第一屆鵬程杯數(shù)學邀請賽小學六年級試題及答案解析

1、第一屆鵬程杯數(shù)學邀請賽小學六年級試題及答案解析（考試時間100分鐘，滿分120分）一、填空題（滿分60分，每小題6分）1.計算：4780××2844764×71.6)÷（1+）=（ ）。考查內(nèi)容：速算與巧算.答：1584解析：原式4780×994764×（28.471.6）×4780×994764×9916×9916001615842. 字母 A，B，C，D 代表不同的數(shù)碼，恰使得成立，則=_ 考查內(nèi)容：數(shù)字謎和四則運算.答：解析：A=1，B=8，C=2，D=7.所以3. 如圖，10個圓的半徑相

2、等，已知陰影部分的面積是48平方厘米，這10個圓的面積之和是多少平方厘米？(取3.14)=考查內(nèi)容：圖形的面積計算.答：解析：四個圓夾在中間的一塊可以看成是一個邊長為2r的正方形面積減去四個圓的面積，也就是減去一個圓的面積，即是 .(5分)陰影部分的面積可表示為： 即是 .(8分)那么（平方厘米） .（2分）4. 桌上的盤子里放著60 塊餅干，5 個孩子用它來招待客人。每個孩子從盤子里給每個自己認識的客人拿了1 塊餅干，然后，客人也從盤子里給每個不認識的孩子拿了1 塊餅干，此時，盤子里的餅干剛好被拿空。在場一共有_個客人。考查內(nèi)容：簡單應用題答：12解析：每個孩子認識的客人數(shù)加不認識的客人數(shù)的

3、和相等60÷5=12（人）5. 將一個大正方體木塊的六個面都染成紅色，然后將這個大正方體切割成個小正方體積木. 已知至少有2 個面為紅面的小積木共有44 塊，則6 個面都沒染紅的小正方體積木共有_塊. 考查內(nèi)容：空間觀念，簡易方程. 答：27解：不妨設(shè)大正方體棱長為，則共個12(n-2)個，3 個面為紅色的有 8 個.因此至少有 2 個面為紅面的小積木塊共有12(n-2)+8 個，列得方程12(n-2)+8 = 44,解得n = 5.所以 6 個面都沒染紅色的單位正方體積木共有塊。6.電子鐘指示時刻由00.00.00到23.59.59. 每個時么，在一晝夜期間鐘表上顯示3個數(shù)字7 的

4、時刻共有秒.考查內(nèi)容：簡單組合計數(shù).答：72秒.解：如果在表盤上顯示的數(shù)字為因為那么。所以出現(xiàn)的3個7只能。是此時或.全部得到2.6.6=72個出現(xiàn)3個7的時刻，而每個時刻顯示1秒鐘，總計72秒。7. 在下面的釘子板上，用橡皮筋最多可以圍出（）個正方形?？疾閮?nèi)容：分類討論、計數(shù).答：20 9個4個1個4個2個8. 已知a 與b 是互質(zhì)的自然數(shù)，且b 小于50, 則滿足的有序?qū)Φ膫€數(shù)是_. (,) ab考查內(nèi)容：分類討論、計數(shù).答: 18解: 由a, b是互質(zhì)的自然數(shù)，和，得。注意到b小于50.當a=1時, 沒有沒有符合條件的 b；當a=2時，b=13；當a=3時，b=19，20；當a=4時，b

5、=25,27；當a=5時，b=31,32,33,34；當a=6市，b=37,41；當a=7時，b=43,44,45,46,47,48；當a=8時，b=49.所以有18個。9. 一個 6 位的自然數(shù)是7的倍數(shù)，則的最大值等于_.考查內(nèi)容：整數(shù)整除和最值. 答: 27解: 則被7整除。因為B、C是阿拉伯數(shù)碼，所以B=C=9時，2B+C可取得最大值27，此時6B+2C=72，除以7余2，故取A=2,則可以被7整除，所以B=C=9是可以成立的。10. 已知3 個不同的非零自然數(shù), 它們兩兩互質(zhì), 且其中任二數(shù)之和都能被第三個數(shù)整除, 則_.考查內(nèi)容：整數(shù)整除和計算求值.答: 解: 由于a, b, cb

6、c，則a+b2c. 即，既然a,b,c中任二數(shù)之和都能被第三個數(shù)整除, 則有，也就是a+b=c。因為b|a+c,所以b|（2a+b），但（a，b）=1，所以b|2.此時，b=1或b=2.但b=1時，有ab=1，則a=0不合題意，所以b=2，此時有a=1，b=2，c=a+b=3為所求的三個自然數(shù)，所以二、解答題（滿分60分，其中第11-13題各10分,第14、15題各15分）11.一張長方形紙片，長為200厘米，將它按如圖所示的方式折一下，剪下一個邊長等于長方形紙片寬的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的長方形紙片繼續(xù)按相同的方式操作，剪下一個邊長等于此時長方形紙片寬的正方形，如此操作下去。若在

