九年級春季班第16講：兩條線段間的函數(shù)關(guān)系問題-教師版-張于

1、Clj知識結(jié)構(gòu)兩條線段間的函數(shù)關(guān)系問題知識精講277 / 151、知識內(nèi)容:(1)銳角三角比的意義:正切：tan A 余切：cot A 正弦：sin A 余弦：cos A銳角A的對邊 銳角A的鄰邊 銳角A的鄰邊 銳角A的對邊 銳角A的對邊 斜邊銳角A的鄰邊斜邊BC aAC bACBCBCABACAB(2)同角、余角、等角的銳角三角比的關(guān)系:22i .當(dāng) A 為銳角時，tanA cot A 1 , sin A cos A 1；ii .當(dāng) A 與 B 互余時，sin A cosB, tanA cotB；iii .當(dāng)兩個角為銳角，且相等時，那么他們的銳角三角比的值相等.2、利用銳角三角比解題的基本條

2、件：將所用銳角放進直角三角形中.3、解題思路：判定需要確定解析式的兩條線段是否在同一個直角三角形中，若在，直接利用銳角三角比列比例式；如若不在，再去判定兩條線段是否分別在兩個直角三角形中，再找到兩個三角形中相等的角，利用銳角三角比來確定比例式，從而求出解析式.【例1】 已知：e O的半徑為5,點C在直徑AB上，過點C作e O的弦DELAB,過點D作直線 EB的垂線DF,垂足為點F,設(shè)AC = x, EF = y.(1)如圖，當(dāng)AC = 1時，求線段EB的長;(2)當(dāng)點F在線段EB上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域;2BE= . BC2 CE2(10X)210XV10010X . DF

3、 XEB, cosE=空 CE；10X X2210X X2.10010X 'y與X之間的函數(shù)解析式為yX 100 10X,7E乂域為 0 X5(3)當(dāng)點F在線段EB上時,. EF = 3BF, EF = 3 BE,得)71004510X4而0解得：X1 10 (不符合題意)，X2154當(dāng)點F在線段EB延長線上時，同理BEJ00 10X ,EF xJ100 10x5,. EF = 3BF, EF = 3 BE , 2解得： 10 (不符合題意)X 得 100 10X 5153 一 “100 10X , 2X2DE BE線段AC的長為15或竺.42【總結(jié)】本題主要考察圓背景下的線段間的數(shù)量

4、關(guān)系,解題時注意利用相關(guān)定理.【例2】在Rt ABC中,/C = 90 ； BC = 2, Rt ABC繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點 C落在斜邊AB上的點D,設(shè)點A旋轉(zhuǎn)后與點E重合，聯(lián)結(jié)AE.過點E作直線EM與射線CB垂直，交點為M.(1)若點M與點B重合(如圖1),求cot/ BAE的值;(2)若點M在邊BC上(如圖2),設(shè)邊長AC = x,BM = y,點M與點B不重合，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)點M90BC BD 2, AC ED , CBA EBD , EDBEM CB ， EBC 90 ， CBA EBD 45 .CAB CBA 45 ,AC

5、CB 2 .AB 2顯DE DB,AD-cot BAE V2 1 .DE2, AD 2j2 2 .(2)設(shè)EM與邊AB交點為由題意可知：12 90 ,3CBA3,1 CBA. EBD CBA,EDG BDE , EDGs BDE .EBD ,ED DGBD ED. BC BD 2, AC ED x,2.xDGx一一 , . DG .2x2由題意可知：cos ABCAB x24, GBMB BG22BCAB 'y4 x222 當(dāng)與Jx2 4 ,定義域為x 4【總結(jié)】本題主要考查直角三角形背景下的線段間的函數(shù)關(guān)系式的確定,注意對相似性質(zhì)的熟練運用.模塊二：利用勾股定理構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式知識精講

6、1、解題思路：判定需要確定解析式的兩條線段是否在同一個直角三角形中，若在，直接利用勾股定理列出等式，求出函數(shù)解析式來；如若不在，再去判定兩條線段是否分別在兩個直角三角形中，利用已知條件分別表示出兩條線段的長來，再根據(jù)線段之間的關(guān)系列出相應(yīng)等式，從而求出解析式.【例3】例題解析如圖，在矩形 ABCD中，AB = 9,BC = 15.將點B翻折到AD邊上的點M處，折痕與AB相交于點 巳與BC相交于點F.如果AM = x, BE = y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.【解析】Q將矩形ABCD沿EF翻折后，點B與點M重合,BE EM .Q AM = x, BE = y, AB = 9,又

