第二十八講、差倍問題

1、 新思維個(gè)性化教育 Xinsiwei Personalized Education 第二十八講、差倍問題一、知識(shí)要點(diǎn)差倍問題就是已知大小兩數(shù)的差，以及大小兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩數(shù)的問題差倍問題的特點(diǎn)與和倍問題類似。解答差倍問題的關(guān)鍵是要確定兩個(gè)數(shù)量的差及相對(duì)應(yīng)的倍數(shù)差。解題思路：先要找出差所對(duì)應(yīng)的倍數(shù)，先求1倍數(shù)，在求出幾倍數(shù)。此外，還要充分利用線段圖幫助分析數(shù)量關(guān)系。被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對(duì)應(yīng)，相除后得到的結(jié)果是一倍量差倍問題的基本關(guān)系式：兩數(shù)差(倍數(shù))=倍數(shù)(較小數(shù))較小數(shù)X倍數(shù)=幾倍數(shù)(較大數(shù)) 較小數(shù)+差=較大數(shù)解決差倍問題，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)畫線段圖，這樣可以幫助我們更好的弄清各

2、數(shù)量之間的關(guān)系 年齡問題的和差與差倍問題主要利用的年齡差不變。二、典型分析板塊一、差倍問題例1：李爺爺家養(yǎng)的鴨比鵝多只，鴨的只數(shù)是鵝的倍，你知道李爺爺家養(yǎng)的鴨和鵝各有多少只嗎？ 分析引導(dǎo)學(xué)生畫圖，但是一定要強(qiáng)調(diào)差所對(duì)應(yīng)的份數(shù)，這樣我們就可以求一份量（一倍量），從而解決題目與只相對(duì)應(yīng)，這樣就可以求出一倍數(shù)也就是鵝的只數(shù)，求出了鵝的只數(shù)，鴨的只數(shù)就容易求出來了鴨與鵝只數(shù)的倍數(shù)差是（倍），鵝有 (只)，鴨有 (只).練習(xí)1、1、 兩個(gè)書架，甲書架存書相當(dāng)于乙書架存書量的倍，甲書架比乙書架存書多本，則乙書架存書多少本？2、甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少

3、本？ 例2：有兩根鐵絲，第一根長米，第二根長米，兩根鐵絲用去同樣長的一段后，第一根剩下的長度是第二根剩下長度的倍，兩根鐵絲各剩下多少米？分析：用去同樣長的一段后，兩段長度差為：（米），且第一根比第二根多：（倍），則第二根剩下：（米），第一根剩下：（米）練習(xí)2、二班的圖書角里有故事書和連環(huán)畫共本，如果故事書拿走本后，故事書的本數(shù)就是連環(huán)畫的倍.原有連環(huán)畫和故事書各有多少本？例3：有兩根同樣長的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長度是第一根長的3倍，兩根繩子原來各長多少米？分析：兩根繩子原來的長度一樣長，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長度是第一根的3倍

4、.應(yīng)該把變化后的第一根長度看作1倍，而12+14=26（米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長度的2倍.所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長度可以求出來了，那么第一根、第二根原有長度也就可以求出來了。 第一根截去12米剩下的長度：（12+14）（3-1）13（米） 兩根繩子原來的長度：131225（米）練習(xí)3、 有甲、乙兩艘貨船，甲船所載貨物是乙船的3倍若甲船增加貨物1200噸，乙船增加貨物900噸，則甲船所載貨物是乙船的2倍甲船原載貨物多少噸?例4：某迎春茶話會(huì)上，買來蘋果箱，已知每箱蘋果取出千克后，剩余的各箱蘋果總和等于原來一箱蘋果的重量，問原來一箱蘋果多重？分析：此題目較難找出數(shù)量間的關(guān)系，

