(完整版)Mathematica入門(mén)教程含習(xí)題與答案

1、Mathematica 入門(mén)教程第 1 篇第 1 章MATHEMATICA 概述 31.1M ATHEMATICA的啟動(dòng)與運(yùn)行 31.2 表達(dá)式的輸入 41.3M ATHEMATICA的聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng) 6第 2 章MATHEMATICA 的基本量 82.1 數(shù)據(jù)類(lèi)型和常數(shù) 82.2 變量 102.3 函數(shù) 112.4 表 142.5 表達(dá)式 172.6 常用的符號(hào) 192.7 練習(xí)題 19第 2 篇第 3 章微積分的基本操作 203.1 極限 203.2 微分 203.3 計(jì)算積分 223.4 無(wú)窮級(jí)數(shù) 243.5 練習(xí)題 24第 4 章微分方程的求解 264.1 微分方程解 264.2 微分方

2、程的數(shù)值解 264.3 練習(xí)題 27第 3 篇第 5 章 MATHEMATICA 的基本運(yùn)算 285.1 多項(xiàng)式的表示形式 285.2 方程及其根的表示 295.3 求和與求積 325.4 練習(xí)題 33第 6 章函數(shù)作圖 356.1 基本的二維圖形 356.2 二維圖形元素 406.3 基本三維圖形 426.4 練習(xí)題 46第4篇第 7 章 MATHEMATICA 函數(shù)大全 487.1 運(yùn)算符和一些特殊符號(hào)，系統(tǒng)常數(shù) 487.2 代數(shù)計(jì)算 497.3 解方程 507.4 微積分 507.5 多項(xiàng)式函數(shù) 517.6 隨機(jī)函數(shù) 527.7 數(shù)值函數(shù) 527.8 表相關(guān)函數(shù) 537.9 繪圖函數(shù) 5

3、47.10 流程控制 57第 8 章 MATHEMATICA 程序設(shè)計(jì) 598.1模塊和塊中的變量 598.2 條件結(jié)構(gòu) 618.3 循環(huán)結(jié)構(gòu) 638.4 流程控制 658.5 練習(xí)題 67 習(xí)題與答案在 68 頁(yè) 49第1章Mathematica概述1.1 Mathematica 的啟動(dòng)與運(yùn)行Mathematica是美國(guó)Wolfram研究公司生產(chǎn)的一種數(shù)學(xué)分析型的軟件，以符號(hào)計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)，也具有高精度的數(shù)值計(jì)算功能和強(qiáng)大的圖形功能。假設(shè)在 Windows環(huán)境下已安裝好 Mathematica7.0 ,啟動(dòng) Windows后，在 開(kāi)始"菜單的 程 序”中單擊 W°lfram M

4、athematics，就啟動(dòng)了 Mathematica7.0，在屏幕上顯示如圖的 Notebook 窗口，系統(tǒng) ，直到用戶(hù)保存時(shí)重新命名為止。,b Volf ras lathesat ica 7. 0口 X |文件(V 編指插人略式單元 圏形 W 計(jì)算豹面稷窗口命助(1P輸入1+1，然后按下Shif+Enter鍵，這時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始計(jì)算并輸出計(jì)算結(jié)果，并給輸入和輸 出附上次序標(biāo)識(shí)ln1和Out1，注意In1是計(jì)算后才出現(xiàn)的；再輸入第二個(gè)表達(dá)式，要求 系統(tǒng)將一個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)，按Shift+Enter輸出計(jì)算結(jié)果后，系統(tǒng)分別將其標(biāo)識(shí)為ln2和Out2. 如圖ir,2；= Expand ' '

5、; x + y "5 丿 Traditional Form1 叩 J:= 1 + 10redifionalFcmn-Outf1j= 2工'-5 x y - 10 u2 - 10 x* v - 5 v 十十VSTif在Mathematica的Notebook界面下，可以用這種交互方式完成各種運(yùn)算，如函數(shù)作圖，求極限、解方程等，也可以用它編寫(xiě)像C那樣的結(jié)構(gòu)化程序。在Mathematica系統(tǒng)中定義了許多功能強(qiáng)大的函數(shù)，我們稱(chēng)之為內(nèi)建函數(shù)(built-in function),直接調(diào)用這些函數(shù)可以取到事半功倍的效果。這些函數(shù)分為兩類(lèi)，一類(lèi)是數(shù)學(xué)意義上的函數(shù)，女口：絕對(duì)值函數(shù)Absx

6、， 正弦函數(shù)Sinx，余弦函數(shù)Cosx，以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù) Logx，以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù) Loga,x 等；第二類(lèi)是命令意義上的函數(shù)，如作函數(shù)圖形的函數(shù)Plotfx,x,xmi n,xmax，解方程函數(shù) Solveeqn,x，求導(dǎo)函數(shù) Dfx,x等。必須注意的是：Mathematica嚴(yán)格區(qū)分大小寫(xiě)，一般地，內(nèi)建函數(shù)的首寫(xiě)字母必須大寫(xiě)，有時(shí)一個(gè)函數(shù) 名是由幾個(gè)單詞構(gòu)成，則每個(gè)單詞的首寫(xiě)字母也必須大寫(xiě)，如：求局部極小值函數(shù)FindMinimumfx,x,xO等。第二點(diǎn)要注意的是，在Mathematica 中，函數(shù)名和自變量之間的分隔符是用方括號(hào)“”，而不是一般數(shù)學(xué)書(shū)上用的圓括號(hào)“()”，初學(xué)者很