7、在 RtAEM 中，AE2 AM2 EM2,222(9 y) x y ,81 x218當(dāng)點E與點A重合時，此時BE = 9,解得：x 9;當(dāng)點F與點C重合時,則 MF BC 15,MD 12,AM 3.81 x218(3【總結(jié)】本題主要考察翻折的性質(zhì)及勾股定理的綜合運用，注意定義域的確定.【例4】 在Rt ABC中，/ BAC = 90 °, BC = 10, tan Z ABC =3，點O是AB邊上的動點, 4以O(shè)為圓心，OB為半徑的e O與邊BC的另一個交點為 D ,過點D作AB的垂線，交e O于點E,聯(lián)結(jié)BE、AE.(1)如圖，當(dāng) AE / BC時，求e O的半徑;(2)設(shè) B

8、O = x, AE = y,求 y 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式,【解析】(1) DE± AB, AB過圓心O,AB垂直平分DE,.BE = BD,EBA =/ DBA,. AE / BC, .EAB =Z DBA ,./EAB =/EBA,BE = AE, . BD=AE,又DE，AB, ACXAB, . AC / DE,AEDC為平行四邊形,.AE = DC , BD = DC = 5,作 OH，BC 于 H ,貝U BH = DH=-BD =-，325tan ABC , . BO=，48即。O的半徑長是25(2)聯(lián)結(jié) AD ,作 AM，BC 于 M ,作 OH，BC 于 H. DEXA

9、B, AB 過圓心 O,.AB 平分 DE,AB是DE的中垂線,.AD = AE = y,在Rt BOH中,BO = x, tan ABCBH = _ x ,524則得AM =,5BD =8x ,5BM =32 , DM =32在Rt ADM中,AD2 AM2DM2 ,即 y224 2()25y= - Jx2 8x 25 ( 0 x 525、一)4【總結(jié)】本題主要考察圓背景下的線段間的函數(shù)關(guān)系式的確定,理.則 BH = DH,(328、2x), 5解題時注意利用圓的相關(guān)定模塊三：利用相似三角形性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式知識精講1、知識內(nèi)容：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平

10、分線的比都等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方.2、解題思路：利用已知條件尋找題目中的相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出相應(yīng)的比例式，再去判定所要確定的線段函數(shù)關(guān)系式是否包含在所列的比例式中，若在就直接求出解析式； 若不在先利用相似三角形的性質(zhì)表示出相關(guān)線段的長度，然后再去利用線段和差或者其它等量關(guān)系等確定所求線段的函數(shù)關(guān)系式.例題解析【例5】 如圖，e O與過點。的e P相交于AB, D是e P的劣弧OB上一點，射線OD交e O2于點E,交AB的延長線于點 C.如果AB = 24, tan AOP 上.3(1)求e P的半徑長；(2)當(dāng) AOC為直

11、角三角形時，求線段 OD的長;(3)設(shè)線段OD的長度為x,線段CE的長度為y,求y與(1)設(shè)OP延長線交AB于H ,聯(lián)結(jié)AP,1AH-AP 12 ,2 tan AOP . OH 18;3在 Rt AHP 中，AH2 PH2 AP2218 rP12 rP ,解得：rP 13;(2)過點P作PG OD于G點, OA AH2 OH2122182 653, AOC 90 , GOH. PGOs OHA, OGAHAOH ;OPOA ,OG13126 13 'OG 2M ,OD(3)過點H作HIOC于 I,.PG / HI , OGOIOPOH1一 x2 oT1318OI9x ;13易得OHIs

