N選修4系列(文科)

1、N 選修4系列N1選修4-1幾何證明選講22. N1 2012 寧卷如圖1 8,0 O和OO'相交于A, B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C,點(diǎn)，連結(jié)DB并延長(zhǎng)交O O于點(diǎn)E,證明：AC BD = AD AB;(2)AC = AE.圖1 822. 證明：由AC與O O'相切于A，得/ CAB = Z ADB , 同理/ ACB =Z DAB,所以 ACBDAB.從而ACAdAB bd，即 AC BD = AD AB.(2)由AD與O O相切于A，得/ AED = Z BAD , 又/ ADE = Z BDA，得 EADABD.從而AE_ adAB= BD，即 AE BD =

2、 AD AB. 結(jié)合(1)的結(jié)論，得AC = AE.22. N1 2012課標(biāo)全國(guó)卷如圖1 5, D , E分別為 ABC邊AB, AC的中點(diǎn),DE交厶ABC的外接圓于F , G兩點(diǎn).若CF / AB,證明:(1)CD = BC; BCD GBD.圖1 5AB, AC的中點(diǎn),22.證明:(1)因?yàn)镈, E分別為所以DE BC.連結(jié)又已知CF /AB，故四邊形 BCFD是平行四邊形，所以 CF = BD = AD.而CF /AD, AF，所以四邊形 ADCF是平行四邊形，故 CD = AF.因?yàn)?CF AB,所以 BC = AF，故 CD = BC.因?yàn)镕G /BC,故GB= CF.圖1-3由(

3、1)可知BD = CF，所以 GB= BD.而/DGB = /EFC = /DBC，故 BCD sJGBD.12. N1 2012全國(guó)卷正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上, 1 一AE = BF = 3動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角 等于入射角，當(dāng)點(diǎn) P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 （）A. 8 B. 6 C. 4 D. 312. B 解析本小題主要考查反射原理及三角形相似知識(shí)的應(yīng)用，解題的突破口為確定反射后點(diǎn)P的位置.結(jié)合點(diǎn)E、F的位置進(jìn)行作圖推理，利用反射過(guò)程中平行直線及相似三角形作圖可得點(diǎn)P回到E點(diǎn)時(shí)與正方形的邊

4、碰撞次數(shù)為6次，故選B.15. N1 2012 東卷（幾何證明選講選做題）如圖1-3所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B, D是弦AC上的點(diǎn),PBA =/ DBA.若 AD = m, AC = n,貝U AB =15. mn 解析本題考查弦切角定理以及三角形相似知識(shí)，解決本題的突破口是利用弦切角定理得到/ PBA =/ACB，再利用三角形相似求出.因?yàn)镻B是圓的切線，所以/ PBA= /ACB.又因?yàn)?PBA =ZDBA,所以/DBA =/ACB.又因?yàn)?A=ZA,所以ABDZACB,所以AB = AD，所以 AB2= AD x AC= mn,所以 AB= mn.AC AB21 A. N1 2012

5、江蘇卷如圖1 7 AB是圓O的直徑，D, E為圓O上位于 AB異側(cè)的 兩點(diǎn)，連結(jié) BD并延長(zhǎng)至點(diǎn) C,使BD = DC,連結(jié)AC, AE, DE.圖1 7求證：/ E = / C.21A.證明：如圖，連結(jié) OD，因?yàn)锽D = DC , O為AB的中點(diǎn),所以 OD /AC,于是/ODB = /C.因?yàn)?OB = OD，所以/ODB = /B.于是ZB=ZC.因?yàn)辄c(diǎn)A, E, B, D都在圓O上，且D, E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以/ E和ZB為同弧所對(duì)的圓周角，故/E = /B.所以/E = /C.15 B. N1 2012陜西卷如圖1 6,在圓0中，直徑 AB與弦CD垂直，垂足為 E,

6、EF 丄 DB,垂足為 F，若 AB = 6, AE = 1，貝U DF DB =.15B: 5解析本題考查了射影定理的知識(shí)，解題的突破口是找出直角三角形內(nèi)的射影定理.連接 AD，在 RtKBD 中，DE 1AB，所以 DE2= AEX EB = 5,在 RtEBD 中，EF丄 DB,所以 DE2= DF X DB = 5.13. N1 2012天津卷如圖1 3所示，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn) B作圓的切 線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F ,13.3解析由相交弦的性質(zhì)可得3AF X FB = EF X FC,FC =AF X FBEF又

