(yy x2) o于是x2 C1dx積分得通積分為1 y2 Gx 1 x3 C22 321. (x3 xy2)dx (x2y y

15、3)dy 0解：由于-吵2xy y所以原方程是全微分方程.取(xo, yo)(0, 0)，原方程的通積分為x 32y 30 (x xy )dx 0 y dy C1即x4 2x2y2 y4 C四、計(jì)算題11 .求方程y y ex的通解.2解對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為：特征根為:1,故齊次方程的通解為：y C1ex C?e x因?yàn)?是單特征根.所以，設(shè)非齊次方程的特解為yi(x)xAxe代入原方程，有 2AeAxeAxe故原方程的通解為GexC 2e1 xex,可解出A21 x -xe42.求下列方程組的通解dxdtdydt3x2y4yA E1324即2320特征根為11 ,22方程組的特征方程為

16、解011對(duì)應(yīng)的解為x1a1Y1d其中a1, b|是11對(duì)應(yīng)的特征向量的分量,滿足12 a104 1 b 0可解得a11, d同樣可算出2對(duì)應(yīng)的特征向量分量為a22, b13 .所以，原方程組的通解為Ci eC22e2t3e2t3.求方程y 5y sin5x的通解.解：方程的特征根為10 ,25齊次方程的通解為y Ci C2e5x因?yàn)?i 5i不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為y1 (x) Asin5x Bcos5x代入原方程，比較系數(shù)得25A25B125A25B01確定出A ，1B5050原方程的通解為y C15x1C2e(cos5x sin 5x)504.求方程y 5y5x2的通解.解對(duì)

17、應(yīng)齊次方程的特征方程為2 50，特征根為i 0，25，齊次方程的通解為 y CiC2e5x因?yàn)?是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為2y1 (x) x( Ax Bx C)代入原方程，比較系數(shù)確定出225原方程的通解為13122xxx3525yC5C2e5x五、證明題)上連續(xù)，且 (1)0 .求1. 在方程dy f(y) (y)中，已知f(y)，(x)在(dx證：對(duì)任意x0和y。1，滿足初值條件y(x。)yo的解y(x)的存在區(qū)間必為(證明：由已知條件，該方程在整個(gè)xoy平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件. 顯然y 1是方程的兩個(gè)常數(shù)解.任取初值(xo, yo)，其中xo ( ,), yo

18、 1 記過(guò)該點(diǎn)的解為y y(x)，由上面分析可知，一方面y y(x)可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)限延展；另一方面又上方不能穿過(guò)y 1，下方不能穿過(guò)y 1，否則與惟一性矛盾.故該解的存在區(qū)間必為(，).2. 設(shè)y 1(x)和y 2(x)是方程y q(x)y 0的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行 列式W(x) C ,其中C為常數(shù).證明：如果y1(x)和y2(x)是二階線性齊次方程y P(x)y q(x)y o的解，那么由劉維爾公式有xP (t)dtW(x) W(xo)e xo現(xiàn)在，p(x) o故有bdtW(x) W(xo)e xoW(xo) C3. 在方程yp(x)y q(x)y o中，已知p(x)， q

19、(x)在(，)上連續(xù).求證：該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.證明：由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是(，).顯然，該方程有零解y(x) o .假設(shè)該方程的任一非零解ydx)在x軸上某點(diǎn)Xo處與x軸相切，即有y,xo) yMxo) = o，那么由解的惟一性及該方程有零解y(x) o可知yi (x)0, x ()，這是因?yàn)榱憬庖矟M足初值條件yi(xg) yi(xg) = 0,于是由解的惟一性，有y,x) y(x) 0, x (,).這與yi (x)是非零解矛盾.4在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上連續(xù)，求證：若 p(x)恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式W(x)是(，)上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).證明：設(shè)yi(x) , y2(x)是