12、 OCHOH2 OIgOC ,即 1829 xg y136713 ,468 yx6M).【總結(jié)】本題主要考察圓背景下的線段間的函數(shù)關(guān)系式的確定,解題時注意垂徑定理及相似性質(zhì)的綜合運用定.【例6】 如圖，在 ABC中，AB = AC = 6, BC = 4, eB與邊AB相交于點D,與邊BC相 交于點E,設(shè)e B的半徑為x.(1)當(dāng)e B與直線AC相切時，求(2)設(shè)DC的長為V,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域;(3)若以AC為直徑的eP經(jīng)過點E,求e P與e B公共弦的長.【解析】(1)作AG，BC于G , BH，AC于H , AB = AC, AG ±BC, . . BG =

13、GC = 2,.AG = AC2 CG2.622242又 AG BC = BH AC,AG BC 42 4BH AC8.23，當(dāng)e B與直線AC相切時.872.3(2)作 DF, BC 于 F,則 DF / AG , BDABDFAGDFBFBD sin Bx DF尸,6 4,21x , 1. CF = 4 313x，在RtCFD 中,CD2=DF2 + CF2,122. 22(4 3x)( 3 x)*28-x 16 (0 3(3)解法一:作PQBC于Q.EF是eB、eP的公共弦, BPXEF,且 EG = FG ,e P 經(jīng)過點 E, PA = PE = PC, AEXBC,又 AC = A

14、B, .1. BE = EC = 2PQ / AE,且P是AC的中點,PQ = 1AE 2 亞2.CQ = 1, BQ = 3,設(shè)BP交EF于點H ,即22EF2mCP = 3,3217BP =17 ;設(shè)BH2m ,解得:BE2 BH2m ±734 ,17PE2 PH 2,1”解法二：作PQBC于Q.EF是eB、eP的公共弦， BPXEF,且 EG = FG,e P 經(jīng)過點 E, PA = PE = PC, AEXBC,又 AC = AB, . . BE = EC = 2PQ / AE,且P是AC的中點，PQ = 1AE 2垃,CP = 3,2 . CQ = 1 , BQ = 3,

15、BP =同EG而 Rt BQP s Rt BGE , PQBE Rn EG 2”4. 34,即=EG BP 2.2, 1717公共弦EF =8_絲17當(dāng)點E和點C重合時，EF綜上所述，eP與eB公共弦的長為 見34或16 扃. 1717【總結(jié)】本題綜合性較強，既考查了直線與圓相切，又考察了兩圓相交的問題，注意對相關(guān) 定理的運用.BC,(1)當(dāng)D為邊BC中點時（如圖1）,求弦EF的長;設(shè)上BCx , EF = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（不用寫出定義域）若DE過AFB 90時（如圖2),求CE的值.ABDH ECAABC的重心，分別聯(lián)結(jié) BF、AF、CE,當(dāng)FD 于 H 點，貝U AH = C

16、D = BD,【解析】（1）過點A作AHHEEDHEAC-AC 2HEHD1, EFAHAHBD2HECDBC2； HE2ACDE過重心,一 yDEACBDBCEFABC 90BFD90BED FEAEFA,【例7】 如圖，在RtABC中，ACB 90,AC = 2,點D、E分另1J在邊BC、AB上，ED以AE為半徑的e A交DE的延長線于點F .DBEs DFCBD2DEgDF ,BD4.2,3CD12.2-BD 23BC2&,CEAB.DE2 CD2AC2 BC2【總結(jié)】本題考察的知識點較多，解題時注意從多個角度思考，相關(guān)定理要熟練運用.隨堂檢測【習(xí)題1】 如圖，梯形ABCD中，A

17、D / BC,對角線 ACXBC, AD = 9, AC = 12, BC = 16 .點E是邊BC上的一個動點，/ EAF =/BAC, AF交CD于點F,交BC延長線于點 G,設(shè) BE x.(1)試用x的代數(shù)式表示 FC ;(2)設(shè)FG y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.EF【解析】(1)在 Rt ABC 中，AC = 12, BC = 16, .AB= AC2-BC2.12216220,AGCE同理，在Rt ACD中，AD = 9,AC = 12, .CD= . AC2 AD2122 9215,在 Rt ABC 和 Rt ACD 中，,c AC 123ADtan B tan A

