高數(shù)公式匯總

1、_高等數(shù)學(xué)公式(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2( ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1( ax )a x ln a1 x21(arcctgx )1(log a x)1x2x ln atgxdxln cosxCdxsec2 xdxtgx Cctgxdxln sin xCcos2 xdx2secxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxctgxCcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcsc xctgxdxcscxCa2x2a arctgaCa

2、 xdxa xCdx1xaCln ax2a22alnaxshxdxchxCdx1axCa2x22alnxchxdxshxCadxarcsin xCdxln( xx 2a2 )Ca2x2ax2a22sin n xdx2cosn xdxn1I nI n200nx2a2dxxx2a2a2ln( xx2a2)C22x2a2 dxxx 2a2a2 ln xx2a 2C22a2x2 dxxa 2x2a 2arcsin xC22a導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：精品資料_三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u2 ， cos x1u2x2duu1u2 ，u tg ， dx1 u212一些初等函數(shù)：雙曲正弦: shxexe

3、 x2雙曲余弦: chxexe x2雙曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21x兩個(gè)重要極限：lim sin x1x 0xlim (1 1 )xe 2.718281828459045.x xxx三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式：函數(shù)sincostgctg角 A- -sin cos -tg-ctg 90°-cos sin ctg tg90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg-ctg 180°+-sin -cos tgctg 270&#

4、176;-cos -sin ctg tg精品資料_270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg-ctg 360°+sin cos tgctg sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22sinsin2 cossintgtgtg ()221 tgtgcoscos2 coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22·和差角公式：·和差化積公式：精品資料_·倍角公式：sin 22 sincos4sin3cos22

5、cos21 1 2sin 2cos2sin2sin 33sinctg 2ctg 21cos34 cos33 cos2ctg3tgtg 3tg32tg1 3tg 2tg 21 tg 2·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1 cossinctg1cos1 cossin1cossin1 cos1cossin1 cos22·正弦定理：abc2R·余弦定理： c2a 2b22ab cosCsin Asin Bsin C·反三角函數(shù)性質(zhì)： arcsin xarccos xarctgxarcctgx22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公

6、式：n(uv) ( n)Cnku (n k ) v(k)k 0u ( n) vnu (n 1) vn( n 1) u( n 2 )vn(n 1)( n k 1) u( n k )v (k)uv (n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b)柯西中值定理：f (b)f ( a)f ( )(ba)f (a)f ( )F (a)F ( )當(dāng) F( x)x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：精品資料_弧微分公式： ds1y 2 dx, 其中 ytg平均曲率：K.: 從 M 點(diǎn)到 M 點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s： M M 弧長(zhǎng)。sM 點(diǎn)的曲率： Klimdy.sds2s 03(

7、1 y)直線： K0;半徑為 a的圓： K1 .a定積分的近似計(jì)算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)nyn 1 )abba 1 ( y0梯形法： f ( x)nyn )y1yn 1 a2bb a拋物線法： f (x)yn )2( y2y4yn 2 ) 4( y1 y3yn 1 )( y0a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： W F s水壓力： FpA引力： Fm1m2, k為引力系數(shù)k2rb函數(shù)的平均值： y1f ( x)dxb a ab均方根：1f 2 (t )dtba a空間解析幾何和向量代數(shù)：精品資料_空間 2點(diǎn)的距離： dM1M2( x2x1 ) 2( y2y1 ) 2(z2z1

8、 ) 2向量在軸上的投影： Pr ju ABABcos ,是 AB與 u軸的夾角。Pr ju ( a1a2 ) Pr j a1Pr ja2a b ab cosaxbxa ybyazbz ,是一個(gè)數(shù)量 ,兩向量之間的夾角： cosax bxa ybyazbzax 2ay 2az2bx 2by2bz2ijkc a baxayaz , cab sin.例：線速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合積： abc (ab )cbxbybzabc cos , 為銳角時(shí)，cxc ycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式： A(xx0 )B( yy0 )C (z z0 ) 0，其中 n