5、但是一定還的讓學(xué)生自己動(dòng)腦想一想，之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生畫圖，共同探討分析取出千克，即原來的比剩下的多千克，原來有箱，剩下一箱的重量，即原來的是剩下的倍，所以（千克）為剩下的重量，即一箱的重量練習(xí)4、 菜站運(yùn)來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運(yùn)來的白菜和蘿卜各是多少千克？例5：有大小兩個(gè)桶原來水一樣多，如果從小桶倒千克水到大桶，則大桶中水是小桶的倍，求原來大桶有水多少千克？分析：現(xiàn)在大桶水比小桶水多：（千克），所以現(xiàn)在小桶中的水是：（千克），而原來大桶中有水是：（千克）練習(xí)5、某校五年級(jí)比六年級(jí)人數(shù)少人，若六年級(jí)學(xué)生再轉(zhuǎn)來人，則六年級(jí)學(xué)生是

6、五年級(jí)學(xué)生的倍，問五、六年級(jí)各有多少人？例6：甲、乙倆人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍如果甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等問甲、乙倆人原來各存款多少元？分析：“甲存款數(shù)是乙存款數(shù)的3倍”，乙存款數(shù)就是l倍數(shù)，而甲存款數(shù)比乙存款數(shù)多的倍數(shù)是 倍因?yàn)椤凹兹〕?0元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等”，可知甲的存款數(shù)比乙的存款數(shù)多(元)利用差倍問題的公式，可求出1倍數(shù)，即乙原來的存款數(shù) (元)，從而求出甲原來的存款數(shù)(元)練習(xí)6、甲、乙各有若干本書,若甲給乙本,則二人的書相等,若乙給甲本則甲的本數(shù)是乙的倍,甲、乙各有書多少本？例7：(2008年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽)

7、兄妹倆人去買文具，哥哥帶的錢是妹妹的兩倍，哥哥用去180元，妹妹用去30元，這時(shí)兄妹倆人剩下的錢正好相等，哥哥帶了_元錢，妹妹帶了_元錢分析：由題目的條件“哥哥帶的錢是妹妹的兩倍”知：哥哥的錢比妹妹的錢多一倍，又由“哥哥用去180元，妹妹用去30元，這時(shí)兄妹倆人剩下的錢正好相等，知：哥哥比妹妹多（元），則知妹妹帶了150元，哥哥帶了300元練習(xí)7、 食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，幾天后剩下的大米是面粉的3倍？例8：幼兒園大班每人發(fā)張畫片，小班每人發(fā)張畫片，小班人數(shù)是大班人數(shù)的倍，小班比大班多發(fā)張畫片，那么小班有多少人？分析：小班每個(gè)人就會(huì)發(fā)張畫片，那么，小班

8、的個(gè)人比大班的個(gè)人多發(fā)了張畫片，總共多發(fā)了張，所以小班有人練習(xí)：實(shí)驗(yàn)小學(xué)一校區(qū)人數(shù)比實(shí)驗(yàn)小學(xué)二校區(qū)人數(shù)少540人，因?yàn)榈谌^(qū)建成，從兩個(gè)校區(qū)各調(diào)走200人，這時(shí)實(shí)驗(yàn)小學(xué)二校區(qū)人數(shù)恰好是實(shí)驗(yàn)小學(xué)一校區(qū)人數(shù)的4倍，那么實(shí)驗(yàn)小學(xué)一校區(qū)和實(shí)驗(yàn)小學(xué)二校區(qū)原來各有多少人？例9：有兩盤蘋果，如果從第一盤中拿個(gè)放到第二個(gè)盤里，那么兩盤的蘋果數(shù)相同；如果從第二個(gè)盤中拿個(gè)放到第一盤里，那么第一盤的蘋果數(shù)是第二盤的倍第一盤有蘋果多少個(gè)?分析：原來第一盤比第二盤多：(個(gè))，從第二盤拿個(gè)到第一盤里，第一盤就比第二盤多：(個(gè))，第二盤拿走個(gè)后剩下的蘋果數(shù)為：(個(gè))，第一盤原有蘋果：(個(gè)) 練習(xí)9、小明和小剛各有玻璃彈球