7、容易犯這類(lèi)錯(cuò)誤。如果輸入了不合語(yǔ)法規(guī)則的表達(dá)式,系統(tǒng)會(huì)顯示出錯(cuò)信息,并且不給出計(jì)算結(jié)果,例如要畫(huà)正弦函數(shù)在區(qū)間-10,10上的圖形，輸入plotSinx,x,-10,10，則系統(tǒng)提示 可能有拼 寫(xiě)錯(cuò)誤， 新符號(hào) plot很像已經(jīng)存在的符號(hào)Plot,'實(shí)際上，系統(tǒng)作圖命令“ Plot第一個(gè)字母必須大寫(xiě)，一般地，系統(tǒng)內(nèi)建函數(shù)首寫(xiě)字母都要大寫(xiě)。再輸入PlotSi nx,x,-10,10,系統(tǒng)又提示缺少右方括號(hào)，并且將不配對(duì)的括號(hào)用藍(lán)色顯示，如圖In朋 plot sin x f-10, 10Qbte= F丄口七Bi口 菽r (X,- LC, 10Hln7:= plot Sinx ;-丄丄0Sy

8、ntax:bktmcp : Ekfhue訝 ion -"plot Sin 's', 軋 -10, 10'- no clc? lug ":二SyntsK： ： EtzxzL : Incomplete e3cp(re££：ion； nLocre inpat is needed-一個(gè)表達(dá)式只有準(zhǔn)確無(wú)誤，方能得出正確結(jié)果。學(xué)會(huì)看系統(tǒng)出錯(cuò)信息能幫助我們較快找 出錯(cuò)誤，提高工作效率。完成各種計(jì)算后，點(diǎn)擊 File->Exit退出，如果文件未存盤(pán)，系統(tǒng)提示用戶(hù)存盤(pán)，文件名以“.nb作為后綴，稱(chēng)為 Notebook文件。以后想使用本次保存的

9、結(jié)果時(shí)可以通過(guò)File->Open菜單讀入，也可以直接雙擊它，系統(tǒng)自動(dòng)調(diào)用Mathematica將它打開(kāi)。1.2 表達(dá)式的輸入Mathematica提供了多種輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式的方法。除了用鍵盤(pán)輸入外，還可以使用工具 面版或者快捷方式健入運(yùn)算符、矩陣或數(shù)學(xué)表達(dá)式。1、數(shù)學(xué)表達(dá)式二維格式的輸入Mathematic提供了兩種格式的數(shù)學(xué)表達(dá)式。形如x/(2+3x)+y/(x-w)的稱(chēng)為一維格式，形如-斎二龍的稱(chēng)為二維格式。你可以使用快捷方式輸入二維格式，也可用基本輸入工具欄輸入二維格式。下面列出了用快捷方式輸入二維格式的方法數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式依次按鍵分式£2x |Ctri+J| 2n次方

10、xnx 畫(huà)A口 n開(kāi)n次方CTW x 囲5 n下標(biāo)x函 2如果要取消二維格式輸入，按下Ctrl+SPACE (空格)，例如輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式-''，可以按如下順序輸入按鍵：召2北+ 1(x+1) Ctrl+人 4 + a Ctrl+ | _ |Ctrl+ Ctrl+2 | 2 x+1 Ctrl+J 2另外也可從“面板”菜單中激活“數(shù)學(xué)”工具欄，也可輸入，并且使用工具欄可輸入更復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式。r Calculahr-asl : Ai'-pir!：r:X¥t&“Do&u mentation7Q91 a" _?J4寸6x二訂口L13-(人-X

11、0aN-TiabEnterT raditionalForm山說(shuō)年常創(chuàng)曜足】 從規(guī)而.申內(nèi)枕記玉叩T«MInpjt from ?.SEvtGat* Inpu OilOwtp ut ti Ats-vsCrsj'i Txt C«llC&ffimsrKl Complta-Mak# TmplateBasic CornmaridsMathematical Constants胃fEX曲oMor#TNumeric FunctionsM4b ECeilingReunc FloorMore-=gID-L-sglCEinh匚亡ihT*nhl Mflr* *Trigonometri

12、c FufiCtiQUSSin匚6TanCotArcSinArcCpsArc.T 三j nIM 誓U I rite gerFuFi£ tidns iviEorsFBctcrial（3匚D(JZMPrinifil Mors TElementary FunctlonsRandcnilrueerFt 百 n dcrnClioicaR a n da im Rea 1MoreTRanidom Functions2、特殊字符的輸入MathemMatica還提供了用以輸入各種特殊符號(hào)的工具樣?；据斎牍ぞ邩影顺Ｓ玫奶厥庾址ㄉ蠄D），只要單擊這些字符按鈕即可輸入。若要輸入其它的特殊字符或運(yùn)算符

13、號(hào)，必須使用從“插入”菜單中選取“特殊字符”工具欄，如上圖（右），單擊符號(hào)后即可輸入。LfW搐式單元 mh瞅±-釘Ctrl+L輸出上一行WShifWtrl+L播入相間禪式的元Alt+Ervttr特蘇字苻.即隸色辺芋母蔚號(hào)a .二 c aa柑Y<*、亠_IT1YP-嚴(yán)-cL&-j.JU.-jwW*wXU士27L1.3 Mathematica的聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng)用Mathematica的過(guò)程中，常常需要了解一個(gè)命令的詳細(xì)用法，或者想知道系統(tǒng)中是否 有完成某一計(jì)算的命令，聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng)永遠(yuǎn)是最詳細(xì)、最方便的資料庫(kù)。1、獲取函數(shù)和命令的幫助在筆記本界面下，用？或？可向系統(tǒng)查詢(xún)運(yùn)算符、函

