【KS5U解析】廣東省梅州市五華縣2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、2019年下期高三級質(zhì)檢試題文科數(shù)學(xué)全卷150分；考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】分別解不等式和求定義域，再求兩個集合的并集即可.【詳解】對集合a，求解不等式，可得對集合b，求函數(shù)的定義域可得，故.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查集合的并運(yùn)算，涉及二次不等式的求解，函數(shù)定義域的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】d【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)

2、算，求得復(fù)數(shù)，然后找出其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)即可.【詳解】因為，故可得：故其在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為容易知，其在第四象限.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的求解，屬基礎(chǔ)題.3.設(shè)，則“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合表達(dá)式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可【詳解】解：若a0，b1，滿足ab，但（ab）a20不成立，若“（ab）a20，則ab且a0，則ab成立，故“ab”是“（ab）a20”的必要不充分條件，故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷

3、，根據(jù)不等式的關(guān)系進(jìn)行判斷即可4.已知一組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）a. 85b. 84c. 83d. 81【答案】a【解析】【分析】利用莖葉圖、平均數(shù)的性質(zhì)直接求解【詳解】由一組數(shù)據(jù)的莖葉圖得：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：故選a【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題5.已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個焦點(diǎn)重合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】 拋物線的焦點(diǎn)為故選c6.函數(shù)的大致圖象是a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除

4、b選項；當(dāng)時，可排除d選項；當(dāng)時，當(dāng)時，即，可排除c選項，故選a【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題7.如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底邊長均為2，且側(cè)棱aa1面a1b1c1，正視圖是邊長為2的正方形，俯視圖為一個等邊三角形，該三棱柱的左視圖面積為（）a. b. c. d. 4【答案】a【解析】考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積分析：三棱柱的側(cè)視圖是一個矩形，矩形的長是三棱柱的側(cè)棱長，寬是底面三角形的一條邊上的高，在邊長是2的等邊三角形中做出底邊上的高的長度，得到結(jié)果解：由題意知三棱柱的側(cè)視圖是一個矩形，矩形的長是三棱柱的側(cè)棱長，寬是底面三角形的一條邊上的高，在邊長是2的等

5、邊三角形中，底邊上的高是2×=，側(cè)視圖的面積是2故選a8.太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案，它形象化地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化、相對統(tǒng)一的形式美.按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓被的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】設(shè)大圓的半徑為r，則：，則大圓面積為：，小圓面積為：，則滿足題意的概率值為：.本題選擇b選項.點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)

6、域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件a滿足的不等式，在圖形中畫出事件a發(fā)生的區(qū)域，據(jù)此求解幾何概型即可.9.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【詳解】試題分析：因為，那么結(jié)合，所以cosa=，所以a=，故答案為a考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.10.函數(shù)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，則不等式的解集為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】易判斷f（x）在（-，0）上的單調(diào)性及f（x）圖象所過特殊點(diǎn)，作出f（x）的草圖，根據(jù)圖象可解不等式【詳解】f（x）在r上是奇函數(shù)，且f（x）在（0，+）

7、上是增函數(shù)，f（x）在（，0）上也是增函數(shù)，由f（-3）0，得f（3）f（3）0，即f（3）0，作出f（x）的草圖，如圖所示：由圖象，得 解得0x3或3x0，xf（x）0的解集為：（3，0）（0，3），故選d【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，靈活作出函數(shù)的草圖是解題關(guān)鍵11.設(shè)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由比較，的大小，利用中間量比較,，從而得解.【詳解】，.，.又，即.故選d【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是找到合適的中間量進(jìn)行比較大小，屬于難題.12.已知函數(shù)，給出下面四個命題：函數(shù)的最小正周期為；