9、若干個(gè).小明對(duì)小剛說：“我若給你兩個(gè)，我們的玻璃彈球一樣多.”小剛說：“我若給你兩個(gè)，你的彈球數(shù)量將是我的3倍.”小明和小剛共有玻璃彈球多少個(gè)？例10：小新家有大小兩個(gè)書架，大書架上的書的本數(shù)是小書架的3倍，如果從大書架上取走150本放到小書架上，那么 兩個(gè)書架上的書一樣多，大小書架上原來各有多少本書?分析：根據(jù)從大書架上取出150本書放人小書架，兩個(gè)架上的書的本數(shù)相等，知大書架比小書架多1502300本這樣就可以作為一道典型的“差倍問題”來進(jìn)行解答了 由于大書架上的書是小書架的3倍，把小書架上書的本數(shù)看做I倍量，大書架比小書架多300本對(duì)應(yīng)于小書架的(31)倍量 大書架比小書架多的書數(shù)： 1

10、502300(本)，兩個(gè)書架相差幾倍： 312倍， 小書架原有書： 3002150(本)，大書架原有書： 1503450(本)練習(xí)10、兩個(gè)筐中各有蘋果若干千克，第一個(gè)筐中的蘋果是第二筐中的蘋果的4倍，如果從第一個(gè)筐中取出26千克蘋果，從第二個(gè)筐中取出2千克蘋果，則兩筐蘋果的重量相等你知道這兩個(gè)筐中原來各有蘋果多少千克嗎?例11：學(xué)而思學(xué)校買來白粉筆比彩色粉筆多箱，白粉筆的箱數(shù)比彩色筆的倍還多箱，學(xué)而思學(xué)校買來白粉筆和彩色粉筆各多少箱？分析：這不是一道典型的“差倍問題”，但我們可以通過適當(dāng)?shù)淖冃?，將其作為一個(gè)典型的“差倍問題”來解決見上圖，由于白筆比彩筆的倍多箱，故把彩筆看做倍數(shù)，(白筆)就相

11、當(dāng)于彩筆的倍，即彩筆比(白筆)少倍，注意此時(shí)白筆比彩筆多（箱）彩色粉筆的箱數(shù)(箱)，白色粉筆的箱數(shù)：(箱)練習(xí)11、學(xué)而思學(xué)校買來白粉筆比彩色粉筆多箱，白粉筆的箱數(shù)比彩色筆的倍少箱，學(xué)而思學(xué)校買來白粉筆和彩色粉筆各多少箱？ 例12、小明、小紅、小玲共有塊糖如果小玲吃掉塊，那么小紅與小玲的糖就一樣多；如果小紅給小明塊糖，那么小明的糖就是小紅的糖的倍問小紅有多少塊糖？分析：如果小玲吃掉塊，那么小紅與小玲的糖就一樣多，說明小玲比小紅多塊；如果小紅給小明塊糖，那么小明的糖就是小紅的糖的倍，即小明的糖加是小紅的糖減后的倍，說明小明的糖是小紅的糖的倍少塊所以，小紅有塊糖練習(xí)12、甲、乙、丙三數(shù)的和是78，

12、甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2求這三個(gè)數(shù)例13、小丸子家養(yǎng)了一些雞，黃雞比黑雞多13只，比白雞少18只，白雞的只數(shù)是黃雞2倍，白雞、黃雞、黑雞一共多少只？分析：以黃雞的只數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，白雞的只數(shù)是黃雞的2倍，所以黃雞：18（21）18（只），白雞：18236（只），黑雞：18135（只），三種雞共有：18+36+559（只）例14、某養(yǎng)殖廠養(yǎng)雞、鴨、鵝共1462只，雞的只數(shù)比鴨的4倍多132只，鵝的只數(shù)比鴨的2倍少70只這個(gè)養(yǎng)殖廠養(yǎng)的雞、鴨、鵝各有多少只？分析：我們把鴨的只數(shù)看作1份，雞的只數(shù)看作4份，鵝的只數(shù)看作2份，雞、鴨、鵝的總只數(shù)就相當(dāng)于鴨的：(份)而雞、鴨、鵝的總只數(shù)可以看作：(只)

