高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程課件

1、高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程四、全微分方程四、全微分方程為為則則稱稱若若0),(),(, dyyxQdxyxPyPxQ定義、定義、性性質(zhì)質(zhì)、.),(:,0),(),(,),(),(),(),(cyxudyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxduyxu 其其通通解解為為是是全全微微分分方方程程則則使使得得若若存存在在.全微分方程全微分方程證證明明0),(),( dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxdu),(),(),( cyxu ),(. 0),( yxdu推論、推論、.),(),(;),(),(:,0),(),(000000cdyyxQdxyxPcdyyxQdxy

2、xPdyyxQdxyxPyyxxyyxx 或或則則通通解解為為是是全全微微分分方方程程若若;),(),(),(yPxQdyyxQdxyxPyxu 的原函數(shù)的原函數(shù)是是高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程.),(,0),(),(),(),(:0),(為為積積分分因因子子那那么么稱稱成成為為全全微微分分方方程程如如果果使使得得，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)yxdyyxQyxdxyxPyxyx 定義、定義、.0)33()35(222324的通解的通解求求 dyyxyyxdxyxyx、例例6、解法解法1;36)33(2222yxyyxyyxx .;36)35(2324原原方方程程為為全全微微分分方方程程 y

3、xyyxyxycdyyyydxyxyxyx 02220324)0303()35(:通通解解cyxyyxxyx 030322531)23(.3123:33225cyxyyxx 通通解解高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程、解解法法2;36)33(2222yxyyxyyxx .;36)35(2324原原方方程程為為全全微微分分方方程程 yxyyxyxy dxyxyxuyxyxxu)35(35324324);(233225yxyyxx yyxyyxxyu) )(23(3225 );(3322yxyyx 22233yxyyxyu2222233)(33yxyyxyxyyx ;31)(,)(32

4、yyyy 取取;312333225yxyyxxu .3123:33225cyxyyxx 通解為通解為.0)33()35(222324的通解的通解求求 dyyxyyxdxyxyx高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程.0)1()1(的的積積分分因因子子并并求求其其通通解解求求方方程程 dyxyxdxxyy、例例7解解00)1()1(22 ydyxxdydxxyydxdyxyxdxxyy022 ydyxdxxyxdyydx0)()( xdyydxxyxyd0)()(23 yxdyydxxyxyd0)(22 yxdxyyxxyd;1),(22yxyx 在在以以上上方方程程兩兩邊邊乘乘以以0)

5、(22 yxdxyyxxyd0)(ln)1( yxdxyd0)ln1( yxxyd;1).1(22是是積積分分因因子子yx cyxxy ln1).2(cxyyx 1lnxyceeyx1 .:1xyceyx 通解為通解為高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程第第14章、二階微分方程章、二階微分方程第一節(jié)、第一節(jié)、 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程)(1xfy 、21)(:cxcdxdxxfy 通解通解.).)(.(;.)!2()!1().)(.(:)(1221112211)(nnnnnnnnnnncxcxcxcdxdxdxxfycxcnxcnxcdxdxdxxfyxfy 或或的的

6、通通解解為為.cos2的的通通解解求求方方程程xeyx 、例例1解解 dxxdxedxxeyxxcos)cos(22;sin2112cxex dxcxeyx)sin21(12;cos41212cxcxex dxcxcxeyx)cos41(212.2sin8132212cxcxcxex .sin3221281cxcxcxeyx 通通解解高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程一一階階方方程程令令 ),(:zxfdxdzzy),(2yxfy 、:通通解解為為解解得得此此一一階階微微分分方方程程的的);,(1cxzz );,(,1cxzyzy .),(21cdxcxzy .2)1(2的通解的通

7、解求方程求方程yxyx 、例例2解解,:yz 令令;12;2)1(22dxxxzdzxzdxdzx dxxxzdz 212;1ln)1ln(ln22cxzcxz 12211cxzexzc );1(21xcz );1(21xcy .)31()1(231221cxxccdxxcy 高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程、例例3解解,cos,sinHTsT sH tan)( ,tan,tan HasasH dxyayx 0211211yay 0,11:002xxyayyay初值問題初值問題211zadxdz dxazdz112 dxazdz1121caxarshz 0)0()0( yz000

8、11 ccaxarshz axshyaxshz 2caxachaxdaxshadxaxshy acachy 20)0(. 02 caxachy :懸鏈線方程為懸鏈線方程為dxysx 021,:zy 令令 tan y?.,時時是是怎怎樣樣的的曲曲線線試試問問該該繩繩索索在在平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)而而下下垂垂繩繩索索僅僅受受重重力力作作用用兩兩端端固固定定設(shè)設(shè)有有一一均均勻勻柔柔軟軟的的繩繩索索高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程),(yyfy 三三、;dydzzdxdydydzdxdzy zy :令令,),(一階方程一階方程 zyfdydzz:得得解解出出此此一一階階方方程程的的通通解解);

9、,(1cyzz ).,(),(11cyzdxdycyzy dxcyzdy ),(1 dxcyzdy),(1.),(21cxcyzdy .02的的通通解解求求微微分分方方程程 yyy、例例4解解;,:dydzzdxdydydzdxdzyyz 令令;0022ydyzdzzdydzyzyyy cyzcyz ln,lnln;1yczeyzc ;,11dxcydyycy ,1 dxcydy,ln1cxcy .:12xcecy 通解為通解為;1cxceey 高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程第二節(jié)、第二節(jié)、 高階線性微分方程高階線性微分方程一、線性微分方程舉例一、線性微分方程舉例彈簧振動問題彈

