高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)大題(含詳細解答)

1、高中函數(shù)大題專練1、已知關(guān)于x的不等式(kx k2 4)( x 4) 0,其中k R。試求不等式的解集 A;對于不等式的解集 A，若滿足AI Z B (其中Z為整數(shù)集)。試探究集合B能否為有 限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B ;若不能，請說明理由。2、對定義在0, 1上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù)。 對任意的x 0, 1，總有f(x) 0 ； 當(dāng) x-i 0 ,x2 0, x-i x2 1 時，總有 仁為 x2)f (x() f (x2)成立。已知函數(shù)g(x) x2與h(x) a 2x 1是定義在0, 1上的函數(shù)。(1 )試問函

2、數(shù)g(x)是否為G函數(shù)？并說明理由；(2) 若函數(shù)h(x)是G函數(shù)，求實數(shù)a的值；(3 )在(2)的條件下，討論方程g(2x 1) h(x) m (m R)解的個數(shù)情況。3.已知函數(shù)f (x)(1) 若 f(x)2x2，求x的值;(2)若 2tf (2t) mf (t)0 對于 t2, 3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍4.設(shè)函數(shù)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)若當(dāng)x 0時,f(x)1 , x 0;x0, x 0.(1) 求f (x)在(，0)上的解析式.(2) 請你作出函數(shù)f(x)的大致圖像.(3) 當(dāng)0 a b時，若f (a) f (b)，求ab的取值范圍(4)若關(guān)于x的方程f2(x) bf (x

3、) c 0有7個不同實數(shù)解，求b,c滿足的條件.K5.已知函數(shù) f (x) a 一 (x 0)。|x|(1) 若函數(shù)f(x)是(0,)上的增函數(shù)，求實數(shù) b的取值范圍；(2) 當(dāng)b 2時，若不等式f (x) x在區(qū)間(1,)上恒成立，求實數(shù) a的取值范圍；(3) 對于函數(shù)g(x)若存在區(qū)間m,n(m n)，使x m,n時，函數(shù)g(x)的值域也是m, n，則稱g(x)是m, n上的閉函數(shù)。若函數(shù) f (x)是某區(qū)間上的閉函數(shù)，試探求a,b應(yīng)滿足的條件。6、設(shè)f(x)axbx，求滿足下列條件的實數(shù) a的值：至少有一個正實數(shù) b，使函數(shù)f (x)的定義域和值域相同。7.對于函數(shù)f (x)，若存在x0

4、 R，使f(x0) x0成立，則稱點(xq,x0)為函數(shù)的不動點。(1 )已知函數(shù)f (x) ax bx b(a 0)有不動點(1, 1)和(-3 , -3 )求a與b的值；(2) 若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f (x) ax2 bx b(a 0)總有兩個相異的不動點，求 a的取值范圍；(3) 若定義在實數(shù)集 R上的奇函數(shù)g(x)存在(有限的)n個不動點，求證：n必為奇數(shù)。1&設(shè)函數(shù)f(x) X , (x 0)的圖象為C1、C1關(guān)于點A (2, 1)的對稱的圖象為 C2 ,xC2對應(yīng)的函數(shù)為g(x).(1) 求函數(shù)y g(x)的解析式；(2) 若直線y b與C2只有一個交點，求 b的值并求出

5、交點的坐標(biāo).9. 設(shè)定義在(0,)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個條件： 對于任意正實數(shù) a、b，都有f(a b) f (a) f (b) 1 ； f(2)0 ； 當(dāng)x 1時，總有f (x)1.1(1 )求f(1)及f ()的值；2(2)求證：f(x )在(0,)上是減函數(shù).1 310. 已知函數(shù)f (x)是定義在2,2上的奇函數(shù)，當(dāng)x 2,0)時，f(x) tx丄X3 (t為2常數(shù))。(1) 求函數(shù)f (x)的解析式；(2) 當(dāng)t 2,6時，求f(x)在 2,0上的最小值，及取得最小值時的 x，并猜想f (x)在0,2上的單調(diào)遞增區(qū)間(不必證明)；當(dāng)t 9時，證明：函數(shù) y f (x)的圖象上至

6、少有一個點落在直線 y 14上。, x 711.記函數(shù)f x 、2 的定義域為 A, g x Ig 2x b ax 1 b 0, a R的定義域為B ,(1 )求 A :(2) 若A B，求a、b的取值范圍A412、設(shè) f x- a 0, a 1。1 ax(1 )求f x的反函數(shù)Lx :(2) 討論f 1 x在1.上的單調(diào)性，并加以證明：(3) 令g x 1 log a X，當(dāng)m, n 1, m n時，f 1 x在m,n上的值域是 g n ,g m ，求a的取值范圍。13集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的：(1) 函數(shù)f(x)的定義域是0,);(2) 函數(shù)f(x)的值域是2,4);(3