14、數(shù)和命令的定義和用法，獲取簡(jiǎn)單而直接的幫助信息。例如，向系統(tǒng)查詢(xún)作圖函數(shù)Plot命令的用法？ Plot，系統(tǒng)將給出調(diào)用Plot的格式以及Plot命令的功能（如果用兩個(gè)問(wèn)號(hào)“？，則信息會(huì)更詳細(xì)一些）。也可以使用通配符“ *”，? Plot*給出所有以Plot這四個(gè)字母開(kāi)頭的命令。2、幫助菜單任何時(shí)候都可以通過(guò)按F1鍵或點(diǎn)擊幫助菜單項(xiàng)“參考資料中心”，調(diào)出幫助菜單，如圖所示。該文檔全面整合的文件中心容納幾千個(gè)詳細(xì)舉例、動(dòng)畫(huà)、輔導(dǎo)課程和其它資料。這 些都被翻譯成中文，幫助您使用Mathematica。如果要查找 Mathematica中具有某個(gè)功能的函數(shù)，可以通過(guò)幫助菜單中的“函數(shù)瀏覽器”，通過(guò)其目

15、錄索引可以快速定位到自己要找的幫助信息。例如：需要查找Mathematica中有關(guān)解方程的命令，單擊“數(shù)學(xué)和算法”一一 > “方程求解”按鈕，在目錄中找到有關(guān)解 方程的節(jié)次，點(diǎn)擊相應(yīng)的超鏈接，有關(guān)內(nèi)容的詳細(xì)說(shuō)明就馬上調(diào)出來(lái)了（如圖所示）。如果知道具體的函數(shù)名，但不知其詳細(xì)使用說(shuō)明，可以在“參考資料中心”的“搜尋” 的文本框中鍵入函數(shù)名，按回車(chē)鍵后就顯示有關(guān)函數(shù)的定義、例題和相關(guān)聯(lián)的章節(jié)。例如， 要查找函數(shù)Plot的用法，只要在文本框中鍵入Plot，按回車(chē)鍵后顯示如圖的窗口，再點(diǎn)擊“Plot”，則顯示Plot函數(shù)的詳細(xì)用法和例題。Search Resplot祁匚| 4即可;國(guó) # 回匚|匚

16、W囪數(shù)測(cè)覽墨-|nxSearch Results1 - 10 of 1278 for plot函敎瀏克器A檢心語(yǔ)言Tryvouir sareh 療w sllT數(shù)孚和直袪數(shù)學(xué)畫(huà)數(shù)數(shù)值計(jì)章和藉畫(huà) h公式處理T方程求堺 Silvi BSolve Jindfioot ISolve BTSd-ve Plot (Built-ifi Ma的mEtci Syfnbol)Plotfr xf x_minf x=max)- generates a plot of f 菲 a funrtiion of x from xmin to xmax. PlotfMl r f_2.ii . idjr 池 乳.rniruplQt

17、s severalFunrtions LiStLilWFlot F i|-ir is，t - - 5. rrbcl'iU3tLmePlot(y_lf y_2 plots a line through a list of valueir as-sumed to correspond tc x c»rdl i nates 1P 2 List Lin e Pl ot (x_ 1< y_lr £x_2, y_2jr -J plete a .日冃旨if Plbttintl '呂工潔 Tutorial)Basic platting Functicns. Thiis

18、 plots a graph of sin(x as 弓 function of x from 0 t© 巫 You csn plot functions tht have singularities Mm苗emmti口 uu| try to choose oi3、在線幫助訪問(wèn)網(wǎng)址：http:/refere 4、Mathematica4全書(shū)第四版中文版第2章 Mathematica 的基本量2.1 數(shù)據(jù)類(lèi)型和常數(shù)1、數(shù)值類(lèi)型在Mathematic中，基本的數(shù)值類(lèi)型有四種：整數(shù)，有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)。如果你的計(jì) 算機(jī)的內(nèi)存足夠大，Mathemateic可以表示任意長(zhǎng)度的精確實(shí)數(shù)，而不受所

19、用的計(jì)算機(jī)字長(zhǎng) 的影響。整數(shù)與整數(shù)的計(jì)算結(jié)果仍是精確的整數(shù)或是有理數(shù)。例如：2的100次方是一個(gè)31位的整數(shù)：ln17> 2 A 100Outi7；= 1267 50 600223 229 401456 703 25 3*7 6在Mathematica中允許使用分?jǐn)?shù)，也就是用有理數(shù)表示化簡(jiǎn)過(guò)的分?jǐn)?shù)。當(dāng)兩個(gè)整數(shù)相除 而又不能整除時(shí)，系統(tǒng)就用有理數(shù)來(lái)表示，即有理數(shù)是由兩個(gè)整數(shù)的比來(lái)組成。如：卄1 耕二 12345 / 5555249叩呼實(shí)數(shù)是用浮點(diǎn)數(shù)表示的，Mathematica實(shí)數(shù)的有效位可取任意位數(shù)，是一種具有任意精 確度的近似實(shí)數(shù)，當(dāng)然在計(jì)算的時(shí)候也可以控制實(shí)數(shù)的精度。實(shí)數(shù)有兩種表示方