10、簧振動問題(1)(1)、無阻尼自由振動、無阻尼自由振動0222 xkdtxd(2)(2)、有阻尼自由振動、有阻尼自由振動02222 xkdtdxndtxd(3)(3)、有阻尼受迫振動、有阻尼受迫振動)(2222tfxkdtdxndtxd :二階線性微分方程二階線性微分方程);()()(xfyxqyxpy :二二階階線線性性齊齊次次微微分分方方程程; 0)()( yxqyxpy:程程二二階階線線性性非非齊齊次次微微分分方方),()()(xfyxqyxpy )(不恒等于零不恒等于零xf高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程:階線性微分方程階線性微分方程n.,.,2 , 1,),(:);()

11、()(.)()(1)2(2)1(1)(niIxpxfyxpyxpyxpyxpyinnnnn 上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間其其中中:階階線線性性齊齊次次微微分分方方程程n; 0)()(.)()(1)2(2)1(1)( yxpyxpyxpyxpynnnnn:階線性非齊次微分方程階線性非齊次微分方程n)()()(.)()(1)2(2)1(1)(xfyxpyxpyxpyxpynnnnn )(不恒等于零不恒等于零xf二、線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu).,.0)()(,0)()()()(2122112121是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中的的解解也也是是的的線線性性組組合合與與則則的的兩

12、兩個個解解是是齊齊次次線線性性方方程程與與若若函函數(shù)數(shù)ccyxqyxpyycycyyyxqyxpyxyxy 、定定理理1證證明明;)()(:yxqyxpyyL 令令. 0002122112211 ccyLcyLcycycL. 0; 021 yLyL.02211的的解解為為 yLycyc高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程.;,0.,.,)(),.,(),(22112121否否則則線線性性無無關(guān)關(guān)上上線線性性相相關(guān)關(guān)個個函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱這這成成立立有有恒恒等等式式時時使使得得當當任任意意個個不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)如如果果存存在在個個函函數(shù)數(shù)上上的的為為定定義義在在區(qū)區(qū)

13、間間設(shè)設(shè)InykykykIxkkknnIxyxyxynnnn 、定義定義1.),()(),(122121為常數(shù)為常數(shù)或或線性相關(guān)線性相關(guān)兩個兩個ccyycyyxyxy 、推論推論1證證明明.,)(),(21結(jié)結(jié)論論正正確確至至少少有有一一個個等等于于零零xyxy.)(),(21全全不不為為零零下下面面討討論論xyxy, 0)(),(21221121不不全全為為零零線線性性相相關(guān)關(guān)kkykykxyxy .012211ckkyyk 不不妨妨假假設(shè)設(shè)02121 cyycyy.)(),(21線線性性相相關(guān)關(guān)xyxy高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程.,.0)()(,0)()()()(212

14、21121是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中的的通通解解是是則則的的兩兩個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特解解是是齊齊次次線線性性方方程程與與若若函函數(shù)數(shù)ccyxqyxpyycycyyxqyxpyxyxy 、定理定理2 .,.,.0)()(.)(.,0)()(.)()(),.,(),(21111221111121是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中解解的的通通是是則則個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特解解的的方方程程階階齊齊次次線線性性是是若若函函數(shù)數(shù)nnnnnnnnnnnncccyxpyxpyxpyycycycynyxpyxpyxpynxyxyxy 、定理定理3高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程三、線性非

15、齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu).0)()(;)()()()(),(2121的的特特解解是是方方程程那那么么的的特特解解是是方方程程如如果果 yxqyxpyyyyxfyxqyxpyxyxy、定定理理4.,.)()()(,0)()(,)()()()(21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中通通解解的的是是則則的的通通解解是是它它對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程而而的的一一個個特特解解是是非非齊齊次次線線性性方方程程若若函函數(shù)數(shù)ccxfyxqyxpyYyyyxqyxpyYxfyxqyxpyxy 、定理定理5高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程 .,.,.)()(.)(.,0)(

16、.)()(),.,(),(,)()(.)()(21112211112111是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中的的通通解解是是則則的的線線性性無無關(guān)關(guān)解解是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程而而的的一一個個特特解解階階線線性性方方程程是是若若函函數(shù)數(shù)nnnnnnnnnnnnncccxfyxpyxpyycycycyyyxpyxpyxyxyxyxfyxpyxpynxy 、定定理理6.)()()()(.)()()()(;)()()()(21212211的的特特解解是是方方程程那那么么的的特特解解是是方方程程的的特特解解是是方方程程如如果果xfxfyxqyxpyyyyxfyxqyxpyxyxfyxqyxpyxy

17、、定定理理7高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程、例例1.,:)()()(52求求此此方方程程的的通通解解的的三三個個特特解解為為設(shè)設(shè)xxeexxfyxqyxpy 解解分分別別是是線線性性齊齊次次方方程程xexexx 52,0)()(的特解的特解 yxqyxpy,52不不恒恒等等于于常常數(shù)數(shù)xexexx .,52線線性性無無關(guān)關(guān)xexexx :)()()(的的通通解解為為則則方方程程xfyxqyxpy xxecxecyxx )()(5221.)1(215221xccececyxx 、常常數(shù)數(shù)變變易易法法四四 、例例2.,)1(22)1(1222求求方方程程的的通通解解的的齊齊次次方方程程的的解解為為所所對對應(yīng)應(yīng)已已知知方方程程xyxxyyxyx 解解;)(xxuy 令令uxuuxuuuxuyuxuy 2)(,222)1(2)(2)2)(1( xxuxuxuxuxux代代入入微微分分方方程程22232)1(22222 xxuxuxxuuxuxuux高等數(shù)學(xué)教學(xué)第三四節(jié)可降階的及線性高階微分方程22232)1(22222 xxuxuxxuuxuxuux;)1(2223 xxuuxux1)1(222 xuxxuuw :令令1)1(222 xwxxw