3數(shù)列極限存在

1、§ 3 數(shù)列極限存在的條件單調(diào)有界定理：任何單調(diào)有界數(shù)列都有極限。a” = 1 + + + , d 王 2例1設(shè) ”2“ 瀘,證明該數(shù)列收斂。例2 證明數(shù)列a/2 , J2 +, , J2 + +、豆, ,收斂，并求其極限。(cl5(n)elf, n=20; a(l)=sqrt (2);plot(0;n, 2;2), hold onfor i=l：n;a(i+l)=sqrt (2+a(i);plot (i, a(i) / r)hold onend利用單調(diào)有界定理，設(shè)axis(1, n, 1, 2. 2)2.2111 11112* 11.8-1.8-1.4*1.21II1 111112

2、468 1012161820數(shù)列的單調(diào)遞增是顯然的，有界很容易用歸納法證明，而且其極限為衛(wèi)，則有A=2例3 證明 f « 存在。（d6, n=）先看一下數(shù)列的變化的圖像，該數(shù)列單調(diào)有界（小于3）,所以極限存在,且由圖象看出：隨著n的增大，=逐漸接近一個2-718 -的無理數(shù)eelf, n=50; x=l：n;f (x) = (l+l/x)"x;plot(0;n, 2.718;2.7181),hold onplot (x, f (x) / r. J)2.8II111112.7-2.6 4-2.5 2.4-2.3-2.2-2.1-2 1 1 1 1 1 1111C5101520

3、253035404550證明：（見教材）Cauchy收斂準(zhǔn)則：定理2.10 數(shù)列收斂，O V? > 0, 3ZA, V N, => aK-an <（或數(shù)列耳收斂，<=> ¥£ > 0, 3Nr V w > iV, Vp e N, n。旳-aK < £、例4 證明： 任一無限十進(jìn)小數(shù)丄宀乞（0<°<1）的不足近 似值所組成的數(shù)列收斂.1 玄,2 10，10 而'10 10冬+生+10 101 2 10"其中切（,=12日）是0,X ,9中的數(shù).令a* 4-+ +10 102而，有

4、彼42 + +，"“ 乞10禍0吋_°汕爲(wèi)罟卩制5）訃V10s例5 設(shè)O"V1，兀二張Hiq +sm、$ + +qJin£試證明數(shù)列嚴(yán)J收斂.< 1+丄 >數(shù)列* 甸單調(diào)有界證法欣賞：Cauchy （1789一1857 ）最先給出這一極限，Riemann （1826一1866）最先給 出以下證法一.仁1Y 耳叩+-證法一 （Riemann最先給出這一證法）設(shè) I刃丿應(yīng)用二項式展開,得1-n«!k n+1 丿注意f 1)'1 11-<1-尬+1丿f 2>2 )1-<1-、尬+1丿且比g 多一 1 (w +1)

5、 I 北 +1 丿0 <兀<1 + 1+丄+丄+丄<1+1+丄+丄+.+”2! 3112 23(«-1><1< 1 n一一+-+1 2丿、23J1北丿= 1+1 +=14-1+1- < 3.=> 心竝有界。綜上,數(shù)列©單調(diào)有界.0 A-1,兀為正整數(shù)）,有證法二 （利用Bernoulli不等式）注意到Bernoulli不等式（1 +兀）"工1+空,M4-11+W 4- 1Jz 1+-I必丿1十1 + 刃十11+- n1+丄刃+1人并+ 2力 «2 + 2 刀+1,+1)1T > -1,III 

6、4; +1尸利用Bernoulli不等式，有31+丄刃十1丿Iy? 4- 3 七 $ 4-引2 + 2：$> 1.刃十3刃十3血+1= x 為證©上方有界，考慮數(shù)列兒1+-冷)可類證兒 '事實上,1+掄+ 1丿X M+11+-刃丿1+ « +1 k1+1冷1+丄« +1J»+1f S、務(wù)片1/ +1 護(hù) +2/ +1 刃+ 21料彳+ 2#>叮煙嚴(yán)+1“« +4« +4«n +1C1、.« 4-1刃+ 1)1 + >、刃十2九丿此十21冷 +2n)顯然有© 5=F 有0 幾蘭蘭必

7、=4.即數(shù)列兒有上 評註：該證法的特點(diǎn)是驚而無險，恰到好處.證法三 （利用均值不等式）在均值不等式 «彳血血<-Yai9 (偽>0)” z中,an =匕就有1"1 /in(«-l)1+ +1L "-1丿一= i+-n即©/可仿上證得心彳時；P1-3J(« = 1時無意義,« = 2時諸叫二0,不能用均值不等式)x|，!« > 21 1 1 n + < ：-.1-*1+-北丿Z-I1-lll I尬丿/1=> fl-11I刃丿1Tx2匕丿證法四(仍利用均值不等式K-t-1w+l;«+J務(wù)個Jk*4+耳Lr 1幻1刃丿 n)1 刃1十一十1«+1即0 / -“均值不等式妙用兩則”.證法五先證明：對PZaO和正整數(shù)"，有不等式事實上,»+1 啟 U-<山+1）擴(kuò).嚴(yán)-嚴(yán)_（擴(kuò)+擴(kuò)七+加I +/b-ah-a= b"+3_lQ + +AQ”T+Q”<該不等式乂可變形為bn （?3 十 l）a nb &l