合肥工業(yè)大學(xué)大一上學(xué)期高數(shù)期末考試題

1、咼數(shù)期末考試一、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)2.lim (4 十 3x)sin x =1. x.O.已知cosx是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x) cosxdx =2. xx3.兀2兀22兀2n4lim (cos2 cos2cos2)二n n nnn42 2x arcsin x 4 dx 二J-x2_ 42單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，設(shè)(x)二-x , ： (x) = 3 - 33 x，貝U當(dāng) x 4時(4 +xA) :(X)與'(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小；等價無窮小；(C)(X)是比-(x)高階的無窮小；無窮小.設(shè) f (x) = cos x(

2、 x + sin x ),則在 x = 0處有(B)f (0)劊(c) f (0)=0( D) f(x)不可導(dǎo).4.、5.(D)共16分)(B)(x)與(x)是(x)是比(X)高階的6.(A)(0八2x7.若F (x)二0 (2劉f( t) dt，其中f(x)在區(qū)間上(-1,1)二階可導(dǎo)且 f(x)0，則().(A) 函數(shù)F (x)必在x =0處取得極大值；(B) 函數(shù)F (x)必在x二0處取得極小值；(C) 函數(shù)F(x)在x=0處沒有極值，但點(diǎn)(0,F(0)為曲線y二F(x)的拐點(diǎn);(D)函數(shù)F(x)在x=0處沒有極值，點(diǎn)(0,F(0)也不是曲線y二F(x)的拐點(diǎn)。4設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，

3、且f (x) = x 2 0 f (t)dt , J則 f (xH ()2 x(A)22x2(B)2(C) x-4(D) x 2.9.三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)10. 設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程ex y sin(xyr4確定，求ytx)以及y (°)11.求 “ - x； dx.x(4 十 x )12.x xe ,2 x ,13.0 x _ 11g(x)f (xt)dt0求：f (x)dx.14.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，g(x)并討論g(x)在x = o處的連續(xù)性.lim，且 x >0求微分方程xy 2y = Xlnx滿足y空Ax ,A為常數(shù).求19的解.

4、四、解答題(本大題10分)15. 已知上半平面內(nèi)一曲線 y = y(x)(x 一 0)，過點(diǎn)(0,1)，且曲線上任一點(diǎn) M&oy。)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、y軸、直線x = x°所圍成 面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)16. 過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y二ln x的切線，該切線與曲線y = |n x及x軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A; (2)求D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V.六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)17. 設(shè)函數(shù)f(x)在-0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q，0,1，q1f (x) d x

5、 _q f (x) dx00JIJIr 1Jf(x)dx=0 Jf(x) COS x dx = 018. 設(shè)函數(shù)f(x)在0- 上連續(xù)，且0,0證明：在°，二內(nèi)至少存在兩個不同的點(diǎn)1 , 2，使f( 1)= f( 2)= 0(提xF(x)二 f (x)dx示：設(shè)0解答一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16 分)5.e6hcosx)2 c.6.2 x.7.2 . 8.三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)9.解：方程兩邊求導(dǎo)原式11.解:(1-u) 112du ()du7u(1 u)

6、7 u u 11(In |u| -2ln |u 1|) c12ln| x71 ln|1 x7| C773 f (x)dx 二 3 xedx 亠 i。一 2x - x2dx0 1 -異d(e)0 10-x_x. x-xe -e-(x - 1)2dx02人亠 I cos rd ”令x-1 二 sin ：) 2J JIn 32e31412.解：由 f(0) =0 ,知 g(0) = 0。xJ f(u)duxt -ug(x)二 f (xt )dt -0(X")xxf(x) - f (u)du02xxf(u)du g(0) =lim0° xT(x = 0)f(x)limx 10 2x

7、xxf(x) - f (u)du02xA2 , g(x)在 x0處連續(xù)。dy 2y = In x13.解：dx x-dxdxx ( e x In xdx C)1y = e1I_2xln x x Cx31y(i) = -9，c91 1 1 =0 y xln x x39四、解答題（本大題10分）x * (1 + y ) + cos(xy)( xy' + y) = 0 ex y ycos(xy) y (x)e £ +xcos(xy) x=0,y=0y(0)=110.解:u = x7 7x6dx = dux14解：由已知且八20ydx'y，將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得y丄2 y特征方

8、程：r2r2=0解出特征根:x2x其通解為y=6eC2e-1, a = 2.代入初始條件y(°H y (OH1，2 y = _e故所求曲線方程為： 3五、解答題(本大題10分)得1e3Ci2x15解：(1)根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為2, CT由于切線過原點(diǎn)，解出X。=e，從而切線方程為:1 1A= J(ey -ey)dy = e-1則平面圖形面積 。2y In x。(xolnxo)，切線方程：1 y x e1(x - X。) XoVi,則 V1(2)三角形繞直線x = e 一周所得圓錐體體積記為曲線y"nx與x軸及直線x= e所圍成的圖形繞直線x = e一周所得旋轉(zhuǎn)體體 積為V2

9、1V2 -二(e - ey)2dy0D繞直線x =六、證明題V =VV2e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(本大題有2小題，每小題4分，共12分)q1qq=-(5e12e 3)f (x) d x _q f (x)dx f (x) d x _q( f (x) d x 亠 i f (x)dx)0000q116.證明：q=(1 -q) f(x)d x -q f(x)dx0q1 0, q 2 q,1f ( 1 ) _f ( 2)=q(1-q)f(J) -q(1-q)f G2)z 0 故有：qif (x) d x - q f (x) dx00證畢。證：構(gòu)造輔助函數(shù):xF(x)二 f(t)dt ,0 乞 x 乞二其滿足在°,二】上連續(xù)，在(°，二)17.上可導(dǎo)。F (x)二 f(x)，且 F(0) = F()= 0兀兀K 710 = f (x)cosxdx = fcosxdF (x) = F (x)cosxl + (sin x F (x)dx 由題設(shè)，有 000,nF (x)sinxdx 二 0有0，由積分中值定理