7、TFC BD ,C=BD=AB=4 即 BD=8，求矩陣A的特征值.34因?yàn)锳-1 =1所以1 1A= (A-)-由切割線定理得 BD2 = DAX DC = 4DC2,解之得 DC = 4.3N2 選修4-2 矩陣-121 B. N2 2012江蘇卷已知矩陣A的逆矩陣A =21 B .解：因?yàn)?A-1A = E，所以 A = (A- 1) -1.入一2 3于是矩陣A的特征多項(xiàng)式為f( /)= f 3 4.2 f 1令f( f = 0,解得A的特征值f = 1 , f = 4.sinx23. C3、N22012上海卷函數(shù)f(x)=.的最小正周期是 .1cosx3. n 解析考查二階矩陣和三角函

8、數(shù)的值域，以矩陣為載體，實(shí)為考查三角函數(shù)的 性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡(jiǎn).12 nf(x)= si nxcosx+ 2 = 2si n2x+ 2，由三角函數(shù)周期公式得，T= = n.N3 選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程23. N32012 遼寧卷在直角坐標(biāo)系xOy 中，圓Ci：x2+y2= 4,圓C?：(x2)2+y2= 4.(1) 在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓Ci，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓Ci，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2) 求圓Ci與C2的公共弦的參數(shù)方程.23. 解：(1)圓Ci的極坐標(biāo)方程為 尸2,圓C2的極坐標(biāo)方程為尸4cos e尸2，n解丫得 p= 2

9、, e= ±n,p= 4cos e故圓Ci與圓C2交點(diǎn)的坐標(biāo)為2, n I, 2, n注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.(2)(解法一)x= :cos e,由$得圓Ci與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(i, V3), (i,Q3).y= pin ex= i,故圓Ci與C2的公共弦的參數(shù)方程為一_3< tw ,3.y=t,x= i ,(或參數(shù)方程寫成丨-帝w產(chǎn)y= y,(解法二)在直角坐標(biāo)系下求得弦CiC2的方程為x= i( ,3< yw 3).x= pcos e,將x = i代入$得pcos e= i ,y= psin e從而p=7fl-cos e于是圓Ci與C2的公共弦的參數(shù)方程

10、為嚴(yán)i,y= tan e,n n-3wew nx= 2cos6 ,23. N32012課標(biāo)全國(guó)卷已知曲線 Ci的參數(shù)方程是($為參數(shù))，以坐標(biāo)|y= 3sin $原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是 尸2,正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上,且A , B , C , D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn) A的極坐標(biāo)為2 , n .(1)求點(diǎn)A , B , C , D的直角坐標(biāo)；設(shè)P為Ci上任意一點(diǎn)，求|PA|2+ |PB|2+ |PC|2+ |PD |2的取值范圍.23. 解：(1)由已知可得A 2COS, 25吋,2sinB 2cosC 2cosD 2cosn2 ,2sin n+

11、n ,3n2 ,n，3 n 2 , 2sin即 A(1,3), B( .3, 1), C( 1, , 3), D( .3, 1).設(shè) P(2cos(f), 3sin 妨，令 S= |RA|2 + |PB|2+ |PC|2+ |PD|2，則2 2S= 16cos $+ 36sin (j)+ 162=32 + 20sin ©,n圓心為直線因?yàn)镺w sin2 <jw 1，所以S的取值范圍是32,52.21 C . N3 2012江蘇卷在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn) Ppin9 3 =中與極軸的交點(diǎn)，求圓 C的極坐標(biāo)方程.n =3 =C的圓心坐標(biāo)為(1,0).C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 221C.解：在

12、 psin9= 0,得尸i,所以圓因?yàn)閳A所以圓C的半徑PC =+ 12 2 X 1 x ,2cosn = 1,C過(guò)極點(diǎn)，所以圓 C的極坐標(biāo)方程為p= 2cos9于是圓10. N32012湖南卷在極坐標(biāo)系中，曲線 C1： p , 2cos 9+ sin 9)= 1與曲線C?： p= a(a> 0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則 a =.10¥解析本題考查直線與圓的極坐標(biāo)方程，具體的解題思路和過(guò)程：把直線與圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)代入圓方程求解.直線方程為，2x+ y 1 = 0,與x軸的交點(diǎn)為-2, 0，圓的方程為x2 + y2= a2,把交點(diǎn)+ 02= a2

