線性代數(shù)與解析幾何：3向量組的秩

1、四、向量組的秩四、向量組的秩1.1.極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組2.2.向量組的秩向量組的秩3.3.向量組的秩的研究和應(yīng)用向量組的秩的研究和應(yīng)用4.4.極大線性無關(guān)組的求解極大線性無關(guān)組的求解1.極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組定義：設(shè)定義：設(shè) A1 是向量組是向量組 A 的一個部分向量組，的一個部分向量組，如果如果 A1 線性無關(guān)，但將線性無關(guān)，但將 A 中其他向量中其他向量(若有若有)添加進添加進 A1 后所得的部分向量組線性相關(guān)，后所得的部分向量組線性相關(guān)，則稱則稱 A1 是是 A 的的極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組幾個等價定義：幾個等價定義：1. A1 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且 A1 與與

2、A等價等價2. A1 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且 A中向量均可由中向量均可由A1線性表示線性表示 2.向量向量組的秩組的秩定義：設(shè)定義：設(shè) A 是一個向量組，是一個向量組， A1 是是 A 的的極大極大線性無關(guān)線性無關(guān)組，組， A1中向量的個數(shù)稱為是中向量的個數(shù)稱為是A的秩的秩。 問題：問題：1. 極極大線性無關(guān)組是否唯一？大線性無關(guān)組是否唯一？2. 該定義是否合理？該定義是否合理？3. 若要使該定義合理，需要說明什么？若要使該定義合理，需要說明什么？121212:,:,( )( )rsABABrsA 設(shè)設(shè)兩兩個個向向量量組組和和滿滿足足定定：向向量量組組可可由由向向量量組組線線性性表表示示則則

3、向向量量組組必必線線理理：性性相相關(guān)關(guān)。121212,.1,rsrrs 設(shè)設(shè)可可由由線線性性表表示示，且且線線性性無無關(guān)關(guān)，則則推推論論 ：1nn 任任意意個個維維向向量量一一定定線線性性相相關(guān)關(guān)。一一般般地地，向向量量個個數(shù)數(shù)超超過過維維數(shù)數(shù)時時，它它們們一一定定線線推推論論2 2：性性相相關(guān)關(guān)。所以，向量組的秩的定義合理所以，向量組的秩的定義合理定義：設(shè)定義：設(shè) A 是一個向量組，是一個向量組， A1 是是 A 的的極大極大線性無關(guān)線性無關(guān)組，組， A1中向量的個數(shù)稱為是中向量的個數(shù)稱為是A的秩的秩。 4等等價價的的向向量量組組有有相相推推論論 ：同同的的秩秩。3一一個個向向量量組組的的所

4、所有有極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組都都含含有有相相同同個個推推論論 ：數(shù)數(shù)的的向向量量。3.向量組的秩的研究和應(yīng)用向量組的秩的研究和應(yīng)用矩陣的行秩和列秩矩陣的行秩和列秩111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa A A的每一行都是的每一行都是n n維的行向量，一個有維的行向量，一個有m m個行向量，個行向量，這這m m個行向量組成的向量組的秩稱為個行向量組成的向量組的秩稱為矩陣矩陣A A的行秩的行秩；A A的每一列都是的每一列都是m m維的行向量，一個有維的行向量，一個有n n個列向量，個列向量，這這n n個行向量組成的向量組的秩稱為個行向量組成的向量組的秩稱為矩陣矩陣A A的列

5、秩的列秩；1134021400050000A 例例題題：求求矩矩陣陣的的行行秩秩和和列列秩秩。224311 3 40 21 40 0 0 511102400500011( , , , ),( , , ),( , , ,3,=)=3 為為行行為為列列向向量量向向量量組組的的極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組，所所以以行行秩秩為為 。組組的的極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組，所所以以列列秩秩解解也也為為：。矩矩陣陣的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩陣陣的的秩秩?；仡櫨仃嚨闹鹊亩x：非零子式的最高階數(shù)，回顧矩陣的秩的定義：非零子式的最高階數(shù)，主要計算方法：等價階梯矩陣的非零行數(shù)。主要計算方法：

