高中數(shù)學 1.9《三角函數(shù)簡單應用》課件 北師大版必修4

1、9 三角函數(shù)的簡單應用 我們已經(jīng)知道周期現(xiàn)象是自然界中最常見我們已經(jīng)知道周期現(xiàn)象是自然界中最常見的現(xiàn)象之一，三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象最重要的現(xiàn)象之一，三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象最重要的數(shù)學模型的數(shù)學模型. .在本節(jié)中，我們將通過實例，讓同在本節(jié)中，我們將通過實例，讓同學們初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實學們初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實際問題際問題. .1.1.體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程，體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型型（重點）（重點）2.2.體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題

2、的數(shù)學體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學建模思想，從而培養(yǎng)學生的建模、分析問題、數(shù)建模思想，從而培養(yǎng)學生的建模、分析問題、數(shù)形結合、抽象概括等能力形結合、抽象概括等能力. .（難點）（難點）例例1.1.水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，如圖是一水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，如圖是一個水車工作的示意圖，它的直徑為個水車工作的示意圖，它的直徑為3m,3m,其中心（即圓心）其中心（即圓心）O O距距水面水面1.2m,1.2m,如果水車逆時針勻速旋轉，旋轉一圈的時間是如果水車逆時針勻速旋轉，旋轉一圈的時間是 min.min.在水車輪邊緣上取一點在水車輪邊緣上取一點P P，點，點

3、P P距水面的高度為距水面的高度為h(mh(m). ). (1) (1)求求h h與時間與時間t t的函數(shù)解析式，并作出這個函數(shù)的簡圖的函數(shù)解析式，并作出這個函數(shù)的簡圖. . (2)(2) 討論如果雨季河水上漲或旱季河流討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數(shù)解析式中的參水量減少時，所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化數(shù)將會發(fā)生哪些變化. .若水車轉速加快或減若水車轉速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？影響？43水車問題水車問題解解: :不妨設水面的高度為不妨設水面的高度為0,0,當點當點P P旋轉到水面以下時，旋轉到水面

4、以下時，P P點距水面的高度為負值點距水面的高度為負值. .顯然，顯然，h h與與t t的函數(shù)關系是周期的函數(shù)關系是周期函數(shù)的關系函數(shù)的關系. .故可列表、描點，畫出函數(shù)在區(qū)間故可列表、描點，畫出函數(shù)在區(qū)間11.8,91.8上上的簡圖：的簡圖：t t11.11.8 831.31.8 851.51.8 871.71.8 891.91.8 81.21.2 2.72.7 1.21.2- -0.30.31.21.21.5sin(0.295 )1.240ht 面對實際問題建立數(shù)學模型，是一項重要的面對實際問題建立數(shù)學模型，是一項重要的基本技能基本技能. .這個過程并不神秘，就像這個例題，這個過程并不神秘

5、，就像這個例題，把問題提供的把問題提供的“條件條件”逐條地逐條地“翻譯翻譯”成成“數(shù)學數(shù)學語言語言”，這個過程是很自然的，這個過程是很自然的. .解答應用題關鍵是將實際問題轉解答應用題關鍵是將實際問題轉化為數(shù)學模型化為數(shù)學模型.例例2.2.海水受日月的引力海水受日月的引力, ,在一定的時候發(fā)生漲落在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般地，早潮叫潮的現(xiàn)象叫潮汐，一般地，早潮叫潮, ,晚潮叫汐晚潮叫汐, ,在在通常情況下通常情況下, ,船在漲潮時候駛進航道船在漲潮時候駛進航道, ,靠近船塢靠近船塢; ;卸貨后，落潮時返回海洋卸貨后，落潮時返回海洋, ,下面給出了某港在某下面給出了某港在某季節(jié)每天幾

6、個時刻的水深季節(jié)每天幾個時刻的水深. . 時時刻刻水深水深/m時刻時刻水深水深/m時刻時刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.012:0021:00潮汐問題潮汐問題(1)(1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，并給出在整點時的水深的近似值間的函數(shù)關系，并給出在整點時的水深的近似值; ;(2)(2)一條貨船的吃水深度一條貨船的吃水深度( (船底與水面的距離船底與水面的距離) )為為4m4m，安全條例規(guī)定至少要有安全條例規(guī)定至少要有1.5m1.5m的安全間隙的安全間隙( (船底與海船底與海底的距離底的距離) )，