7、第3次操作后，剩下的長方形紙片恰好為正方形，求原長方形紙片的寬。解:如下圖所示，分四種情況考慮：（1）剪4個一樣大的正方形，原長方形紙片寬：200÷450（厘米）。3分（2）剪2個較大的和2個較小的，原長方形紙片寬：200÷5×280（厘米）。4分（3）剪1個較大的和3個較小的，原長方形紙片寬：200÷4×3150（厘米）。4分（4）剪1個較大的和3個較小的，原長方形紙片寬：200÷5×3120（厘米）。4分12. 小明家離外婆家有2500米的路程，其中平路占，到外婆家上山路是下山路的，小明從家出發(fā)，用了50分鐘到達外婆家。

8、已知小明上山路的速度比平路慢20%，下山路的速度比平路快20%，照這樣計算，小明從外婆家返回家里要走多少分鐘？解:小明到外婆家，上山路是全程的，下山路是全程的 .2分平路、上山路與下山路的路程比是. .1分平路、上山路與下山路的速度比是1:(1-20%):(1+20%)=5:4：6 .1分那么他在平路、上山路與下山路所用時間的比是 .2分在平路上所用的時間是（分），在平路的速度是（米/分），上山路的速度是50×（1-20%）=40（米/分），下山路的速度是50×（1+20%）=40（米/分）。 .4分返回家里的用時為： .5分答，小明從外婆家返回家里要走分鐘。13、 如圖四

9、邊形ABCD為任意四邊形，且它的面積為，E、F將AB三等分，G、H將CD三等分，連接FG和EH，則原四邊形被分成三個小的四邊形，試求中間的小四邊形EFGH的面積。解：， 所以，即 .5分因為，所以，即 ，因此， .10分14.為了準備參加“鵬程杯”數(shù)學競賽，小明用5天時間共做了31道練習題. 每天做題的數(shù)量都比前一天有所增加.如果他第一天做題量是第五天的三分之一，問他第四天作了幾道題？簡述你的理由.考查內(nèi)容：題目不難，主要考察說明理由的邏輯表述.答：8道題.解：如果小明在第一天作了不多于兩道題, 即這意味著在第五天他做了不多于六道題. 并且5天做題總數(shù)不多于5.6=30道，小于總題數(shù)31道.

10、不符×（4分)如果在第一天他做了不少于4 道題，那么在第二天做了不少于5 道題，在第三天做了不少于6 道題， 第四天不少于7 道題，而在第五天不少于12 道題. 這樣他五天做題總數(shù)不少于4+5+6+7+12=34 道題.大于總題數(shù)31 道題. 不符.由此得出，在第一天小明只能做3 道題. 在第五天他作了9 道題.我們假設(shè)，在第四天他做了不多于7 道題，則在第三天他做了不多于6 道題，在第二天他做了不多于5 道題.五天共做不多于3+5+6+7+9=30 道題.不合題意.這樣一來，在第四天他只能做8 道題.例如：從第一天到第五天分別做3，5，6，8，9 道題，或分別做3，4，7，8，9

11、道題滿足題設(shè)條件.評分說明：猜到第四天做8 道題，可給1 分；同時列舉了從第一天到第五天分別做3，5，6，8，9 道題，或分別做3，4，7，8，9 道題的3 分；猜到第四天做8 道題，并說明了理由的5 分；進一步說明“第一天不能做兩道題或少于兩道題”的另得5 分；進一步說明“第一天不能做四道題或多于四道題”的也另得5分15. 如果存在連續(xù)的n 個非零自然數(shù)，每個數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式（相同的質(zhì)因數(shù)都寫成乘方的形式）中，所有質(zhì)數(shù)的乘方次數(shù)都是奇數(shù)，這樣的n 個連續(xù)自然數(shù)稱作一組“n朵梅花數(shù)”.如，就是一組“3朵梅花數(shù)”.（1）請你寫出一組“4 朵梅花數(shù)”.（2）試確定n的最大值.并說明理由.考察內(nèi)容：對新概念的理解，會舉符合定義的實例，考察離散極值的求法.解：（1）如，就是一組“4 朵梅花數(shù)”. （5 分）（2）我們先證明n8時不存在“8朵梅花數(shù)”.因為n8