20、法：一種是小數(shù)點(diǎn)，另外一種是用指數(shù)方法表示的。如：In 110723999HOut'19'= D.F3999Blnpoj:= 0.12# 10-11u-t(2a= 1 -2 X 10實(shí)數(shù)也可以與整數(shù)，有理數(shù)進(jìn)行混合運(yùn)算，結(jié)果還是一個(gè)實(shí)數(shù)。ln2-1:= 2 + 1/ 40.5 ut|21> 2 門(mén) 5復(fù)數(shù)是由實(shí)部和虛部組成。實(shí)部和虛部可以用整數(shù)，實(shí)數(shù)，有理數(shù)表示。在Mathematica 中，用I表示虛數(shù)單位。如：3 * 0 J EOut22* 3 十。 7 i2、不同類(lèi)型數(shù)的轉(zhuǎn)換在Mathematica的不同應(yīng)用中，通常對(duì)數(shù)字的類(lèi)型要求是不同的。例如在公式推導(dǎo)中的 數(shù)字

21、常用整數(shù)或有理數(shù)表示，而在數(shù)值計(jì)算中的數(shù)字常用實(shí)數(shù)表示。在一般情況下在輸出行Outn中，系統(tǒng)根據(jù)輸入行l(wèi)nn的數(shù)字類(lèi)型對(duì)計(jì)算結(jié)果做出相應(yīng)的處理。如果有一些特殊的要求，就要進(jìn)行數(shù)據(jù)類(lèi)型轉(zhuǎn)換。在Mathematica中的提供以下幾個(gè)函數(shù)達(dá)到轉(zhuǎn)換的目的:Nx將x轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)Nx, n將x轉(zhuǎn)換成近似實(shí)數(shù)，精度為 nRati on alizex給出x的有理數(shù)近似值Ratio nalizex,dx給出x的有理數(shù)近似值，誤差小于dx舉例Out23« 1-£££££££ 石££ln24j> Nb 100ut

22、f24= 1 66 66666"In2& * Rationalize %5映5卜§第二個(gè)輸出是把上面計(jì)算的結(jié)果變?yōu)?0位精度的數(shù)字。表示上一輸出結(jié)果。3、數(shù)學(xué)常數(shù)Mathematica中定義了一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)常數(shù)，這些數(shù)學(xué)常數(shù)都是精確數(shù)。Pi表示圓周率 一 3.14159 E指數(shù)常數(shù)，e=2.71828.Degree)/180給出一度的弧度I虛數(shù)單位，Infinity無(wú)窮大gInfinity負(fù)的無(wú)窮大 8Golde nRatio黃金比1.61803數(shù)學(xué)常數(shù)可用在公式推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算中。在數(shù)值計(jì)算中表示精確值。如:|£：= PI 23|_:二=£工&q

23、uot;|r2J = Pirt2 " N4、數(shù)的輸出形式在數(shù)的輸出中可以使用轉(zhuǎn)換函數(shù)進(jìn)行不同數(shù)據(jù)類(lèi)型和精度的轉(zhuǎn)換。另外對(duì)一些特殊要求的格式還可以使用如下的格式函數(shù)：NumberFormexpr, n以n位精度的實(shí)數(shù)形式輸出實(shí)數(shù)exprScien tificFormexpr以科學(xué)記數(shù)法輸出實(shí)數(shù)exprEngin eergFormexpr以工程記數(shù)法輸出實(shí)數(shù)expr例如：顯示數(shù)字近似值的前10個(gè)數(shù)字Pi ； 10Outl/Num berFo rm -314159254Inl：- SaientificFoEm (123 450 000.0, 0,000012345 f 123.45Sci

24、enti 5cFo rm*1,2345 x 10E, 1.224510_s, 1_234510s'ln：L;= Scientif IcFo (123 450 0 00.0 f 0 .COOD12345 , 123. 45) , 3 Q u t I " Scie ntificFa rm =1.23 x 103r l*23x 10_s, 1.23 x 10£ 下面的函數(shù)輸出幕指數(shù)可被3整除的實(shí)數(shù)Inl:= EngineerinForm ( 1 234 50 0 000,0 , 0 k 00012345 T 1236 45 )Outl I-/Engire£rin

25、gFarm=1,2345 x 10s, 123 45乂10"屯,1,23G4S x ID3 j2.2 變量1、變量的命名Mathematica中內(nèi)部函數(shù)和命令都是以大寫(xiě)字母開(kāi)始的標(biāo)示符。為了不會(huì)與它們混淆，我們自定義的變量應(yīng)該是以小寫(xiě)字母開(kāi)始，后跟數(shù)字和字母的組合，長(zhǎng)度不限。例如：a12,ast, aST都是合法的，而12a, z*a是非法的。另外在Mathematica中的變量是區(qū)分大小寫(xiě)的。 在Mathematica中，變量不僅可以存放一個(gè)數(shù)值，還可以存放表達(dá)式或復(fù)雜的算式。2、給變量賦值在Mathmatica中用等號(hào)"=”為變量賦值。同一個(gè)變量可以表示一個(gè)數(shù)值，一個(gè)數(shù)