7、該船何時能進入港口？，該船何時能進入港口？(3)(3)若船的吃水深度為若船的吃水深度為4m4m，安全間隙為，安全間隙為1.5m,1.5m,該船在該船在2 2：0000開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m0.3m的速度減的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？較深的水域？分析分析(1)(1)考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù)考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解；法求解；(2)(2)在涉及三角不等式時，可利用圖像求解在涉及三角不等式時，可利用圖像求解. . 解：解：(1)可設所求函數(shù)為可設所

8、求函數(shù)為f(x)=Asinx+k，由已知數(shù)由已知數(shù)據(jù)求得據(jù)求得A=2.5，k=5，T=12，故故 f(x)=2.5sin x+5.62=T6，xyO241261839152152.57.5在整點時的水深近似為在整點時的水深近似為: :1:001:00；5:005:00；13:0013:00；17:0017:00為為 6.3m6.3m；2:002:00；4:004:00；1414：0000；16:0016:00為為 7.2m7.2m；7:007:00；11:0011:00；19:0019:00；23:0023:00為為 3.7m3.7m；8:008:00；10:0010:00；20:0020:0

9、0；22:0022:00為為 2.8m2.8m；(2)(2)由由2.5sin x+55.52.5sin x+55.5，得，得 6sin0.26x畫出畫出y=sin xy=sin x的圖像的圖像( (如圖所示如圖所示) )，由圖像可得，由圖像可得65101520 xyO1-1 y=sin x6y=0.2 0.4 x5.6， 或或 12.4x17.6.故該船在故該船在0 0：2424至至5 5：3636和和1212：2424至至1717：3636期間可以進港期間可以進港. .(3)(3)若若2x24, x2x24, x時刻吃水深度為時刻吃水深度為h(x)=5.5h(x)=5.50.3(x0.3(x

10、2)2)，由由f(x)h(x)+1.5f(x)h(x)+1.5，得，得 sinx 0.440.12x.65101520 xyO1-1 y=sin x6y=-0.12x+0.44 畫出畫出y=sin y=sin 和和y=0.44y=0.440.12x0.12x的圖像的圖像( (如圖如圖) )，6x由圖像可知當由圖像可知當x=6.7x=6.7時，即時，即6 6：4242時，該船必須停時，該船必須停止卸貨，將船駛向較深的水域止卸貨，將船駛向較深的水域. . 一半徑為一半徑為3m3m的水輪如圖所的水輪如圖所示，水輪圓心示，水輪圓心O距離水面距離水面2m2m，已，已知水輪每分鐘轉動知水輪每分鐘轉動4 4

11、圈，如果當圈，如果當水輪上一點水輪上一點P P從水中浮現(xiàn)時從水中浮現(xiàn)時( (圖中點圖中點P P0 0) )開始計算開始計算時間時間.(1).(1)將點將點P P距離水面的高度距離水面的高度z z(m)(m)表示為時間表示為時間t(s)t(s)的函數(shù)的函數(shù). .(2)(2)點點P P第一次達到最高點大約要多長時間？第一次達到最高點大約要多長時間？OPP023OPP023xy解解: :(1)不妨設水輪沿逆時針方向旋不妨設水輪沿逆時針方向旋轉轉, ,如圖所示如圖所示, ,建立平面直角坐標系建立平面直角坐標系. . 設角設角 ( 0) )是以是以Ox為為始邊，始邊，OP0為終邊的角為終邊的角. .2由由OP在在ts內(nèi)所轉過的角為內(nèi)所轉過的角為 ，可知以可知以Ox為始邊，為始邊， OP為終邊的角為為終邊的角為 , ,4 22()t =t60152t +15，則則2z3sin(t + )2.15當當t=0t=0時，時，z z =0=0，可得，可得2sin.3 因為因為 ，所以，所以 -0.73-0.73， 02故所求函數(shù)關系式為故所求函數(shù)關系式為2z = 3sin(t0.73)+2.152t +15故故P P點縱坐標為點縱坐標為3sin( )3sin( )，(2)令令 得得23sin(t0.73)2515z，2sin(t0.73)1.152t0.73152，取取解得解得t5.5.答答