8、函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).其中正確命題的個數(shù)是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題目中給出的三角函數(shù)，逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】對函數(shù)，其最小正周期為，故正確；函數(shù)，故其為偶函數(shù)，正確；因為，故直線不是對稱軸，故錯誤；當(dāng)，則為減函數(shù)，為增函數(shù)，故正確.綜上所述，正確的有.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若三點(diǎn)，在同一條直線上，則實數(shù)_.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線，斜率相等，列式計算即可.【詳解】由題可知：，因為三點(diǎn)共線

9、，故，解得.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查斜率的計算，屬基礎(chǔ)題.14.函數(shù)，則_【答案】【解析】【分析】計算出，再判斷其正負(fù)，代入對應(yīng)的解析式求解即可.【詳解】因為，故故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的求解，涉及對數(shù)和指數(shù)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.15.已知均為正實數(shù)，且,則的最小值為_【答案】【解析】【分析】由已知得，將變?yōu)?，利用基本不等式求得結(jié)果.【詳解】由又均為正實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題，關(guān)鍵在于能夠通過已知條件將所求式子湊出乘積為定值的形式.16.如圖，平面四邊形mnpq中，則np的最小值為_【答案】【解析】【分析】設(shè)，由正弦定理

10、可得，在中，設(shè)，由余弦定理得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值【詳解】設(shè)，則在中，,，由正弦定理可得，則在中，設(shè)，由余弦定理得 ，當(dāng)時，np最小，則故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想，屬于中檔題三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，求得以及，根據(jù)等比數(shù)列定義，求

11、得通項即可；（2）由（1）可得，用錯位相減法求得前項和即可.【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，故由下標(biāo)和性質(zhì)可得：，又，故可得；又，故數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列；則，解得故.（2）由（1）可知，及可得：故-可得：.故數(shù)列的前項和為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，等比數(shù)列通項公式的求解，以及錯位相減法.18.如圖，已知四邊形是直角梯形，為線段的中點(diǎn)，平面，是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的大小；【答案】(1)證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）通過在平面bmg中尋找一條與pc平行的直線，由線線平行推證線面平行；（2）先找出線面角，再在三角形中利用幾何關(guān)系

12、進(jìn)行求解.【詳解】（1）證明：連接ac，交bg于點(diǎn)o，連接mo，如下圖所示：由題可知，/，且，故四邊形平行四邊形，則為中點(diǎn).在中，因為，分別為兩邊的中點(diǎn)，故/又因為平面，平面故：/平面，即證.（2）由題可知點(diǎn)為等腰三角形斜邊上的中點(diǎn)故同理因為，故m點(diǎn)為等腰三角形第邊上的中點(diǎn)，故又平面，故平面故即為所求線面角.在中：故，又故即直線與平面所成的角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查由線線平行，推證線面平行，以及線面角的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.19.隨著智能手機(jī)的發(fā)展，各種“app”（英文單詞application的縮寫，一般指手機(jī)軟件）應(yīng)運(yùn)而生某機(jī)構(gòu)欲對a市居民手機(jī)內(nèi)安裝的app的個數(shù)和用途進(jìn)行調(diào)研，在使用智能

13、手機(jī)的居民中隨機(jī)抽取100人，獲得了他們手機(jī)內(nèi)安裝app的個數(shù)，整理得到如圖所示頻率分布直方圖（）求a的值；（）從被抽取安裝app的個數(shù)不低于50的居民中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步調(diào)研，求這2人安裝app的個數(shù)都低于60的概率；（）假設(shè)同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，以本次被抽取的居民情況為參考，試估計a市使用智能手機(jī)的居民手機(jī)內(nèi)安裝app的平均個數(shù)在第幾組（只需寫出結(jié)論）【答案】（）a=0.025 （）（）第4組（或者寫成30，40）【解析】【分析】（）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求得的值，得到答案.（）設(shè)事件a為“這2人手機(jī)內(nèi)安裝“app”的數(shù)量都低于60”被抽取的智能手機(jī)內(nèi)安裝“app”