9、A, B,C, M 0 ( x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點(diǎn)到該平空間直線的方程： xx0m二次曲面：面的距離：dAx0 By0A2B2y y0z z0t ,其中 snpCz0 DC 2xx0mt m, n, p; 參數(shù)方程： yy0ntzz0pt221、橢球面： x y a2 b2222、拋物面： xy2 p2q3、雙曲面：22單葉雙曲面： x y a2 b222雙葉雙曲面： x y a2 b2z2c21z（,p, q同號(hào)）z2c21z2c 2（1馬鞍面）精品資料_多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzz dxz dydu

10、u dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：z dzf x (x, y) x f y ( x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzvxuxvx當(dāng)u，v v(x, y)時(shí)，u( x, y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dy0dx隱函數(shù)F ( x, y, z)， z0x隱函數(shù)方程組： F ( x, y,u,v)G( x, y,u,v)Fx ，d 2 yx (Fx y (FxdyF ydx2Fy)Fy)dxFx，zFyFzyFz0(F

11、,G)FFFuFvJuv0(u, v)GGGuGvuvu1(F ,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F ,G)v1(F ,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：精品資料_x(t)空間曲線 y(t)在點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 )處的切線方程： xx0yy0zz0z(t)(t0 )(t0 )(t0 )在點(diǎn) M處的法平面方程：(t 0 )( x x0 )(t0 )( yy0 )(t0 )( zz0 )0若空間曲線方程為：F ( x, y, z) 0FyFzFzFxFxF y,則切向量 T G y,G yG ( x, y, z) 0G z G

12、zG x G x曲面 F ( x, y, z)0上一點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過(guò)此點(diǎn)的法向量： n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy (x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz (x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 03、過(guò)此點(diǎn)的法線方程：x x0y y0zz0Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz( x0 , y0 , z0 )方向?qū)?shù)與梯度：

13、函數(shù) z f (x, y)在一點(diǎn) p( x, y)沿任一方向 l 的方向?qū)?shù)為： ff cosf sinlxy其中 為 軸到方向l的轉(zhuǎn)角。x函數(shù) z f (x, y)在一點(diǎn) p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)f ifjxy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中ecosisin j，為l方向上的grad f ( x, y)el單位向量。f 是gradf ( x, y)在l 上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令： f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y

14、0 ) CACB2A 0, (x0 , y0 )為極大值0時(shí)，B 2A 0, (x0 , y0 )為極小值則： AC0時(shí)，無(wú)極 值A(chǔ)CB 20時(shí) ,不確定重積分及其應(yīng)用：精品資料_f (x, y)dxdyf (r cos, r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzdxdyDxyM xx( x, y) dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM(x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于 x軸 I xy2(x, y) d,對(duì)于 y軸 I yx2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對(duì) z軸上質(zhì)點(diǎn) M(0,0,a), (a0

15、)的引力： F Fx , Fy , Fz ，其中：( x, y) xdFyf(x, y) ydFzfa(x, y) xdFx f3，3，3D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x2y 2a 2 ) 2D (x 2y 2a 2 ) 2柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：xr cos柱面坐標(biāo)： yr sin ,f ( x, y, z) dxdydzF ( r , z)rdrddz,zz其中： F (r , z)f (r cos , r sinx r sin cos球面坐標(biāo)： y r sin sin ，zr cos, z)dvrdr sinddrr 2 sindrdd, ) r 2 sin2r (, )r 2

16、sinf ( x, y, z)dxdydzF (r ,drddddF (r ,dr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： I x( y2z2 )dv，I y(x 2z2 )dv，I z( x2y 2 )dv曲線積分：第一類(lèi)曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）：設(shè) f ( x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為： x(t ) ,(t),則：y(t )f ( x, y) dsf (t),(t )2 (t)2 (t )dt()特殊情況：xtLy(t)精品資料_第二類(lèi)曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）：設(shè) 的參數(shù)方程為x(t )，則：Ly(t )P( x, y) dx