6、等價階梯矩陣的非零行數(shù)。:A 12m向量組線性無關(guān), , ,rank,mm 12, , , ,121 0mmxxx 方方程程組組只只有有零零解解2利用：利用：矩矩陣陣的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩陣陣的的秩秩。 1212:,rankA , , , ,rArA 中中的的任任意意 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組成成的的向向量量組組都都設(shè)設(shè)向向量量組組若若是是的的極極，則則：大大線線性性組組：。推推論論無無關(guān)關(guān)mm這這給出了求解向量組的秩和極大線性無關(guān)組的一個方法：給出了求解向量組的秩和極大線性無關(guān)組的一個方法：給定一個向量組，要求它的秩，只要求它對應(yīng)的矩陣的秩，給定一個向

7、量組，要求它的秩，只要求它對應(yīng)的矩陣的秩，要求它的極大線性無關(guān)組，只要找一個包含要求它的極大線性無關(guān)組，只要找一個包含r個向量的線性無個向量的線性無關(guān)組。關(guān)組。下面我們給出計算秩和求解極大線性無關(guān)組的步驟：下面我們給出計算秩和求解極大線性無關(guān)組的步驟：1.1. 若為行向量組，先通過轉(zhuǎn)置將它們變?yōu)榱邢蛄拷M；若為行向量組，先通過轉(zhuǎn)置將它們變?yōu)榱邢蛄拷M；2.2. 將列向量組排列成一個矩陣將列向量組排列成一個矩陣 A=(1, 2 , , t);3.3. 對矩陣對矩陣 A A 進行初等行變換，將其變?yōu)殡A梯矩陣；進行初等行變換，將其變?yōu)殡A梯矩陣；4.4. 在階梯矩陣中的列向量里找出極大線性無關(guān)組；在階梯矩

8、陣中的列向量里找出極大線性無關(guān)組；5.5. 在在 A A 中選取相應(yīng)的列組成的列向量組就是中選取相應(yīng)的列組成的列向量組就是 A A 的極大線的極大線性無關(guān)組，其中向量的個數(shù)就是原先向量組的秩；性無關(guān)組，其中向量的個數(shù)就是原先向量組的秩；6.6. 如果原先向量組為行向量組，再將如果原先向量組為行向量組，再將5 5中求得的列向量極中求得的列向量極大線性無關(guān)組轉(zhuǎn)置成行向量即可。大線性無關(guān)組轉(zhuǎn)置成行向量即可。計算向量組秩計算向量組秩和求解極大線性無關(guān)組的步驟：和求解極大線性無關(guān)組的步驟：例題：課本作業(yè)第例題：課本作業(yè)第7題題123452 1 2 24111 0 20 1 2 11111111 2 11

9、1( , , , ,),( , , , ),( , , , ,),(, ),( , , , , ). 例例：設(shè)設(shè)求求秩秩和和一一個個極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組。1544332122532422210111111211112111122101101213212112121102200201112011101100421114211102113rrrrrrrrrrrrrr 解解：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置后后排排列列為為矩矩陣陣得得32412111121111211112011000110001100021130031300313012130031300000022000000000000rrrr 1231243

10、,.(,) 所所以以秩秩為為 ，極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組可可取取為為也也可可取取為為等等矩矩陣陣的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩陣陣的的秩秩。1212:,:,.1,rsAABB 推推論論向向量量組組的的設(shè)設(shè)可可由由秩秩向向量量組組線線性性表表示示，則則的的秩秩：121212:,:,( );(|)( )( )(|)(. )( )rsABABr A Br BABr Ar A Br B 記記和和可可由由線線為為兩兩個個向向量量組組則則: :性性表表和和等等價價思思：示示考考題題()min ( ),( ),.rA BmAr ABsBnrn 設(shè)設(shè)分分別別為為矩矩陣陣，定定則則理理：1122( )min (), (), (),ttr Ar AAr Ar