26、組， 一個(gè)表達(dá)式，甚至一個(gè)圖形。如：mot*K = 3r yln4>K人:2*2:Cut4=151噸駐X =% + 1Out5=1對(duì)不同的變量可同時(shí)賦不同的值，例如:lnG;= Hr V, w = 1, 2f 30ut6> J 3In IB- 2 u * 3 v 4- wOutB=對(duì)于已定義的變量，當(dāng)你不再使用它時(shí)，為防止變量值的混淆，可以隨時(shí)用“=”清除他的值，如果變量本身也要清除，則用函數(shù)Clearx。例如In 鑿=口 = kii'O；= 2 11 + vOut1 C > 2 卜 2 g3、變量的替換在給定一個(gè)表達(dá)式時(shí)其中的變量可能取不同的值，這是可用變量替換來(lái)計(jì)

27、算表達(dá)式的不同值。方法為用“expr/.”例如：ln14:= » = In15:= f = x/ 2 + 1X0ut15= 1lnie：=壬* r X 120ut(l6=2inll；= f /- x 2Qut|17T= 2如果表達(dá)式中有多個(gè)變量也可以同時(shí)替換方法為expr/.x->xval,y->val，例如：1仃門(mén)了：= (jc+y)-?r Tradi t j-onalFomiOut19p'fT n ctitie n alF orm=(4-旬 if2.3 函數(shù)1、系統(tǒng)函數(shù)在Mathmatica中定義了大量的數(shù)學(xué)函數(shù)可以直接調(diào)用，這些函數(shù)其名稱(chēng)一般表達(dá)了一定的意義

28、，可以幫助我們理解。下面是幾個(gè)常用的函數(shù):Floorx給出小于等于 x的最大整數(shù)Ceili ngx給出了大于或等于 x的最小整數(shù)Rou ndx按四舍五入法對(duì)x取整In tegerPartx給出x的整數(shù)部分Fract ion alPartx給出x的分?jǐn)?shù)部分Sig nx符號(hào)函數(shù)Abs xx絕對(duì)值Maxx1,x2,x3 .x1 ,x2,x3.中的最大值Minx1,x2,x3 .x1,x2,x3.中的最小值Ran domReal01之間的隨機(jī)實(shí)數(shù)Ran domRealxmax0xmax之間的隨機(jī)實(shí)數(shù)Ran domRealxmi n,xmaxxmi nxmax之間的隨機(jī)實(shí)數(shù)Randomin teger隨

29、機(jī)整數(shù)0或1Randomin teger xmax0xmax之間的隨機(jī)整數(shù)Randomin teger xm in, xmaxxminxmax之間的隨機(jī)整數(shù)Expx指數(shù)函數(shù)Logx自然對(duì)數(shù)函數(shù)lnxLog10x以10為底的x的對(duì)數(shù)Log2x以2為底的x的對(duì)數(shù)Logb,x以b為底的x的對(duì)數(shù)Si nx,Cos x,Ta nx ,Cotx,Secx,Cscx三角函數(shù)（變量是以弧度為單位的）ArcSi nx,ArcCosx,ArcTa nx,ArcCotx反三角函數(shù)（變量是以弧度為單位的）Sin hx,Coshx,Ta nhxx,Coth x,Sechx,Cschx雙曲三角函數(shù)ArcSi nhx ,A

30、rcCoshx, ArcTa nhx, ArcCsch x, ArcSech x, ArcCothx反雙曲三角函數(shù)Modm, n用來(lái)給出m除以n得到的余數(shù)Quotie ntm ,n給出m/n商的整數(shù)部分GCDn1,n2,n3 或 GCDsn1,n2,的最大公約數(shù)，s為數(shù)集LCMn1,n2 或 LCMsn1,n2,的最小公倍數(shù)，s為數(shù)集N!n的階乘N!n的雙階乘，n為偶數(shù)時(shí)，n!是偶數(shù)乘積， n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)乘積。Mathematica中的函數(shù)與數(shù)學(xué)上的函數(shù)有些不同的地方，Mathematica中函數(shù)是一個(gè)具有獨(dú)立功能的程序模塊，可以直接被調(diào)用。同時(shí)每一函數(shù)也可以包括一個(gè)，或多個(gè)參數(shù)，也可 以

31、沒(méi)有參數(shù)。參數(shù)的的數(shù)據(jù)類(lèi)型也比較復(fù)雜。更加詳細(xì)的可以參看系統(tǒng)的幫助，了解各個(gè)函數(shù)的功能和使用方法是學(xué)習(xí)Mathematica軟件的基礎(chǔ)。2、函數(shù)的定義（1）函數(shù)的立即定義立即定義函數(shù)的語(yǔ)法如下"fx_=expr ”函數(shù)名為f,自變量為x, expr是表達(dá)式。在執(zhí) 行時(shí)會(huì)把expr中的x都換為f的自變量x （不是x_）。函數(shù)的自變量具有局部性，只對(duì)所在 的函數(shù)起作用。函數(shù)執(zhí)行結(jié)束后也就沒(méi)有了，不會(huì)改變其它全局定義的同名變量的值。請(qǐng)看下面的例子。定義函數(shù)f（x）=x*Sinx+x2，對(duì)定義的函數(shù)，我們可以求函數(shù)值，也可繪制它的圖形ln1:=i £ -K = Sill 1 / x