7、) 函數(shù)f(x)在0,)上是增函數(shù)試分別探究下列兩小題：(I)判斷函數(shù)fdx) ,x 2(x 0)，及f2(x) 4 6 (1)x(x 0)是否屬于集合 A?并簡 2要說明理由.(n)對于(I)中你認(rèn)為屬于集合 A的函數(shù)f(x)，不等式f(x) f(x 2) 2f(x 1),f(x) (x 0)f(x) (x 0)是否對于任意的x 0總成立？若不成立，為什么？若成立，請證明你的結(jié)論.14、設(shè)函數(shù) f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 為實數(shù)),F(x)=(1 )若f(-1)=0且對任意實數(shù)x均有f(x)0成立，求F(x)表達式。(2) 在(1 )的條件下，當(dāng)x 2,2時,g(x)=f(x)-

8、kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。(3) (理)設(shè) m>0,n<0且 m+n>0,a>0且 f(x)為偶函數(shù)，求證：F(m)+F(n)>0 。x15.函數(shù)f(x)=(a, b是非零實常數(shù))，滿足f(2)=1，且方程f(x)=x有且僅有一個解。ax b(1) 求a、b的值；(2) 是否存在實常數(shù) m,使得對定義域中任意的x, f(x)+f(m -c)=4恒成立？為什么？在直角坐標(biāo)系中，求定點A( £,1)到此函數(shù)圖象上任意一點P的距離|AP|的最小值。函數(shù)大題專練答案1、已知關(guān)于x的不等式(kx k2 4)( x 4) 0,其中k R。試求不等式的解集

9、A ；對于不等式的解集 A，若滿足AI Z B (其中Z為整數(shù)集)。試探究集合B能否為有 限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B ;若不能，請說明理由。解：(1 )當(dāng)k0時,A(,4)；當(dāng) k 0且 k 2 時，A4(,4)U(k -,)k當(dāng)k2時,A(,4) U(4,)；(不單獨分析kFv2時的情況不扣分)當(dāng)k0時,A(k4,4)。k(2)由(1)知：當(dāng)k0時，集合B中的兀素的個數(shù)無限；當(dāng)k 0時，集合B中的元素的個數(shù)有限，此時集合B為有限集。4因為k 4，當(dāng)且僅當(dāng)k 2時取等號，k所以當(dāng)k 2時，集合B的元素個數(shù)最少。此時 A 4,4，故集合 B 3,

10、 2, 1,0,1,2,3。2、對定義在0, 1上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù)。 對任意的x 0, 1，總有f(x) 0 ； 當(dāng) Xi 0,X2 0,為 X2 1 時，總有 f(xi X2) f(xj f(X2)成立。 已知函數(shù)g(x) X2與h(x) a 2X 1是定義在0, 1上的函數(shù)。(1 )試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)？并說明理由；(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù)，求實數(shù)a的值；(3 )在(2)的條件下，討論方程g(2X 1) h(x) m (m R)解的個數(shù)情況。解: (1)當(dāng)x 0,1時，總有g(shù)(x) x20 ,滿足，當(dāng) x1 0, x2 0 ,x1 x2 1 時

11、，g(x1 X2) X12 X22 2x1X2 X12 X22 g(xj g(X2)，滿足(2)若a 1時，h(0) a 10 不滿足，所以不是 G函數(shù)；若a 1時，h(x)在x 0,1上是增函數(shù)，則h(x) 0 ,滿足由 h(x1 x2) h(x1) h(x2)，得 a 2X1 X2 1 a 2X1 1 a 2X2 1 ,即 a1(2X11)(2X21)1 ,因為 x-i 0 ,x2 0, x-i x2 1所以 02X11102X211 x1 與 x2不同時等于10(2X11)(2X11)1當(dāng)x11 (2X11)(2X11)X2 0時，(廠1)(2X11)min11綜合上述：a 1根據(jù)(2)

12、知： a=1，方程為4X 2X m ,11由 0211 得 x 0,10 x 111令 2x t 1,2，則 m t2 t (t)224由圖形可知：當(dāng) m 0,2時，有一解；當(dāng)m (,0)(2,)時，方程無解。3 .已知函數(shù)f(x) 2x 4 .2兇(1)若f (x)2，求x的值；(2)若 2tf (2t) mf (t)0 對于 t2, 3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍(1)當(dāng) x 0 時，f(x) 012x由條件可知2x丄2,即2x22x 2 2x 1 0，解得2x 1.2.2x 0，x log 2 1、2.(2) 當(dāng) t1,2時，2t 22t1t1C2tm 2r022t 2t即 m 22t1

