多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習(xí)題及答案

1、10.設(shè)z ye2xxsin2y，求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(A)1 填空題2 2(1) 若z f x, y在區(qū)域 D 上的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù) 一Z，一Z_，則在 D 上，x y y x2z2z- -。x y y x(2) 函數(shù)z f x,y在點(diǎn)xo,y處可微的_條件是z f x, y在點(diǎn)x,yo處的偏導(dǎo)數(shù)存在。(3) 函數(shù)z fx,y在點(diǎn)X0,y可微是z f x, y在點(diǎn)x。處連續(xù)的_ 條件。2求下列函數(shù)的定義域(1)zJx胡;(2) u arccos=* 2 2y3 求下列各極限5.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)sin xy ；7limx 0y 02 21 cos(x y )(2 2.

2、22(x y )x y4.設(shè)zxln xy3，求一二及一x y x3z2yo o10.設(shè)z ye2xxsin2y，求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。y(1)z arctg; (2) zxuv t cosu，In xy2 3xy ze。6.ln t ,7.exsin t， z求全導(dǎo)數(shù)吏。dtducost，求 。dt8.曲線，在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對于x軸的傾角是多少9.求方程務(wù)2yb22勺1所確定的函數(shù)z的偏導(dǎo)數(shù)。c212.設(shè)xy eyex，求巴。dx16.利用全微分求. 2.9824.012的近似值。面方程。于平面x 2y z(B)1.求下列函數(shù)的定義域設(shè)f x,y x 2y，求f xy, f x, y1

3、1.設(shè)z f x, y是由方程-zln?確定的隱函數(shù)，求，-z。yx y13.設(shè)z f x, y是由方程xy30確定的隱函數(shù)，求x214.設(shè) z yexcosy，求全微分dz。15.求函數(shù)z ln 2 x2y2在點(diǎn)1,2的全微分。17.求拋物面zy2與拋物柱面yx2的交線上的點(diǎn)P 1,1,2處的切線方程和平218.求曲面43上點(diǎn)P 2, 1,3處的切平面方程和法線方程。19.求曲線x4t3z t3上點(diǎn)MX0,y,Z0，使在該點(diǎn)處曲線的切線平行20.求函數(shù)fx,yx2y2的極值。21.求函數(shù)fx，ye2x y22y的極值。22.要建造一個(gè)容積為10 立方米的無蓋長方體貯水池，底面材料單價(jià)每平方米

4、20元，側(cè)面材料單價(jià)每平方米8 元。問應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸，方便材料造價(jià)最省(1)z arcs in x y2In In2 210 x 4y；U4x2y2122x y2. (1)設(shè)f xy#xx2y2，求f x,y,f xy, xy。23.求下列函數(shù)的極限連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。16.設(shè)x2y2Z 0，求dx， x2y2z21dz7.設(shè) z -1 X2yy，求-z，。x y8.設(shè)uf 2x33y22z，求-f2f， 。xx9.設(shè)uf 2x3,3y2,2z，求丄，z2f。z x10.設(shè)z2 2 2 2xyf x y ,x y，f可微，求 dt。11.設(shè)fxy, y

5、乙xz 0，求二xz，。y12.設(shè)zxyz 0，求dz* 1。y 1 z 113.設(shè)zf r cos , r sin可微，求全微分 dz。14.設(shè)zf x,y是由方程f x乙yz 0所確定的隱函數(shù),求 dz，并由此求和-。x y15.求 z22 xyx y 的偏導(dǎo)數(shù)。其中f具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),2 x2lim 1xy4設(shè) fx,yxy42x y0 ,當(dāng)(x,y)當(dāng) x,y0,0 、 ，冋 limfx 00,0y 0 x, y 是否存5討論函數(shù)的連續(xù)性,其中 fx,yxsin x 2yx 2y0 ,x 2y。x 2y6.二元函xy2 2x y0 ,x, yx,y,在點(diǎn)0,00,0處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在