32、；0ut2= 1in3T= Plot £k f fst, -0 *03f 0.03對(duì)于定義的函數(shù)我們可以使用命令Clearf清除掉而Removef則從系統(tǒng)中完全刪除該函數(shù)，以使得它們的名稱(chēng)不再為Mathematica所識(shí)別。(2) 、多變量函數(shù)的定義也可以定義多個(gè)變量的函數(shù)，格式為"fx_,y_,z_,=expr ”自變量為x,y,z,，相應(yīng)的expr中的自變量會(huì)被替換。例如定義函數(shù)f(x,y)=x+y+ycosx 。in4； = fy_二穽 + y + y坯：吏2 ” 3jt4= 5-2 Cos(3) 、延遲定義函數(shù)延遲定義函數(shù)從定義方法上與即時(shí)定義的區(qū)別為“=”與“：=

33、”，延遲定義的格式為fx_ : =expr其他操作基本相同。那么延遲定義和即時(shí)定義的主要區(qū)別是什么？即時(shí)定義函 數(shù)在輸入函數(shù)后立即定義函數(shù)并存放在內(nèi)存中并可直接調(diào)用。延時(shí)定義只是在調(diào)用函數(shù)時(shí)才真正定義函數(shù)。(4) 、使用條件運(yùn)算符定義和If命令定義函數(shù)如果要定義如：> 0-1 < x < 0x<-l這樣的分段函數(shù)應(yīng)該如何定義，顯然要根據(jù)x的不同值給出不同的表達(dá)式。一種辦法是使用條件運(yùn)算符，基本格式為“fx_:=expr/;condition"，當(dāng)condition條件滿(mǎn)足時(shí)，才把expr賦給f。下面的定義方法，通過(guò)圖形可以驗(yàn)證所定義函數(shù)的正確性。In 匸 f

34、jl f JL JL >f jl : = Sin jk / ;- 1刖叵二 Plot f X f （X, -2, 2）當(dāng)然使用If命令也可以定義上面的函數(shù)，If語(yǔ)句的格式為“ lf條件，值1,值2”如 果條件成立取“值1”，否則取“值 2”，下面用If語(yǔ)句的定義結(jié)果。Kil1:=事耳_:二 If Jt >0； Ji - I, I f js > -1 ； Jt A2 , Sinfjt可以看出用If定義的函數(shù)g(x)和前面函數(shù)f(x)相同，這里使用了兩個(gè)If嵌套，邏輯性比 較強(qiáng)。關(guān)于其他的條件命令的進(jìn)一步討論請(qǐng)看后面的章節(jié)。2.4 表將一些相互關(guān)聯(lián)的元素放在一起，使它們成為一個(gè)整

35、體。既可以對(duì)整體操作，也可以對(duì)整體中的一個(gè)元素單獨(dú)進(jìn)行操作。在Mathematica中這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就稱(chēng)作表(List )。表主要有三個(gè)用法：表 a,b,c可以表示一個(gè)向量；表 a,b,c,d可表示一個(gè)矩陣。1、建表在表中元素較少時(shí)，可以采取直接列表的方式列出表中的元素，如1,2,3。請(qǐng)看下面的操作In阿二(Lr 2$ 30ut13= 1.3下面是符號(hào)表達(dá)式的列表In 114:= 1 +0irt14J= 1 - 2 x, 1 - 2 W -, 1 - 3. x - k3 -下面是對(duì)列表中的表達(dá)式對(duì)x求導(dǎo)tiiq：= D 匕 xOut1 E= (2, 2 + 2 x, 3 + 3 xz如果表中的

36、元素較多時(shí)，可以用建表函數(shù)進(jìn)行建表。Tablef,i,mi n, max,step以step為步長(zhǎng)給出f的數(shù)值表，i由min變到maxTablef,i,mi n, max給出f的數(shù)值表，i由min變到max步長(zhǎng)為1Tablef,max給出max個(gè)f的表Tablef,i ,imin,imax,j,jmin,jmax,生成一個(gè)多維表TableFormlist以表格格式顯示個(gè)表Ran ge n生成一個(gè) 1,2,n的列表Ran ge n1,n 2,d生成 n 1,n1+d,n1+2d,.,n2 的列表F面給出x乘i的值的表，i的變化范圍為2,6:lnl:= TableK L, £, 2r 6

37、OutflS= 23 xr 4 x, 5 x, 6 x= Table , 4Out1 SJ-:工£ r X： 瓦£耳；用Range函數(shù)生成一個(gè)序列數(shù)R»&ge10Ou-qi9= 1 r 2r 3, 4, 5,7, 8, 9, LO下面這個(gè)序列是以步長(zhǎng)為 2，范圍從8到20In:=Range 820 f 2。咽2町=8, 10, 12, 14, 16, 18. 20上面的參數(shù)變化都是只有一個(gè)，也可制成包括多個(gè)參數(shù)的表，下面生成一個(gè)多維表ln£1:= TaBle10 i + j f 1, 4 f 30中牛 llf 12, 13, (21f 22, 2

38、3r 31, 32, 33, 41, 42, 43)使用函數(shù)TableForm可以以表格的方式輸出f22''=/ Tat>leForm0ut22/n-ebteFCrm=LI122127.23212222a4 3構(gòu)造帕斯卡三角形：in44/> Tablerom Table Binomial nt k , n, 0, 5 ； k 0, nJ Out44>HBtieFcirm=11 11211321L51151010512、表的元素的操作當(dāng)t表示一個(gè)表時(shí)，ti表示t中的第i個(gè)子表。如果t=1,2,a,b那么t3表示“a。如:lln45：:=i t = Table 1