17、Q( x, y)dy P(t ),(t )(t)Q(t),(t )(t ) dtL兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān) 系：PdxQdy( P cosQ cos，其中 和 分別為)dsLL上積分起止點(diǎn)處切向量 的方向角。L格林公式：(QP)dxdy格林公式：(QP)dxdyPdxQdyxyPdx QdyxyDLDL當(dāng)Py, Qx，即： QP時(shí)，得到D的面積：A1xdy ydxxy2dxdyD2 L平面上曲線積分與路徑 無(wú)關(guān)的條件：·、是一個(gè)單連通區(qū)域；1G、，Q( x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，且 QP 。注意奇點(diǎn)，如，應(yīng)2P( x, y)xy(0,0)減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分， 注意方向相反！&

18、#183;二元函數(shù)的全微分求積 ：在 Q P 時(shí)， Pdx Qdy才是二元函數(shù) u( x, y)的全微分，其中：x y( x, y)，通常設(shè)x0。u( x, y)P(x, y)dx Q(x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面積分：對(duì)面積的曲面積分：f (x, y, z)dsf x, y, z( x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdyDxy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y, z)dydz，其中：Q(x, y, z) dzdx R( x, y, z)dxdyR(x, y, z)dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正 號(hào)；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP(

19、x, y, z)dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正 號(hào)；D yzQ(x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正 號(hào)。D zx兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān) 系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosRcos ) ds高斯公式：精品資料_精品資料_PQR() dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos) dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度： divPQR ,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若 div0,則為消失 .xyz通量： A n dsAnds(P cosQ cosR c

20、os)ds，因此，高斯公式又可寫(xiě)成：div AdvAnds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：( RQ )dydz(PR)dzdx ( QP )dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydz dzdx dxdycoscoscos上式左端又可寫(xiě)成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無(wú) 關(guān)的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場(chǎng) 沿有向閉曲線的環(huán)流量：Pdx Qdy Rdz A t dsA常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：q2qn 11q n1q1q等差數(shù)列：23n(n1)n12調(diào)和級(jí)數(shù)：111 是發(fā)散的123n級(jí)數(shù)審斂法：精品資料_、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 根

21、植審斂法（柯西判 別法）：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂1設(shè)：limnun，則時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1n時(shí)，不確定1、比值審斂法：2時(shí)，級(jí)數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散U n1n時(shí)，不確定1、定義法：3sn u1 u2un ; lim sn存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯(cuò)級(jí)數(shù) u1u2u3u4(或 u1 u2 u3,un 0)的審斂法 萊布尼茲定理：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足unun1 ，那么級(jí)數(shù)收斂且其和 su1 ,其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 rn un 1。lim un0n絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u1u2un，其中 un為任意實(shí)數(shù)；(2) u1u2 u3un如果 (2)收斂，則 (1)肯定收斂，且稱(chēng)為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)

22、；如果 (2)發(fā)散，而 (1)收斂，則稱(chēng) (1)為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：1發(fā)散，而( 1) nn收斂；n級(jí)數(shù)：1 收斂；n21 時(shí)發(fā)散p級(jí)數(shù)：n pp1時(shí)收斂?jī)缂?jí)數(shù)：精品資料_x1時(shí)，收斂于11 x x2x3x n1xx1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù) (3)a0a1 xa2 x2an xn，如果它不是僅在原點(diǎn) 收斂，也不是在全xR時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使xR時(shí)發(fā)散 ，其中 R稱(chēng)為收斂半徑。xR時(shí)不定10時(shí)， R求收斂半徑的方法：設(shè)liman 1，其中 an， an1是 (3)的系數(shù)，則0時(shí)， Rnan時(shí)，R 0函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：f ( x)f (x0 )( x x0 )f (x0 ) ( x x0 )2f (n ) ( x0 ) ( xx0 ) n2!n!余項(xiàng)： Rnf (n 1) ( ) (xx0 ) n 1, f ( x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是： lim Rn0(n 1)!nx0 0時(shí)即為麥克勞林公式：f ( x) f (0)f ( 0) xf (0) x2f (n) (0) xn2!n!一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：(1 x) m1mx m( m1) x 2m(m 1)( mn 1) xn( 1 x 1)2!n!sin x xx3x5( 1) n 1 x2n1(x)3!5!( 2n1)!歐拉公式：cosxeixeeix2cosx i sin