6、;dy。dz21. 判斷題：(簡單說明理由)(1)f x, y就是 f x,y 在Xo,y處沿 y 軸的方向?qū)?shù)。y勺0(2) 若 f x,y 在x,y處的偏導(dǎo)數(shù)，丄存在，則沿任一方向 I 的方向?qū)?shù)均存y y在。2 2 222.證明曲面x y3z34上任意一點(diǎn)的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常 數(shù)。23. 證明：球面刀：x2y2z21上任意一點(diǎn)a, b,c處的法線都經(jīng)過球心。24. 求橢球面3x2y2z216上的一點(diǎn)1, 2,3處的切平面與平面 z 0 的交角。25. 設(shè)u,v都是x, y ,z的函數(shù)，u,v的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明：26. 問函數(shù)u xy2z在P 1, 1,2處沿什么方

7、向的方向?qū)ё畲?，并求此方向?qū)?shù)的最 大值。2 2 227.求內(nèi)接于橢球面 -2 -zy 1的最大長方體的體積。a b c28. 某公司通過報(bào)紙和電視傳媒做某種產(chǎn)品的促銷廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R 與報(bào)紙廣 告費(fèi)x及電視廣告費(fèi) y(單位：萬 元)之間的關(guān)系 有如下 經(jīng)驗(yàn)公 式:R 15 14x 31 y 8xy 2x210y2，在限定廣告費(fèi)為萬元的情況下，求相應(yīng)的最優(yōu)廣口策略。29. 求函數(shù)f x,y exy的n階麥克勞林公式，并寫出余項(xiàng)17設(shè)uxyze3u-。xyz18求函數(shù) uxyz 在點(diǎn)5,1,2處沿從點(diǎn)5,1,2到點(diǎn)9,4,14方向的方向?qū)?shù)。19.求函數(shù) ux- 在點(diǎn)M 1,2,

8、2沿 x t ,y 2t2,z2 2 2x y z2t4在此點(diǎn)的切線方向上的方向?qū)?shù)。20.求函數(shù) u2 26x 8yz在點(diǎn) P 處沿方向 n 的方向?qū)?shù)。30利用函數(shù)f x,y xy的 2 階泰勒公式，計(jì)算 1 11.02的近似值(C)1 證明可微。求翌。dx. z . a ( a 0)上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于a。9.拋物面z x2y2被平面x y z 1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長與最短距離。，求函數(shù)f x, y x2xy y2在點(diǎn)1,1沿方向 I 的2程：x y x7.證明：旋轉(zhuǎn)曲面fx2y2(f 0)上任一點(diǎn)處的法線與旋轉(zhuǎn)軸相交。2設(shè)fx, y |x y|x,y

9、，其中x,y在點(diǎn)0,0，鄰域內(nèi)連續(xù)，問(1)x, y在什么條件下, 偏導(dǎo)數(shù)fx0,0,fy0,0存在；(2)x, y在什么條件下，f x,y在0,0處3設(shè)yf x,t而t為由方程x, y,t 0所決定的函數(shù)，且x, y,t是可微的，試4.設(shè)zz x, y由 z ln zxt2eydt0 確定，求一-。x y5.從方程組x2yxv21 中求出ux，如，冬，5。6.設(shè)z uaxx, y eby，且試確定常數(shù)a， b，使函數(shù)z z x, y能滿足方8.試證曲面x , y10.設(shè)x軸正向到方向 I 的轉(zhuǎn)角為方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于 0。第八章多元函數(shù)微

10、分法及其應(yīng)用(A)1.填空題222z若z f x, y在區(qū)域 D 上的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)，則在 D 上,y x2z。y x函數(shù)zf x, y在點(diǎn)xo, yo處可微的必要 條件是z f x,y在點(diǎn)xo, yo處的偏導(dǎo)數(shù)存在。(3)函數(shù)zf x, y在點(diǎn)xo, yo可微是zf x, y在點(diǎn)Xo,yo處連續(xù)的充分條件。2求下列函數(shù)的定義域解：設(shè)定義域?yàn)?D，由y o和 x y 0 ,即x2x,y |x o,y o, x2y，如圖 1 所示zarccos- 2 2x y解：設(shè)定義域?yàn)?D，由即X, y 不同時(shí)為零，且zxv2，得x,y,z |z2 2 2x y ,x3 求下列各極限(1) lim 沁