18、CD BC 16 4 'AC912/ B =/ACD./EAF =/BAC,BAE = / CAF . /ABEsABBE2012,即ACCFxCF3 CF -x5(2)由(1)得： ABEsACF ,則空ACAEAF又/ EAF =/BAC,ABE./EFA =Z ACB = 90 °, Z B =/AEF.解法一：. / AEF +/FEC =/B + /BAE, ./ BAE =Z FEG,tan FEGtan BAE ./74過E作EH LAB,垂足為H,FGy EFtanFEGtan BAEEHAH.BE=x, EC 16BHBE cos B4-x, EH BE 5

19、sin B -x, 5AH 20BH203 y - x:5204-x54x .53x(0100 4x解法二： ad/bc,_AD 2FCG CF ,即 9:CG 15 3x :3x, CG 9x5525 x / BAE = / FEG , / BAE = / CAF ,Z CAF =ZFEG, tan FEGtan CAG .CGAC3x100 4x(0 x 16) .279 / 152)問是線段間【總結(jié)】本題主要考查相似的綜合運用，注意尋找圖形中的基本模型，第( 的比要注意進行分析.【習(xí)題 2】 如圖 1,在梯形 ABCD 中，/A = 90 °, AD / BC, AD = 2,

20、 AB = 3, tan C點P是AD延長線上一點，F(xiàn)為DC的中點， 聯(lián)結(jié)BP,交線段DF于點G.(1)若以AB為半徑的eB與以PD為半徑的eP外切，求PD的長;(2)如圖2,過點F作BC的平行線交 BP于點E,若設(shè)DP = x, EF = y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍;聯(lián)結(jié) DE和PF,若DE = PF,求PD的長.圖1圖2【解析】(1) .在 Rt ABP中，AD = 2, AB = 3, DP =x,BP=43 (2 x)2 .以AB為半徑的eB與以PD為半徑的eP外切，BP = AB + PD ,即 J32 (2 x)2 3 x,解得：x 2 .當(dāng)PD的長為2時，以

21、AB為半徑的eB與以PD為半徑的eP外切.（2）聯(lián)結(jié)DE并延長交BC于點M,過D作DNLBC于點N （如圖）. F為DC的中點，EF / BC,DE = EM , CM = 2EF. AD / BC, DEP MEB, .DP = BM ._1_- tanC - , DN= 3,2.CN = 6. AD = BN = 2, .BC = 8. DP=x , EF= y , BC = BN + CN ,8 x y-2-(0 x 8).(3) AD / EF , DE = PF當(dāng)DP = EF時，四邊形 DEFP為平行四邊形.當(dāng)DP EF時，四邊形 DEFP為等腰梯形.過E作EQXAP于點Q, 則D

22、Q=-. EQ / AB, BE = PE , ac 2 x AQ=.2x2,.PD的長為8或4.3【總結(jié)】本題綜合性較強，考察的內(nèi)容比較多，第（1）問注意將相切問題轉(zhuǎn)化為線段間的3）問要分類討論.量關(guān)系，第（2）問注意添加合理的輔助線，將問題進行簡化，第（課后作業(yè)【作業(yè)1】如圖，正方形 ABCD的邊長為1,點E是弧AC上的一個動點，過點 E的切線與AD交于點M ,與CD交于點N.(1)求證：/ MBN = 45 °(2)設(shè)AM = x, CN = y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.【解析】(1)連接BE .Q E是弧AC上的一個動點，過點 E的切線與 AD交于點 M ,BE MN .Q正

23、方形ABCD,BAM BCN 90 .Q BA BE BC ,Rt BAM 9 Rt BEM , Rt BCN Rt BEN ,ABM EBM, EBN CBN.Q ABC ABM EBM+ EBN CBN 90 , _ oMBN EBM + EBN 45 (2)由(1)可得，ME AM x , EN CN y .MN EN EM x y .Q AD CD 1 ,DM 1 x, DN 1 y .在Rt DMN中，_222Q DM DN MN ,(1 x)2 (1 y)2 (x y)2,1 xy ； (0 x 1).x 1【總結(jié)】本題以正方形為背景,解題思路相對比較簡單，注意利用相關(guān)性質(zhì)解題.【作業(yè)2】已知：如圖，在邊長為 5的菱形ABCD中，cos A=g，點P為邊AB上一點，以5A為圓心、AP為半徑的eA與邊AD交于點E,射線CE與e A另一個交點為點 F.(1)當(dāng)點