13、, 又 a>0，所以 a二于.于，0代入得易錯(cuò)點(diǎn)本題易錯(cuò)一：不會(huì)轉(zhuǎn)化，無(wú)法把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；易錯(cuò)二：直線與圓的交點(diǎn)實(shí)為直線與 x軸的交點(diǎn)，如果不會(huì)轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致計(jì)算加大，多走彎路.14. N32012廣東卷(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 G和 fx= 1當(dāng)確廠(t為參數(shù))，則曲線yVC2的參數(shù)方程分別為丁x= V5cos 9y= V5sin 9Cl與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .14. (2,1)解析利用方程思想解決，Ci化為一般方程為：x2 + y2 = 5, C2化為直角坐標(biāo)方程為:y= x 1，聯(lián)立方程組得:y= x1,21即 x x 2= 0,解得 x1

14、= 1, x2= 2.x2+ y2= 5 ,又由Ci中15 C.15C :9的取值范圍可知，交點(diǎn)在第一象限，所以交點(diǎn)為(2,1).N3 2012陜西卷直線2 pcos 9= 1與圓p= 2cos9相交的弦長(zhǎng)為 3解析本題考查了極坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)，解題的突破口為把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).由2 pos 0= 1得2x= 1，由p= 2cosB得p = 2pcosB,即x2 + y2= 2x，聯(lián)立得 y= ±23，所以弦長(zhǎng)為訂3.N4 選修4-5不等式選講15 A. N4 2012陜西卷若存在實(shí)數(shù)x使|x a|+ |x 1|< 3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是15. A : 2< aw

15、4解析本題考查了不等式解法的相關(guān)知識(shí)，解題的突破口是理解不等式的幾何意義.|x a|+ |x 1|w 3表示的幾何意義是在數(shù)軸上一點(diǎn)x到1的距離與到a的距離之和小于或等于3個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)我們可以以1為原點(diǎn)找離此點(diǎn)小于或等于3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)即為 a的取值范圍，不難發(fā)現(xiàn)一 2 w a< 4.24. N42012 遼寧卷已知 f(x) = |ax+ 1|(a R),不等式 f(x) w3 的解集為x| 2wx< 1.(1)求a的值；若f(x 2fgj w k恒成立，求k的取值范圍.24. 解：(1)由 |ax+ 1|w 3 得一4w axw 2.又 f(x)w 3 的解集為x| 2w

16、xw 1，所以當(dāng) aw 0 時(shí)，不合題意.42當(dāng) a>0 時(shí)，一；w xw ，得aaa= 2.1,xw 1,1記 h(x) = f(x) 2f f，則 h(x)= 4x 3， 1<x< 2，-1, x> 1,所以 |h(x)|w 1，因此 k> 1.11521 D. N4 2012江蘇卷已知實(shí)數(shù)x, y滿足：|x+ y|v 3, |2x y|v石，求證:|y|<后.21D .證明：因?yàn)?3|y|= |3y|= |2(x + y) (2x y)|w 2|x+ y|+ |2x y|,11215由題設(shè)知 |x+ y|<3，|2x y|<6，從而 3|y

17、|<- + 6 = 6,5所以叱.24. N42012課標(biāo)全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)=X+ a|+ |x 2|.(1)當(dāng)a = 3時(shí)，求不等式f(x) >3的解集；若f(x)w |x 4|的解集包含1,2，求a的取值范圍.| - 2x+ 5, xw 2,24. 解：(1)當(dāng) a = 3 時(shí)，f(x) =1, 2<x<3,2x 5, x>3.當(dāng) xw 2 時(shí)，由 f(x) > 3 得一2x+ 5 > 3，解得 xw 1 ；當(dāng) 2<x<3 時(shí)，f(x) > 3 無(wú)解；當(dāng) x> 3 時(shí)，由 f(x) >3 得 2x 5> 3，

18、解得 x>4； 所以 f(x) > 3 的解集為x|xw 1 Lx|x> 4.(2)f(x)w |x 4? |x 4|x 2|> |x+ a|.當(dāng) x qi,2時(shí)，|x 4| |x 2|> |x+ a|? 4 x (2 x)> |x+ a|? 2 aw x< 2 a.由條件得一2 a< 1 且 2 a> 2,即一3w a< 0.故滿足條件的 a 的取值范圍為 3,0N5 選修 4-7 優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)11. N52012湖南卷某制藥企業(yè)為了對(duì)某種藥用液體進(jìn)行生物測(cè)定，需要優(yōu)選培養(yǎng)溫 度，試驗(yàn)范圍定為 29C63C，精確度要求±1C 用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行優(yōu)