11、x 0 yy ox解：原式limx o y osin xy yxy解：原式limx 0 yoxy(Jxy 11)(:xy 11)( xy 11)IJm xy 112y o1 cos(x2y2)222-(x y )x y11 lim2x 0 xy 0334設(shè)z xln xy，求一二及二x y x y解：-zxIn xyx_yxyln xy 1213z2y2z0,xxyxx y2131zxz22x yxyyxyy5求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)z arctg xd2解：二1yxxy解：xyx x x y yx y1x類似地z1yx類似地22 2x1yy xx yxzln xy1111解: 一 一 l n

12、xln y2 In x In y x 2x ln xyxx3xy ze同理可證得:z _1_ y 2yJnxy解：原式limx 0y 02 si n22 2x y222 2x y4x y12y解：關(guān)于x求導(dǎo)，得到2x 2z22zxa c解:xxy2z32 3exy zx23 xy2z3y z eUxy2z2 3exy zy yc 32xyz exy2z3u zxy2z32 3exy zz3xy2z2exz36.設(shè)zuv t cosu，ute，v In t，求全導(dǎo)數(shù)dzdt解：-zuv tcosuv2tsin u，uuz一uv tcosu2uv，cosuvvtdzdt7.設(shè)u解:dudtu dx

13、 u dy u dz x dt y dtz dtxxxe y z e cost e si nt2etsint8.曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對于x軸的傾角是多少解：丄x2x41 tg，故2,4,59.求方程務(wù)a2yb22z2c1所確定的函數(shù)z的偏導(dǎo)數(shù)。0，即Zx2c x2a z依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，全導(dǎo)數(shù)為dt關(guān)于 y 求導(dǎo)，有10. 設(shè)Z ye2xXsin2y,求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。解：先求一階偏導(dǎo)數(shù)，得 2ye2xsin2y, e2x2xcos2y xy再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得2zz2x“2x22 yesin 2y4 ye，xxxx2zz-2x-2x2cos2y，2 yesi n 2y2ex yyx

14、y2zz2xe2xcos2y2e2x2cos2y，y xxyy2zz2x2x cos2y2一 e4xsi n2yyyyy11. 設(shè)Z f x,y是由方程-In Z確定的隱函數(shù)，求，二z yx y解一：記F x, y,z In ，則z yIn Z兩邊求偏導(dǎo)數(shù)，并明確z是x、y 的函數(shù)，即可y得二，2y2z2zyc0，即Zy2c yb2zFxFyz2yi yFzx2z1x z2zx1FxzzFzx 2x zz21Fyy2zFzxz。y x zz2當(dāng)Fz0時(shí)，便得xZyyz解二：（提示）直接對方程z12設(shè)xy eyex，求dX解：令F x, y xy eyex，貝U Fxyex， Fyx ey，則d

15、yFxy exdxFyx ey。13.設(shè)zf x,y是由方程ezz xy320確定的隱函數(shù)，求z，z，zxyx y解：方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)，有zzze xxy30，即ez1 y30 x解得3z yx 1 ez類似地, 方程兩邊對 y 求偏導(dǎo)數(shù)，解得c2z 3xyzy 1 e再求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得ez23 zxy e彳z3。1e2x2z2yC222 21,22 xy1,27y1,22 xy在點(diǎn)In 2z1,221,2的全微分。解：二x22z3y21 ezy3把上述上的結(jié)果代入,y便得:2z3y21 ez 214.設(shè) zx2yecosy，求全微分 dz。解：由于-2xyex2ex2sin y所以全

16、微分為dzdxxdyy2xyexdx2exsin y dy。15.求函數(shù)24所以dz dx -dy。7716.利用全微分求.2.9824.012的近似值。解：設(shè) zx2y2，則全微分 dz Jxx -x2 2y由近似關(guān)系 z dz，得y2x2上式中取 x 3 ,x 0.02，0.01,2 2.2.984.01,32420.02-32440.015 0.012 0.008 4.996因此，所求近似值,2.9824.0124.996。17.求拋物面z x2y2與拋物柱面yx2的交線上的點(diǎn)P 1,1,2處的切線方程和平面方程。解：交線方程yzx2x2，只要取yxx,2yx ,24zxx7則有直1，d