39、 + 2 j j i , 1 f 3 , j f 3 f 5 -0ut45- ?, 9, 11 f / 10, 12, 9f 11F 13Wq- t 2OuWJ= (6 - ID, 12對(duì)于表的操作Mathematica提供了豐富的函數(shù)，詳細(xì)的可以查閱后面的附錄或者系統(tǒng)幫 助。3、對(duì)表中元素的調(diào)整在使用表的過(guò)程中，調(diào)整表中元素的系統(tǒng)函數(shù)下表格式功能Rest表名從給疋的表中去掉第一個(gè)兀素Prepend表名,a將兀素a加到該表的第一位Append表名,a將兀素a加到該表的末尾Insert表名,a,k將兀素a加到該表的第k位ReplacePart表名,a,k用兀素a替換該表的第k個(gè)兀素，k為負(fù)數(shù)，位

40、置從結(jié)尾算起Take表名,m,n從給定的表中取出從 m位到n位的兀素Drop表名,m,n從給疋的表中去掉從 m位到n位的兀素例如= App巳nd 23r 孔dautH7= 2 Jd2.5 表達(dá)式1、表達(dá)式的含義Mathematica能處理數(shù)學(xué)公式，表以及圖形等多種數(shù)據(jù)形式。盡管他們從形式上看起來(lái) 不一樣，但在 Mathematica內(nèi)部都被看成同種類(lèi)型，即都把他們當(dāng)作表達(dá)式的形式。 Mathematica中的表達(dá)式是由常量、變量、函數(shù)、命令、運(yùn)算符和括號(hào)等組成，最典型的形 式是 fx,y。2、表達(dá)式的表示形式在顯示表達(dá)式時(shí)，由于需要的不同，有時(shí)我們需要表達(dá)式的展開(kāi)形式，有時(shí)又需要其因子乘積的形

41、式。在我們計(jì)算過(guò)程中可能得到很復(fù)雜的表達(dá)式，這時(shí)我們又需要對(duì)它們進(jìn)行化簡(jiǎn)。常用的處理這種情況的函數(shù)。變換表達(dá)式表示形式的函數(shù)。表達(dá)式表示形式函數(shù)意義Expand expr按幕次升高的順序展開(kāi)表達(dá)式Factor exp門(mén)以因子乘積的形式表示表達(dá)式Simplify exp門(mén)進(jìn)行最佳的代數(shù)運(yùn)算，并給出表達(dá)式的最少項(xiàng)形式將表達(dá)式（x+y）4（ x+y2） 展開(kāi)：Irl4a：= Erp.iic1（k + y） a4 （x + yrt2）4jm0 ut48-I=耗亠亠4獰 * “ G拜 、嚴(yán)4耳 y 亠4 y3 + 4 n3 y3 + x y4 + it* y4 - 4 x y* + ye還原上面的表達(dá)式

42、為因子乘積的形式：F宜七七凸上龜4/5Out/;= 蕊一 FX - y多項(xiàng)式表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)較多，比較復(fù)雜，在顯示時(shí)顯得比較雜亂，而且在計(jì)算過(guò)程中沒(méi) 有必要知道全部的內(nèi)容；或表達(dá)式的項(xiàng)很有規(guī)律，沒(méi)有必要打印全部的表達(dá)式的結(jié)果， Mathematica提供了一些命令，可將它縮短輸出或不輸出。命令意義comma nd執(zhí)行命令comma nd,屏幕上不顯示結(jié)果expr/Short顯示表達(dá)式的一仃形式Short expr,n顯示表達(dá)式的n仃形式命令后加一分號(hào)“不打印結(jié)果將表達(dá)式（x+y） 4 （ x+y 2）展開(kāi)，并僅顯示一行有代表項(xiàng)的式子：ki50：- Expand （x + y） A4 （at + y

43、 A2> / Shor 七asoyhort-pdAii廠百+ 4 x y h 6 x十 £ 址上 y - 4 x ys + y把代數(shù)表達(dá)式變換到你所需要的形式?jīng)]有一種固定的模式，一般情況下，最好的辦法是進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，嘗試不同的變換并觀察其結(jié)果，再挑出你滿(mǎn)意的表示形式。3、關(guān)系表達(dá)式與邏輯表達(dá)式我們已經(jīng)知道二”表示給變量賦值?，F(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)一些其它的邏輯與關(guān)系算子。關(guān)系表達(dá)式是最簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式，我們常用關(guān)系表達(dá)式表示一個(gè)判別條件。例如：x>0,y=0。關(guān)系表達(dá)式的一般形式是： 表達(dá)式+關(guān)系算子+表達(dá)式。其中表達(dá)式可為數(shù)字表達(dá)式、字符表達(dá)式或意義更廣泛的表達(dá)式，如一個(gè)圖形表

44、達(dá)式等。 在我們實(shí)際運(yùn)用中， 這兒的表達(dá)式常常是數(shù)字表達(dá)式或字符表達(dá)式。下面列出Mathematica中的各種關(guān)系算子。x=y相等x!=y不相等x>y大于x>=y大于或等于x<y小于x<=y小于等于x=y=z都相等x!=y!=z都不相等x>y>z,etc嚴(yán)格遞減給變量x,y賦值，輸出后一變量的值，如：町51:= x = 2 ; y 9 ；jl > yut52> FaLse下面是比較兩個(gè)表達(dá)式的大小In5-3;= 3 2 > y + L3u153I= False必須用邏輯運(yùn)算符用一個(gè)關(guān)系式只能表示一個(gè)判定條件，要表示幾個(gè)判定條件的組合,將關(guān)系