13、24t 1 .22t 10，m22t1 .當(dāng) x 0 時，f (x)2xQ t 2, 3,1 22t 65, 17，故m的取值范圍是17,).4 .設(shè)函數(shù)f (x)疋疋乂在R上的偶函數(shù).若當(dāng)x 0時，f (x)1丄x(1)求f(x)在(,0)上的解析式.0,(2)請你作出函數(shù)f (x)的大致圖像.(3)當(dāng)0 a b時，若f(a) f(b)，求ab的取值范圍. 2(4)若關(guān)于x的方程f(X) bf (x) c 0有7個不同實數(shù)解，求x 0;x 0.b,c滿足的條件.解(1)當(dāng) x (,0)時，f(x) f( x)x1(2) f(x)的大致圖像如下:1解得ab的取值范圍是(1，).(3) 由(2)

14、,對于方程f(x) a，當(dāng)a 0時，方程有3個根；當(dāng)° a 1時，方程 有4個根，當(dāng)a 1時，方程有2個根；當(dāng)a 0時，方程無解.15分2所以，要使關(guān)于X的方程f (x) bf(x) c °有7個不同實數(shù)解，關(guān)于f(x)的方程2f (x) bf(x) c °有一個在區(qū)間(0,1)的正實數(shù)根和一個等于零的根。所以 c 0, f (x) b (0,1)，即 1 b 0,c0.$ 已知函數(shù) f(x) a (x 0)。|x|(1) 若函數(shù)f(x)是(0,)上的增函數(shù)，求實數(shù) b的取值范圍；(2) 當(dāng)b 2時，若不等式f (x) x在區(qū)間(1,)上恒成立，求實數(shù) a的取值范

15、圍；(3) 對于函數(shù)g(x)若存在區(qū)間m,n(m n)，使x m,n時，函數(shù)g(x)的值域也是m, n，則稱g(x)是m, n上的閉函數(shù)。若函數(shù) f (x)是某區(qū)間上的閉函數(shù)，試探求a,b應(yīng)滿足的條件。解: (1)當(dāng) x (0,)時，f (x) a -x設(shè) X1,X2 (0,)且 X1 X2 ,由 f (x)是(0,)上的增函數(shù)，則 f(x,)f(X2)f(X1)f(X2)如4 0X-|X2由 x1x2, x1,x2 (0,)知 x1 x20,x1x20,所以 b 0,即 b (0,)(2)當(dāng)b2 時，f (x)a2-x在x (1,)上恒成立，即ax-|x|x因為2x -22，當(dāng)2x -即x

16、邁時取等號，xx.2(1,)，所以x2在x(1,)上的最小值為2 2。則a 2 2(3)因為 f (x)b a|x|的定義域是(,0) U(0,)，設(shè)f (x)是區(qū)間m, n上的閉函數(shù)，貝U mn(4) 若0當(dāng)b 0時,f(x)上的增函數(shù)，則f(m) f(n)所以方程a)上有兩不等實根,axb 0在(0,)上有兩不等實根,所以a24bXiX20a 0，即 a0,b0 且a24bXi時，f (x)(0,)上遞減，f (m) f(n)n，即mmn，所以a 0, b 0 b若m當(dāng)b 0時,f(x)b|x|,0)上的減函數(shù)，所以f (m) f(n)n，即mmn，所以a 0,bbxIa的值：至少有一個正

17、實數(shù)b，使函數(shù)6、設(shè)f (x) ax2 bx ,求滿足下列條件的實數(shù)f (x)的定義域和值域相同。解：(1 )若a 0 ,則對于每個正數(shù) b , f (x). bx的定義域和值域都是0,)故a 0滿足條件(2)若a 0，則對于正數(shù)b，f (x)ax2 bx的定義域為D,0,a但f (x)的值域A 0,故DA，即a 0不合條件；(3)若a 0,則對正數(shù)b，定義域D0,-ab(f (x) max2J aKf (x)的值域為0,2J abba 0a 42. aaa2、 a綜上所述：a的值為0或47.對于函數(shù)f (x),若存在x° R，使f(X。) X。成立，則稱點區(qū)孔)為函數(shù)的不動點。(1