17、y2x，dz2xdxdxdx1,2,6。切線向量為x1y 1z 2126法平面方程為x 12 y16 z22218.求曲面yz3上點(diǎn)P419222解：記F x, v,zxy3，419Fxx, y, zx，F(xiàn)yx, y,z2y，F(xiàn)z22T21,32,則x, y,zx作參數(shù)，得參數(shù)方程:4x3，于是交線在點(diǎn)P 1,1,2處的切線向量為0，即x 2y 6z 150。處的切平面方程和法線方程。于是曲面在點(diǎn) P 處的法線向量為n Fx2, 1,3,Fy2, 1,3,Fz2, 1,31, 2,2 3322從而，切平面方程為1 x 22 y 1 z 30，即x 2y z 60，法線33方程為一匕。12231

18、9. 求曲線x4t,y t2,z t3上點(diǎn)MXo,yo,Zo，使在該點(diǎn)處曲線的切線平行3于平面x 2y z 6。解：曲線在點(diǎn)MoXo,y,Zo處的切線方程為2,1處，A 2e 0，B 0，C 2e，AC3xX。yyx toy tozzoz to又切線與平面x 2y z 6平行，即切線的方向向量和平面的法向量垂直，應(yīng)有422x to1 y to2 z to1 o，即卩4to3too，得to33所以Mo點(diǎn)的坐標(biāo)為8,4,。9 9272o.求函數(shù)f x, y 4 x y x2y2的極值。f x v 4 2x o解：解方程組，求得駐點(diǎn)2, 2，由于Afxx2, 22 ofyx,y 4 2y oB fx

19、y2.2 o，C fyy2, 22，AC B2o，所以在點(diǎn)2, 2處，函數(shù)取得極大值，極大值為f 2, 2B2 4e2，所以函數(shù)在點(diǎn)21處取得21.求函數(shù)f x, y解：解方程組2xxxx, y 4e xe2xxfxx, yfyx, yy22yy22y的極值。2xe2e22x 2y 4y 12y 200，得駐點(diǎn)xyxy4e2xyy2e2x在點(diǎn)1。92極小值，極小值為f21 f。22.要建造一個(gè)容積為 10 立方米的無蓋長方體貯水池，底面材料單價(jià)每平方米20元，側(cè)面材料單價(jià)每平方米 8 元。問應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸，方便材料造價(jià)最省解：設(shè)水池的長為x米，寬為 y 米，高為z米，則材料造價(jià)為且x, y ,

20、z必須滿足xyz 10，水池的材料造最小。(B)1.求下列函數(shù)的定義域據(jù)題意存在最小造價(jià),x 是唯一駐點(diǎn)，所以當(dāng) x 2 ,y(1)z arcs in2x y ln ln 104y2解：設(shè)定義域 D。使arcsin x有意義的區(qū)域?yàn)?1，即1x2y21,y21,使In In 104y2有意義的區(qū)域?yàn)椋?0 x24y24y29故定義域 Dx, y | y212 2猗牛 1。如圖u 20 xy 16xz x y ，(z 0) , v*1*從解出z10代入,得 uxy20 xy 160 -x1,(x 0,y 0)，于是冋題就成y為求u當(dāng) x 0 ,y0時(shí)的最小值, 由極值的必要條件，有20y20 x

21、1602x1602y0；0.(1)U-42 2x y 12 2x y解: 設(shè)定義域?yàn)?D224。由根式性質(zhì)可知，必須-y2o,且4 x24 x yy20，即2y2x2y2x0解得:0 x, y|1x2如圖 3解：設(shè)則得f x y,由此 f從而f3.1 vuv1u,vx, yf X y,xy(2)設(shè)f x, yuv1 vu21 v1 v解：f xy, f x, y求下列函數(shù)的極限lim 1xy2y,xy1 xyxy求f xy,2f x,y2 x2y2x, yxy 2 x 2y2x 4y xy.(1)22f3，12x f31。2 2y ,x解: 原式 limxylim exx 0y 01F sin

22、解: 原式sin elim001 2x y2 2ex y4設(shè) fx,yx4xy2y0 ,解：取沿直線,當(dāng)(x,y)當(dāng) x,yx 的途徑，當(dāng)P0,00,0 x, y問叩x,y 是否存在00,0時(shí),lim f x, yy xx 0lim 4 lim 亠?冷 x4x2x 0 x211,沿拋物線y x的途徑，當(dāng)P x,y0,0時(shí)，有xxlim4-y xx xx 0lim f x, yy xy 0可見，沿兩條不同的途徑, 函數(shù)的極限不同，故極限lim f x, y 不存在。x 0y 0 xsin x 2y5討論函數(shù)的連續(xù)性,其中f x,yx 2y0 ,x 2y。x 2y解：在0,0處,XmoH X所以f