14、的數(shù)量在50，60）的有4人，分別記為a1，a2，a3，a4，被抽取的智能手機(jī)內(nèi)安裝“app”的數(shù)量在60，70的有1人，記為b1，從被抽取的智能手機(jī)內(nèi)安裝“app”的數(shù)量不低于50的居民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步調(diào)研，利用列舉法能求出這2人安裝app的個數(shù)都低于60的概率（）利用平均數(shù)的計算公式，即可求解a市使用智能手機(jī)的居民手機(jī)內(nèi)安裝app的平均個數(shù)，得到答案【詳解】（）由（0.011+0.016+a+a+0.018+0.004+0.001）10=1，得0.025（）設(shè)事件a為“這2人手機(jī)內(nèi)安裝“app”的數(shù)量都低于60”被抽取的智能手機(jī)內(nèi)安裝“app”的數(shù)量在50，60）的有0.004

15、5;10×100=4人，分別記為a1，a2，a3，a4，被抽取的智能手機(jī)內(nèi)安裝“app”的數(shù)量在60，70的有0.001×10×100=1人，記為b1，從被抽取的智能手機(jī)內(nèi)安裝“app”的數(shù)量不低于50的居民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步調(diào)研，共包含10個基本事件，分別為，a1a4，a1b1，a2a3，a2a4，a2b1，a3a4，a3b1，a4b1，事件a包含6個基本事件，分別為，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，則這2人安裝app的個數(shù)都低于60的概率（）由題意，可得估計a市使用智能手機(jī)的居民手機(jī)內(nèi)安裝app的平均個數(shù)為:，所以可得a市使用智能手機(jī)的居民手機(jī)內(nèi)安裝

16、app的平均個數(shù)位于第4組【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率、概率的求法，以及頻率分布直方圖和平均數(shù)公式的應(yīng)用，著重考查了用數(shù)學(xué)知識解決實際生活問題的能力，及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題20.已知橢圓的離心率為，m是橢圓c的上頂點(diǎn)，f2是橢圓c的焦點(diǎn)，的周長是6（）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過動點(diǎn)p（1，t）作直線交橢圓c于a，b兩點(diǎn)，且|pa|=|pb|，過p作直線l，使l與直線ab垂直，證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（）；（）詳見解析.【解析】【分析】（）由題得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）當(dāng)直線ab斜率存在，設(shè)ab的直線方程為，進(jìn)一步求出直線的方程為，所以

17、直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點(diǎn).【詳解】解：（）由于是橢圓的上頂點(diǎn)，由題意得，又橢圓離心率為，即，解得，又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）當(dāng)直線ab斜率存在，設(shè)ab的直線方程為，聯(lián)立，得，由題意，設(shè)，則，因為，所以是的中點(diǎn)即，得， 又，l的斜率為，直線的方程為 把代入可得：所以直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓中直線的定點(diǎn)問題，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).

18、（1）當(dāng)時，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點(diǎn)存在定理說明函數(shù)存在極值【詳解】(1)當(dāng)時，于是，.又因為，當(dāng)時，且.故當(dāng)時，即. 所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對，；(2) 方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點(diǎn)，當(dāng)時，為上的增函數(shù)，注意到，所以，存在唯一實數(shù)，使

19、得成立. 于是，當(dāng)時，為上的減函數(shù)；當(dāng)時，為上的增函數(shù)；所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)； 當(dāng)時，在上成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上沒有極值；當(dāng)時，在上成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上沒有極值， 綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.方法二：由題意，函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點(diǎn).即在上存在零點(diǎn). 設(shè)，則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).即的值域為，所以，當(dāng)實數(shù)時，在上存在零點(diǎn).下面證明，當(dāng)時，函數(shù)在上存在極值.事實上，當(dāng)時，為上的增函數(shù)，注意到，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當(dāng)時，為上的減函數(shù)；當(dāng)時，為上的增函數(shù)；即為函數(shù)的極小值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上存在極值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是一道綜合題請考生從第（22）、（23）兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），已知點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）已知