18、 )已知函數(shù)f (x) ax2 bx b(a 0)有不動點(1, 1)和(-3 , -3 )求a與b的值；(2) 若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f (x) ax2 bx b(a 0)總有兩個相異的不動點，求 a的取值范圍；(3) 若定義在實數(shù)集 R上的奇函數(shù)g(x)存在(有限的)n個不動點，求證：n必為奇數(shù)。解：(1)由不動點的定義：f(x)x0 , 2ax (b 1)x b 0代入x 1知a 1，又由x3及a1知b3。 a 1 , b 3。(2)對任意實數(shù)b , f (x)2 axbxb(a0)總有兩個相異的不動點，即是對任意的實數(shù)b，方程f (x) x 0總有兩個相異的實數(shù)根。2ax(b1)xb0

19、 中(b 1)24ab0 ,即b2(4a2)b10恒成立。故 1(4a2)240 , 0 a 1。故當(dāng)0 a1時對任意的實數(shù)b ,方程f (x)總有兩個相異的不動點。.1(3) g(x)是R上的奇函數(shù)，貝U g(0) 0 ,( 0, 0)是函數(shù)g(x)的不動點。若g(x)有異于(0, 0)的不動點(x0,x0)，則g(x0) x0。又 g( x°)g(x°)x° , ( x°, x°)是函數(shù) g(x)的不動點。 g(x)的有限個不動點除原點外，都是成對出現(xiàn)的,所以有2k個(k N )，加上原點，共有 n 2k 1個。即n必為奇數(shù)的對稱的圖象為C

20、2 ,18 設(shè)函數(shù)f (x) x , (x 0)的圖象為Ci、Ci關(guān)于點A(2, 1) xC2對應(yīng)的函數(shù)為g(x).(1) 求函數(shù)yg(x)的解析式;(2)若直線yb與C2只有一個交點，求b的值并求出交點的坐標(biāo)1解.(1 )設(shè)p(u,v)是y x 上任意一點,x設(shè)P關(guān)于A(2,1)對稱的點為Q(x, y),代入得2g(x) x1x4(Xx 4,4)(4,)；(2)聯(lián)立(b6)x4b 90,(b6)2(4b9)b24bb 0 或 b 4,(1 )當(dāng) b0時得交點(3, 0);(2)4時得交點(5,9設(shè)定義在(0,)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個條件:對于任意正實數(shù) a、b，都有f(a b) f (

21、a) f (b) 1; f (2)0 ; 當(dāng)x 1時，總有f(x) 1.1(1 )求f(1)及f()的值；2(2)求證：f(x)在(0,)上是減函數(shù).解(1 )取 a=b=1，則 f (1) 2f(1) 1.故 f (1) 1又 f (1) f (2 丄)f (2) fQ) 1 .且 f (2)0.2 2得：吋)f (1)f(2)1112(2)設(shè) 0X1X2,貝U：f(X2)f(xjX2f(二 X)f(X1) f (竺)f(X1)1 f(x1)X1X1f (芻1依0X1 X2 ,可得空1X1X1再依據(jù)當(dāng)x 1時，總有f(x) 1成立，可得f (X2)1Xi即f(X2) f (Xi) 0成立，故

22、f (x)在(0,)上是減函數(shù)。1 310.已知函數(shù)f (x)是定義在2,2上的奇函數(shù)，當(dāng)x 2,0)時，f(x) tx -X3 (t為2 常數(shù))。(1) 求函數(shù)f (x)的解析式；(2) 當(dāng)t 2,6時，求f(x)在 2,0上的最小值，及取得最小值時的x，并猜想f (x) 在0,2上的單調(diào)遞增區(qū)間(不必證明)；(3) 當(dāng)t 9時，證明：函數(shù) y f (x)的圖象上至少有一個點落在直線y 14上。1 3 1 3 解: (1) x 0,2 時，x 2,0，則 f( x) t( x) -( x) tx -x ,函2 2數(shù)f (x)是定義在 2,2上的奇函數(shù)，即f x f x , f x tx丄x3

23、,即21 3 1 3 f (x) txx3，又可知f 00 ,函數(shù)f (x)的解析式為f(x) txx3 ,2 2x 2,2 ;2,0 , t x20 ,2(2) f x x tX2，: t 2,6 , x23(3) t 9 時，任取 2 x1 x22,3(3) t 9 時，任取 2 x1 x22,x221 2X2t】X2藝， x2 t Jx2,272即x22t -,x 36t32,0)時，fmin猜想f (x)在0,2上的單調(diào)遞增區(qū)間為3(3) t 9 時，任取 2 x1 x22,f x1f x2x1x2 t122小x1x1 x2x20 ,2 4 142ty 14 上。2,2上單調(diào)遞增,14