23、 x, y在0,0處連續(xù)若xo2yo0，則取路徑x 2y,yo則lim fx 2yx, yxxolim xx 2 yx Xosin x 2yx 2y2yoX。f x,y因此，間斷點(diǎn)為直線x 2y，除0,0以外的其他點(diǎn)xy6.二元函數(shù) f x, y了, x, y0 ,連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；不連續(xù), 偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。解：應(yīng)選f x, y在0,0處的偏導(dǎo)數(shù)存在。解：令ux2y，vy，于是7.設(shè) zx2yy，求二,xv 1vu2xyuvlnu 0 2xy21vuv1x2uvIn u 1x2y18.設(shè)uf 2x33y22z求丄x2fT。x解：一x6x2f 2x33y22z，x212xf

24、36x4f9.設(shè)uf 2x3,3y2,2z，求丄z2f。z x10.設(shè)zxyf xf可微，求 dt。0,0在點(diǎn)0,0處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在;0,0 x,y事實(shí)上，由于limx 0 y kx 0 x*2xy2yk1 k2隨 k 的值不同而改變，所以極限不存在，因而f x, y在點(diǎn)0,0處不連續(xù),fx0,0limx Ix 0 x202x0,類似地fy0,00，所以22f3，12x f31。2 2y ,x解:dzdx上dy， 先求-z? zxyxyzyfxy f12x f22xyf2x2y f1xzxfxy f12y f22yxf2xy2f1y所以dzyf :2x2y f1f2dxxf2xy211.

25、設(shè)f xy,yz,xz0， 求ft-z? z-。xy解:關(guān)于x求導(dǎo)，而zz x, y得zzF1yF2 -F3z x-0 xx即F1y F3z F2F3Xz0(*)22xziyF12F3F3f2dy。得:F2相仿地,可得F2yxF1。F2XF312.設(shè)求dzdz解：令zyx x zz 1zyx 1z Ixz y In yxxzzxln彳zyzlny dx dy，于是在1,1,1處dz x ydy。13. 設(shè)zf r cos,r si n可微，求全微分 dz。解:dz df r cosr si ndf1d r cosf2d r sincos drr sin df1sin dr r cos d f2

26、f1cosf2sindrf2cosf1sin rd。1 12 y z 0的條件下14.設(shè)z f x,y是由方程f乙yz0所確定的隱函數(shù)，其中f具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求 dz，并由此求和蘭。y解：方程兩邊求全微分,f1d x z f2d yzfidx f1dz f2zdy udz即f1dx zf2dyyf2dz0，當(dāng)fyf20時(shí)，解出dz1dx yf2旦dy1yf2由此得到f1z1yf2yZf2-oyf215.求 zx2y2 xy的偏導(dǎo)數(shù)。解：令ux2v xy，貝U zy 的復(fù)合函數(shù)。v 1vuu-uvi nu,vu-2x,于是,zv 1vux2x uvlnux2xy2x2y2xyinvuv12yu

27、vin u xxy2xy222x yxln16.設(shè)x2xdx,求dzdydz解：所給方程組確定兩個(gè)一元隱函數(shù):y z，將所給方程的兩邊對z求導(dǎo)，得dx dy1dz dzc dx小_dyc2x2y2zdz dz2x 2y92436x28y21111dx2z2yyzdy2x2zz xdzDxydzDx yo317設(shè)u解:uxxyzyze，2uxyzz yex yyxyze,xyzxyzz e xyze3uxyzxyz exyzxyz exyzzxyez1xyzxyz e xy3xyzx2y2z2exyz18.求函數(shù) uxyz 在點(diǎn)5,1,2處沿從點(diǎn)5,1,2到點(diǎn)9,4,14方向的方向?qū)?shù)。解：L