45、表達(dá)式組織在一起，我們稱(chēng)表示判定條件的表達(dá)式為邏輯表達(dá)式。下面是常用的邏輯運(yùn)算和它們的意義&&并II或！非Xor異或If條件例如下面的例子說(shuō)明它們的應(yīng)用y =< yCutF7：=3 «A2+ 11 1 32 =iy2.6 常用的符號(hào)一定要注意四種括號(hào)的用法：()圓括號(hào)表示項(xiàng)的結(jié)合順序，如(x+(yAx+1/(2x);方括號(hào)表示函數(shù)，如Logx,BesselJx,1 ；大括號(hào)表示一個(gè)“表”(一組數(shù)字、任意表達(dá)式、函數(shù)等的集合)，如2x,Sin12Pi,1+A,y*x；雙方括號(hào)表示“表”或“表達(dá)式”的下標(biāo)，如 a2,3、1,2,3 1=1。%代表最后產(chǎn)生的結(jié)果%倒數(shù)

46、第二次的算結(jié)果%( k)倒數(shù)第k次的計(jì)算結(jié)果%n列出行Outn)的結(jié)果2.7 練習(xí)題1、定義函數(shù)一，.，求當(dāng)丄 ''時(shí)，：的值，再求.；。e1, 忑空0求當(dāng)疋 :- 時(shí)，的值(要I； I I.,x > e求具有40位有效數(shù)值)。3、造一個(gè)九九乘法表，只要求以表格形式顯示乘積結(jié)果。第3章微積分的基本操作3.1 極限Mathematica計(jì)算極限的命令是 Limit，它的使用方法主要有Limitexpr,x->xO當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的極限Limitexpr,x->xO,Directi on->1當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的左極限Limitexpr,x

47、->x0,Directi on-> -1當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的右極限趨向的點(diǎn)可以是常數(shù)，也可以是+m, -m例如1、求1 3ar 6+ 2I惟 1：= Limit; , xL 3 x - 6OutI01>軒sinx2、求T：|寶TO X3r Sill at irS2'> Limit * X -> 0L0<4網(wǎng)=13、求：X0+ xIn32':= Liniit Log Aba x / x, k -> 0 , Direa七5_口11 - 1 3.2 微分1、函數(shù)的微分在Mathematica中，計(jì)算函數(shù)的微分是非常方便的，命令為 Df

48、,x，表示函數(shù)f對(duì)x求 導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的常用格式有以下幾種Df,x計(jì)算微分箔Df,x1,x2,計(jì)算多重偏微分磊磊fDf,x, n計(jì)算n階微分籌fDf,x,NonConstants->v1,v2,-計(jì)算微分 誌其中v1,v2 依賴(lài)于x例如1、求函數(shù)exsinx的導(dǎo)數(shù)1口-巳2一：=E xLJSin.K t jc / / TiracljL t ion.a.1 Pomi0 u t££7.*T rsdrticn3lFerm=5in(jr) + EX cosi xj2、求函數(shù)exsinx的2階導(dǎo)數(shù)bi 甘：=0 S x Sin « , x f 2 / Tradi

49、tional Form0 LtS?.'T radrticnaF crm=2 ex cos(jt)3、假設(shè)a是常數(shù)，可以對(duì)sin (ax)求導(dǎo)叫陽(yáng)：=D Slna. x x, 10ut87= Cos 'ax；4、如果二元函數(shù)f(x,y)=xA2*y+yA2 ，對(duì)x,y求一階和二階偏導(dǎo)lnVQ;=蠱二 F y 二；州即片 f j£_7 y_ : - jla2 y + y A 2;ln52- D f x； y , x / / TxtionaHlFormOut &2p/TraditienAlFo rm=In卩2D f x T y , y / / Traditions

50、1 FormOut &3J/TraditionalForm-r + 2 yMathematica可以求抽象函數(shù)的微分，通常結(jié)果使用數(shù)學(xué)上的表示法，例如：h9g.' = Clear g ; D k g- k r ( x:, 1 / / Tra.di tionalFom u tE 37)TrsditiDna IFarm=X直1工)十g(兀)對(duì)鏈?zhǔn)椒▌t同樣適用ln1 DGJ:= 0 g h a. r x / / TraditiQualFoimOut1 CO.- raditionalFcrni=F兇(以切如果要得到函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，可以把這點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù)如：I 叩朗卜 DSinx , (X, 2 jit?0ut101= -Sin22、全微分在Mathematica中，Df,x給出f的偏導(dǎo)數(shù)，其中假定 f中的其他變量與x無(wú)關(guān)。當(dāng)f為 單變量時(shí)，Df,x計(jì)算f對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)Dtf,x給出f的全微分形式，并假定f中所有變量 依賴(lài)于x.下面是Dt命令的常用形式及意義rDtf求全微分dfDtf,x求全導(dǎo)數(shù)薯Dtf,x,Constants- >c1,c2,求全微分其中c1,c2.是常數(shù)F面我們求乂人2+卩2的偏微分和全微分hl DxA2 + yrt2, x / Tradi-tionalFomD