13、用總只數(shù)除以總份數(shù)，先求出鴨的只數(shù)，再求雞和鵝的只數(shù)鴨的只數(shù)：(只)； 雞的只數(shù)：(只)； 鵝的只數(shù)：(只)例15、一小、二小兩校春游人數(shù)都是10的整數(shù)倍，出行時(shí)兩校人員不合乘一輛車，且每輛車盡量坐滿現(xiàn)在知道，若兩校都租用14座的旅游車，則兩校共需租用這種車72輛；若兩校都租用19座的旅游車，則二小要比一小多租用這種車7輛問兩校參加這次春游的人數(shù)各是多少？分析：根據(jù)題意可知，兩校總?cè)藬?shù)不少于人，且不多于人，因?yàn)槭?0的整數(shù)倍，所以總?cè)藬?shù)為1000人，或990人由于二小比一小多租用7輛19座的旅游車，所以二小與一小的人數(shù)之差不小于人，不大于人，又是10的倍數(shù)，可能的情況有：120、130、140

14、、150如果總?cè)藬?shù)為1000人，兩校人數(shù)之差：如為120，則一小有，二小有560人；如為130，則一小有，二小有565人，不符；如為140，則一小有，二小有570人；如為150，則一小有，二小有575人，不符；檢驗(yàn)可知一小430人、二小570人符合題意 如果總?cè)藬?shù)為990人，同樣檢驗(yàn)兩校人數(shù)之差分別為120、130、140、150的情況，可知都沒有符合條件的答案所以這次春游人數(shù)一小是430人，二小是570人板塊二、年齡問題的和差與差倍例1、爸爸媽媽現(xiàn)在的年齡和是歲；五年后，爸爸比媽媽大歲今年爸爸媽媽二人各多少歲？分析：五年后，爸爸比媽媽大歲，即爸媽的年齡差是歲它是一個(gè)不變量所以爸爸、媽媽現(xiàn)在的

15、年齡差仍然是歲這樣原問題就歸結(jié)成“已知爸爸、媽媽的年齡和是歲，他們的年齡差是歲，求二人各是幾歲”的和差問題爸爸的年齡：(歲) 媽媽的年齡：(歲)練習(xí)1、爸爸今年38歲，佳佳今年2歲，問：幾年后，父親的年齡是佳佳的5倍？例2、姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，幾年后姐弟倆歲數(shù)和是40歲？姐姐到時(shí)多少歲了？分析：由題意，姐弟倆今年的年齡和是（歲），用幾年后姐弟倆的歲數(shù)和40歲減去今年姐弟倆的年齡和22歲，就得到姐弟倆經(jīng)過的年數(shù)和，即為（年），最后再除以2，就求出姐弟倆每人經(jīng)過的年數(shù).經(jīng)過的年數(shù)都是：（年）可以求出姐姐的年齡是 用線段圖顯示數(shù)量關(guān)系.姐弟倆的年齡差總是（歲），不管經(jīng)過多少年，姐弟年齡的差

16、仍是4歲，由圖可見，如果從40歲中減去姐弟年齡的差，再除以2就得到所求的弟弟的年齡，也就可以求出姐姐的年齡了.弟弟的年齡：（歲），姐姐的年齡：（歲）例3、新老運(yùn)動(dòng)員把話談，手拉手兒笑微微.老將說：“我比你大10歲.”新手說：“上次你比我大一倍.”運(yùn)動(dòng)會(huì)四年開一次，兩人年齡各幾歲？分析：我們把這個(gè)問題譯成常見應(yīng)用題表述形式為：今年，老運(yùn)動(dòng)員年齡比新運(yùn)動(dòng)員大10歲；四年前，老運(yùn)動(dòng)員年齡比新運(yùn)動(dòng)員大一倍.新、老運(yùn)動(dòng)員今年各幾歲？大家還記得年齡問題的基本關(guān)系嗎？ 幾年后年齡=大小年齡差倍數(shù)差-小年齡 幾年前年齡=小年齡-大小年齡差倍數(shù)差 那么上面的這道題解法是：新運(yùn)動(dòng)員：（歲）， 老運(yùn)動(dòng)員：（歲）例4、兄弟倆今年的年齡