28、95,4 1,1424,3,12|L| 13,cos13cos313cos12。13因?yàn)榇鏲osxu cosyu cosz所以丄l4yz3xz1312xy135,1,214 10121398-。1319.求函數(shù) u一在點(diǎn)2zM 1,2,2t2,z2t4在此點(diǎn)的切線方向上的方向?qū)?shù)。解：因曲線過M1,2, 2點(diǎn)，所以t0 x toy t4,z t0切線的方向余弦為靂,又 uxuzM27，故寸8272272272y2y82z2 32zM16。20.求函數(shù) u_827，類似地,Uy_227，在點(diǎn) P 處沿方向 n 的方向?qū)?shù)。21 判斷題：(簡單說明理由)解：錯(cuò)。因前者是雙側(cè)極限，后者是單側(cè)極限。(

29、2)若 f x, y 在xo,yo處的偏導(dǎo)數(shù)，一存在，則沿任一方向 I 的方向?qū)?shù)均存y y解：錯(cuò)。由于偏導(dǎo)數(shù)僅刻畫了 f x,y 在x0,y0處沿x軸或y軸的變化率，要確定函 數(shù)xo, yo處沿任一方向的變化率，還應(yīng)要求此函數(shù)在xo, yo處可微。2 2 222.證明曲面x y3z34上任意一點(diǎn)的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常數(shù)。證：令F x,y,zx23y23z234。由于曲面F x, y, z 0的法向量是Fx,Fy,Fz，故曲面上任一點(diǎn)x, y,z處法線方向向量為x3,-y3,-z3，設(shè)X,Y,Z為點(diǎn)x, y, z33316 17 18 19處切平面上任 點(diǎn)，則切平面方程為 -2x3

30、X x3 -y3Y3y -z3Z z 0，即31 1x3X y3Y1z3Z 4，其截距式為X1Y1Z11，由此得截距的平方和為：4x34y34z316 x23y23z2316 464。23.證明：球面刀：x2y2z21上任意一點(diǎn)a, b, c處的法線都經(jīng)過球心證：令F x, y, z x2y2z2 1，貝Ua,b,c刀，上2xa,b,c2a，xa,b,c解：gradu一 u u u ux,7由上u則丄u8yz *6x 8y2P8u.14z_ 6xpz, 6x28y26gradu n0，曲面的外側(cè)法線向量為14142,31117P2c2x 8y2z614，.14n 4x,6y,2zP2 2,3,

31、1fx,y y就是 f x, y 在xo, yo處沿 y 軸的方向?qū)?shù)。xo,yo24.求橢球面3x2y2z216上的一點(diǎn)1, 2,3處的切平面與平面 z 0 的交角。解：設(shè)F x, yz 3x2y2z216，則法向量為Fx6x，F(xiàn)y2y，F(xiàn)x2z，在1, 2,3處的法向量n6, 4,623, 2,3。又平面 z0 的法向量n10,0,1，由平面夾公式：302 0 3 11 |33cosJ( 3)( 2) 32后v;22，即arccos=。V2225. 設(shè)u，v都是x， y，z的函數(shù)，u，v的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明:_ F- rgad(uv)vgraduugradv。uvuvuv證：gra

32、duviJkxyzuv .uv .uv .vuivu- Jv -ukxxyyzzu.u .u ,vvvv1-jk uijkxyzxyzvgradu ugradv26. 問函數(shù)u xy2z在P 1, 1,2處沿什么方向的方向?qū)ё畲?，并求此方向?qū)?shù)的最 大值。解: graduUx,Uy,Uzy2z,2x yz xy2gradU2,4,1 是方向?qū)?shù)最大值的方向。1, 2,2gra dU站24212v21是此方向?qū)?shù)的最大值。2 2 227. 求內(nèi)接于橢球面 -2 -zr 1的最大長方體的體積。a b2c2Fya,b,c2ya,b,c2b，za,b,c2Za,b,c2C，法線方程為:x a y b2

33、a 2bz c2c于是任一法線都過原點(diǎn)解：設(shè)P x, y, z是內(nèi)接長方體在第一褂限內(nèi)的頂點(diǎn)，由對稱性，長方體的體積為:V 8xyz( x 0,y 0, z 0) (*1)2由題意，所求的最大體積存在故以點(diǎn)（辛，丁，333內(nèi)接于橢球面的長方體的體積最大。最大體積為 V 8a b cabc。3 J3 d3928.某公司通過報(bào)紙和電視傳媒做某種產(chǎn)品的促銷廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R 與報(bào)紙廣告費(fèi)x及電視廣告費(fèi) y（單位：萬元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式:R 1514x2 231 y 8xy 2x 10y，在卩艮定廣告費(fèi)為萬元的情況下,求相應(yīng)的最優(yōu)廣+綸HI夂 口策略。解；作L-函數(shù)：F x, y,