24、,2t414,2t,2t4，當(dāng) t11.記函數(shù)f2 , f 2，即 f x 4 2t,2t4 , t 9 ,9時，函數(shù)y f (x)的圖象上至少有一個點落在直線x 7的定義域為 A ,x 2lg2xaxb 0,a R的定義域為B , (1 )求 (2 )若B，求 a、b的取值范圍x23,(2) 2xaxb orx212、設(shè) f(1 )求 f(2) 討論(3) 令 g x1x1 a 的反函數(shù)f1 x 在 1.0, a上的單調(diào)性,并加以證明:g n ,g(2 )設(shè) 11 log a x ,當(dāng) m, n，求a的取值范圍。x 1xx 1x-11x-11log aX2 ,x2111, m n時,m,n上

25、的值域是2 x-ix2 0 af 1 x1(3 )當(dāng) 0f 1 m f 1 nX2 , 1時，x1 Tf 1 xf 1 xx1X2在1.在1.x11 x2. f 1 x 在上是增函數(shù)。上是減函數(shù),1.上是減函數(shù):a 1時，, x 1 由 loganlog a x 得-ax，即 ax2 a1x10,11 a 1 2a1.上是增函數(shù)，ff1 m g nm 1 amn an1an g mn 1 amn am1 (舍去)。綜0可知方程的兩個根均大于 1，即f 100 a 32 . 2，當(dāng)a 1時,1x在上，得 0 a 3 2 . i' 2 。13集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的：(1

26、) 函數(shù)f (x)的定義域是0,)；(2) 函數(shù)f(x)的值域是2,4)；(3) 函數(shù)f(x)在0,)上是增函數(shù)試分別探究下列兩小題：(I)判斷函數(shù)f1(x)x 2( x 0)，及f2(x) 4 6 ()x(x 0)是否屬于集合 A?并簡2要說明理由.(n)對于(I)中你認(rèn)為屬于集合 A的函數(shù)f(x)，不等式f(x) f(x 2) 2f(x 1), 是否對于任意的x 0總成立？若不成立，為什么？若成立，請證明你的結(jié)論.解：(1)函數(shù)fdx) .x 2不屬于集合A.因為fdx)的值域是2,),所以函數(shù)f'x).x 2不屬于集合A.(或Q當(dāng)x 49 0時，仏49) 5 4，不滿足條件.)1

27、 Xf2(x) 4 6 () (x 0)在集合A中，因為： 函數(shù)f2(x)的定義域是0,): 函2數(shù)f2(x)的值域是2,4): 函數(shù)f2(x)在0,)上是增函數(shù).1 x 1(2) f(x) f (x 2) 2f(x 1) 6()() 0 ,24f(x) (x 0)f(x) (x 0)不等式f (x) f (x 2)2 f (x 1)對于任意的x 0總成立14、設(shè)函數(shù) f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 為實數(shù)),F(x)=(1 )若f(-1)=0 且對任意實數(shù)x均有f(x) 0成立，求F(x)表達式。(2) 在(1 )的條件下，當(dāng)x 2,2時,g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k

28、的取值范圍。(3)(理)設(shè) m>0,n<0且 m+n>0,a>0且 f(x)為偶函數(shù)，求證：F(m)+F(n)>0 。解：(1)f(-1)=0 b a 1 由 f(x) 0 恒成立 知厶=b2 -4a=(a+1) 2 -4a=(a-1)2 02(x 1)(x0) a=1 從而 f(x)=x +2x+1 F(x)=(x 1)2(x0)22(2) 由(1)可知 f(x)=x +2x+1 g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1 ，由于 g(x)在 2,2 上是2 k2 k單調(diào)函數(shù)，知-2或-2，得k -2或k 6 ,2 2(3) f(x)是偶函數(shù)， f(x)=

29、f(x)，而a>0. f(x)在0, 上為增函數(shù)對 于 F(x),當(dāng) x>0 時-x<0 ,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x),當(dāng) x<0 時-x>0 ,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x), F(x)是奇函數(shù)且F(x)在0, 上為增函數(shù)， m>0,n<0,由 m>-n>0知 F(m)>F(-n) F(m)>-F(n) F(m)+F( n)>0。15.函數(shù)f(x)=(a, b是非零實常數(shù))，滿足f(2)=1，且方程f(x)=x有且僅有一個解。ax b(1) 求a、b的值；(2) 是否存在實常數(shù) m,使得對定義域中任