(完整word版)平面向量的線性運(yùn)算及練習(xí)試題

1、范文范例精心整理平面向量的線性運(yùn)算學(xué)習(xí)過程知識(shí)點(diǎn)一：向量的加法(1)定義已知非零向量a，b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作AB = a , BC = b，則向量AC叫做a與b的和，記作a b，即a b = AB + BC = AC，即第二個(gè)向量要以 的向量即為和向求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做叫向量的加法.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三 角形法則.說明：運(yùn)用向量加法的三角形法則時(shí)，要特別注意“首尾相接” 第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn) 量. 兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量，其大小、方向可以由三角形法則確定. 位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.(2) 向量加法的

2、平行四邊形法則urn r以點(diǎn)0為起點(diǎn)作向量0A a , 0B b，以O(shè)A,OB為uuu鄰邊作丫 OACB，則以0為起點(diǎn)的對(duì)角線所在向量 OC就r r uuu是a，b的和，記作a b =OC。說明：三角形法則適合于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法則適合于同起點(diǎn) 的兩向量求和，但兩共線向量求和時(shí)，則三角形法則較為合適 力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.對(duì)于零向量與任一向量a,a 0 0 a a(3)特殊位置關(guān)系的兩向量的和 當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a + b的方向不同向，且|a+b|<| a|+| b| ； 當(dāng)a與b同向時(shí)，貝y a + b、a、b同向，且| a + b|=

3、| a|+| b| , 當(dāng)a與b反向時(shí)，若| a|>| b|，則a + b的方向與a相同，且| a+b |=| a|-| b| ；若| a|<| b|，則 a+b 的方向與 b相同，且 | a+b|=| b |-| a|.(4)向量加法的運(yùn)算律 向量加法的交換律: 向量加法的結(jié)合律:知識(shí)點(diǎn)二：向量的減法a + b =b + a(1) 相反向量：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量記作 a。r rr(2) 向量a和-a互為相反向量，即-(-a). 零向量的相反向量仍是零向量.r r r r r 任一向量與其相反向量的和是零向量，即a + (- a) = (- a) + a = 0如果向量a,

4、 b互為相反向量,那么 a = - b , b = - a , a + b = ° . rrr r(3)向量減法的定義：向量rrra加上的b相反向量，叫做a與b的差.r即: ab= a + (4)向量減法的幾何作法b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.UlT在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作OAr uui ruitr rr ra，0B b，則ba a b .即a b可以表示為從向量rrb的終點(diǎn)指向向量 a的終點(diǎn)的向量，這就是向量減法的幾何意義.說明：AB表示a b .強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)用“相反向量”定義法作差向量，a b= a + ( b),顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一 知識(shí)

5、點(diǎn)三：向量數(shù)乘的定義r(1) 定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，r記作 a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：rrI入引T入II即rrrrrrr當(dāng)0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)°時(shí)，入a的方向與a的方向相反.r r當(dāng) °時(shí)，入a = °(2) 向量數(shù)乘的運(yùn)算律根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律：設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么1rr入(卩a)=(入卩)a ；rr(2)(入 + 卩)a =入 a +r卩a ；入(a + b )=入a +r入b .知識(shí)點(diǎn)四：向量共線的條件r r r rrr向量a( a °)與b共線，當(dāng)且僅

6、當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b = a .學(xué)習(xí)結(jié)論(1) 兩個(gè)向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法則和平行四邊形法則 確定，這兩種法則本質(zhì)上是一致的.共線向量加法的幾何意義， 為共線向量首尾相連接， 第一個(gè)向量的起點(diǎn)與第二個(gè)向量的 終點(diǎn)連接所得到的有向線段所表示的向量.r rrr(2) a b可以表示為從向量 b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量(3) 實(shí)數(shù)與向量不能相加減，但實(shí)數(shù)與向量可以相乘.向量數(shù)乘的幾何意義就是幾個(gè) 相等向量相加.r rr rr r(4) 向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b= a。練習(xí)r ruir r r urn r r uuu r r例1.已知任意兩個(gè)

7、非零向量a，b，作°A a b，OB a 2b,OC a 3，試判斷 A B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.ULW- 解：AB = °B 一 OA = a+2b (a+b) = b,uuu .-且 AC = °C °A = a+3b- (a+b) = 2 b ,uuu uuuAC =2 AB .所以，A、B、C三點(diǎn)共線.例2.如圖，平行四邊形 ABCD勺兩條對(duì)角線相交于uuu r uuu rr r點(diǎn)uuu uui且uAB =uu， AD = b，試用 a， b 表示向量 MA,MB,MC,MDuuiu uuu i r ruuu1 rruuiuuuu2uuuuu1

8、 r r uuiu1 rrMA-(ab),DMMBMAAB(a b)所以 MD- (ba)2 2 2例3. 一艘船從長(zhǎng)江南岸 A點(diǎn)出發(fā)以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江解析：AM Mc = (a b)，所以水的流速為向東 2 km/h .試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度(保留兩個(gè)有效數(shù)字)；求船實(shí)際航行速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).分析：速度是一個(gè)既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示， 速度的合成也就是向 量的加法.word完美格式解析：如圖，設(shè)AB作鄰邊作平行四邊形AD表示船向垂直于對(duì)岸行駛的速度， ABCD則AC就是船實(shí)際航行的速