34、 z 1514x31 y 8xy 2x210y2x y 1.5Fx13 8y4x0令Fy31 8x20 y0Fx y1.50由于P x, yz在橢球面上，故x， y，z應(yīng)滿足條件:2 2x ya b2冷1,于是問題即求函c數(shù)（*1）在約束條件（*2） 下的條引入L 函數(shù)F x, y,z,8xyz222xyz12221Fx8yz2a0, (1)Fy8xz2 y b20, Fz8xy2 z20, c2yb2得：8xyz得唯一解:b,3，） 為一個(gè)頂點(diǎn)所作的對稱于坐標(biāo)面的2 x令22z2得2x6y 9得唯一解：x0，y 1.5。xy 1.5又由題意，存在最優(yōu)策略，所以將萬全部投到電視廣告的方案最好。

35、29求函數(shù)f x,y ex y的n階麥克勞林公式，并寫出余項(xiàng)。Rn0,012x2!(ofx0,01,2xy y2fy0,01n!1,同理Rn30.利用函數(shù)f x, y解：在點(diǎn)1,1處將f 1,1fxx1,1yy1,1所以f11.021x, y1,fx1,1xyl n2x,y1,10.1yxy11,10.02y的 2 階泰勒公式，計(jì)算 1xy展開成三階泰勒公式:1,11 ,11,fyfxy1,11.102o證明：因?yàn)?x2y22 xy，即|xy |所以2 2y2 2x y2、”x2y20時(shí)，就有1,1 xy所以 liml_x 0ox 0 J 22y 0 x yIn x1,1xyxy1(C)y 1

36、yxnxmyn m0,0ex y0,01，nkx yk 0k!1102的近似值。In1,1Rn所以中丄2x2!R22.設(shè)f x, y | x y | x,y，其中x, y在點(diǎn)0,0，鄰域內(nèi)連續(xù)，問(1)x, y在什么條件下，偏導(dǎo)數(shù)fx0,0，fy0,0存在；(2)x, y在什么條件下,可微。求理。dx分析：可依隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出解；由y f x,t，得解: (1)lixlimy 00 xf 0 x,0f 0,0 xf 0,0yf 0,0yf 0,0yf 0,0yxim0Em分析：從定義出發(fā)，進(jìn)行推演f 0 x,0 f 0,0limxx,0 x0 xlim x,0 x 0yim0limy 0若o

37、,o則偏導(dǎo)數(shù)fx0,0 x,0 y f 0,0y I x, ylimx 00,0 x,00,0y 0,yyyim00,y0,00,y0,0，fy0,0存在，且fx0,0fy0,0I xx2y|2yI x| I y|2r22，x y故若0,00,0 時(shí)，有fx0,0 xfy0,0 y2yx y x, y: 2 2x y所以當(dāng)0,00時(shí)，f x, y在0,0處可微，且df 03.設(shè)yf x,t而t為由方程X, y,t 0所決定的函數(shù)，且x, y,t是可微的，試f dtdydx x t dxx, y在0,0處odx由x, y,t 0，得解：將U，V看作x， y，z的函數(shù)，將方程組對x求偏導(dǎo)，得_ dyx y dx色0(2)t dx將代入，得dydx4.設(shè)z解：對少x y dxz x, yInxet2dt 0 確定,y求0 x yIn z1 zz xdt0 兩邊關(guān)于x求導(dǎo),x2解得：上xx2zez 1原式兩邊對 y 求導(dǎo),解得2zeyz 1(1)式兩邊對 y 求導(dǎo)得zx2彳e z 1 ze yz 12x2x2ez 1以(2)式代入即得:zex5.從方程組2x中求出1Ux，Vx，Ux2，vx2010uxuVxuxV Vx0（*）程:解得uxVxV u再將方程組（*）對x求偏導(dǎo)數(shù)，得Ux?J1 u2解得:6.設(shè)x2Vx2ux22VxVx22uxV2Vxu解：二x1 u2u Vx, y