9、度.AB表示水流的速度，以 AD在Rt ABC中，| AB| =2,| BC | = 5,| AC | = Juuu2 ABuuu BC2 722 52.295.45/ tan / CAB= _CAB 682答：船實(shí)際航行速度的大小約為 5.4 km/h，方向與水的流速間的夾角為約為 68° .1.( 2006上海理)如圖，在平行四邊形 ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()(A) AB = DC ；(B)AD + AB = AC ；2.(C) AB AD = BD ； (2007湖南文)若 OE、 uuu A . EFUUJC. EFuuuOF uuur OFuuu OE uuu OE

10、AD + CB = 0 .(D)F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是 UUJB. EFUUJD. EFC( )3.(2003遼寧)已知四邊形ABCD是菱形,A.(ABAD),(0,1)C.(ABAD),(0,1)uuur uuu OF OE uuur uuu OF OE點(diǎn)P在對(duì)角線B.D.4.( 2008遼寧理)已知O, A B是平面上的三個(gè)點(diǎn) uuur則OC (uuuA. 2OA)uuuOBuuu UUJB. OA 2OB5.(2003江蘇;動(dòng)點(diǎn)P滿足天津文、理)uuuOPuuuOA6.AC上(不包括端點(diǎn) A C),則AP(AB(ABBC),BC),直線AB上有一點(diǎn)(0,£(

11、0,乎)2uuurC,滿足2ACUUUCB 0,C.2 umOA31 uuuD.-OA3O是平面上一定點(diǎn),uuu內(nèi)心uuurAC、 uuur ),AC1 ujuOB3B C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),2 uuuOB30,則P的軌跡一定通過 VABC的()(A)外心(2005全國(guó)卷uuu(B)n理、文)已知點(diǎn)A( . 3,1),UJUCE ,(D)垂心與BC相交于E，那么有BC1(A)2( B) (C)32設(shè)a, b是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量(C)重心B(0,0) , C( .3,0).設(shè) BAC 的平分線 AE其中 等于()7.k=8. ( 2007江西理).如圖，在 ABC中，點(diǎn)(D)-3k

12、a 2b與8a kb的方向相反，貝UO是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn) O的直線分別交直線 ABOA = OB = 1，B的值A(chǔ)C于不同的兩點(diǎn) M N,若AB = m AM , AC = n AN，則m+ n的值為9. ( 2005全國(guó)卷I理) ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OH m(OA OB OC)，則實(shí)數(shù)10. (2007陜西文、理)如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量 OA、OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且OCOB、OC，其中OA與=2 2 .若 OC = OA OB( ,R),則復(fù)習(xí)2:向量的減法已知向量a和向量b,作向量a- b.復(fù)習(xí)3：向量的數(shù)乘已

13、知向量a,作向量3a和-3a.復(fù)習(xí)4:平面向量共線定理例 1. B. 例 2.A. 例 3. B.(三) 基礎(chǔ)訓(xùn)練：1. C;2. B. 3.A.4.A.5. B 6.C;7._ 4_; 8._. 9.J_10. 26(四) 拓展與探究：1 311、D.;12.( ,0)，(,). 2 2平面向量的線性運(yùn)算(復(fù)習(xí)課)復(fù)習(xí)目標(biāo)：?1、掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義?2、掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義? 3、了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.重點(diǎn):向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.難點(diǎn)：應(yīng)用向量線性運(yùn)算的定義、性質(zhì)靈活解決相應(yīng)的問題 一、學(xué)案導(dǎo)學(xué)自主建構(gòu)復(fù)習(xí)

14、1:向量的加法已知向量a和向量b,作向量a+b.二、合作共享交流提升鑒自測(cè)回抑曽uun uuu LLLr AB CB DCuuu uur uuu uur(3)AB AC BD CD亠uuu urn1、填空：(1)AD CA uuur uurAB AD 貝U BADuuur UULT在平行四邊形 ABCD中，若 AB AD2、判斷題：（1 ）相反向量就是方向相反的向量 uuu mu r（2）AB BA 0uur uuu uuu（3）AB OA OBuuu uuur uuu r(4)在厶ABC中，必有AB BC CA 0uiuruuurumr（5）若 AbBCCA 0,貝U A、B、C三點(diǎn)必是一個(gè)

15、三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。uuuuuuuuur3、若 OA3OB2OC,則代B,C三點(diǎn)是否共線三、案例剖析總結(jié)規(guī)律例1:根據(jù)條件判斷下列四邊形的形狀uuur(1)ADuuiuBCuuir 1 uju(2) AD - BC3uuur(3) ADuuuBC,且uuu ABuuur ADuuuOAuuur OCuuu uuurOB OD;（O是四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)）uuur(5)ACuuu ABuuur ADuur uuur ujir uuu四邊形ABCD的對(duì)角線 AC與BD相交于點(diǎn) O,并且 AO OC,DO OB例2、如圖，在 OAB中，延長(zhǎng)BA到C,使AC=BA在0B上取點(diǎn)D,使BD=OB.DC與 0A交于E,uuu ur uuu r r ruuur uuur設(shè)OA a,OB b,請(qǐng)用a,b表示向量OC,DC例3、設(shè)？ ABCD一邊AB的四等分點(diǎn)中最靠近 B的一點(diǎn)為E,對(duì)角線BD的五等分點(diǎn)中靠近 B的一點(diǎn)為F,求證：