2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：1.2 第2課時(shí)　高度、角度問題 Word版含解析

1、第2課時(shí)高度、角度問題目標(biāo) 1.鞏固正、余弦定理等基本知識(shí)點(diǎn)；2.能夠運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)和方法求解高度和角度問題重點(diǎn) 在三角形中利用正、余弦定理解決高度、角度問題難點(diǎn) 把實(shí)際問題中的條件和所求轉(zhuǎn)化為三角形中的已知和未知的邊角，建立數(shù)學(xué)模型求解知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語 填一填1俯角和仰角：如下圖所示，當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角2方向角和方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫方向角目標(biāo)方向線方向一般可用“×偏×”多少度來表示，這里第一個(gè)“×”是“

2、北”或“南”，第二個(gè)“×”是“東”或“西”如圖所示，oa，ob，oc，od的方向角分別表示北偏東60°、北偏西30°、西南方向、南偏東20°.方位角：從某點(diǎn)開始的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線為止的水平角叫方位角3坡度和坡比：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)叫坡度，坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫坡比.如圖所示答一答1“視角”是“仰角”嗎？提示：不是視角是指觀察物體的兩端視線張開的角度如圖所示，視角60°指的是觀察該物體上下兩端點(diǎn)時(shí)，視線的張角2方向角和方位角有何區(qū)別？提示：方向角是指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，

3、而方位角是從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角3坡度和坡比有什么區(qū)別？提示：坡度是坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)，而坡比是坡面的鉛直高度與水平寬度的比知識(shí)點(diǎn)二高度與角度問題 填一填1高度問題測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦或余弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題2角度問題測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函數(shù)值，然后求角，再根據(jù)需要求所求的角答一答4為了測(cè)量某建筑物的高度所構(gòu)造的三角形，其所在平面與地面之間有什么關(guān)系？提示：為了測(cè)量某建筑物的高度所構(gòu)造

4、的三角形，其所在平面與地面垂直5解三角形應(yīng)用問題常見的幾種情況是什么？提示：解三角形實(shí)際應(yīng)用問題經(jīng)抽象概括為解三角形問題時(shí)，常見情況有以下幾種：(1)已知量與未知量全都集中在一個(gè)三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解；(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形這時(shí)可先解條件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有時(shí)需要設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程組，解方程或方程組得到答案類型一底面不可達(dá)到的高度問題例1如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到a處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂d在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)b處，測(cè)得此山頂在西偏北75

5、6;的方向上，仰角為30°，則此山的高度cd_m. 分析將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題在abc中，bac30°，abc105°，ab600 m已知兩角及其夾邊，可考慮用正弦定理求解在rtbcd中，cbd30°，求cd.解析由題意，在abc中，bac30°，abc180°75°105°，故acb45°.又ab600 m，故由正弦定理得，解得bc300 m.在rtbcd中，cdbc·tan30°300×100(m)答案100對(duì)于底部不可到達(dá)的建筑物的高度測(cè)量問題，我們可選擇一條過建

6、筑物底部點(diǎn)的基線，在基線上取另外兩點(diǎn)，這樣四點(diǎn)可以構(gòu)成兩個(gè)小三角形.其中，把不含未知高度的那個(gè)小三角形作為依托，從中解出相關(guān)量，進(jìn)而應(yīng)用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可.變式訓(xùn)練1如圖，為測(cè)量山高mn，選擇a和另一座山的山頂c為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從a點(diǎn)測(cè)得m點(diǎn)的仰角man60°，c點(diǎn)的仰角cab45°以及mac75°；從c點(diǎn)測(cè)得mca60°.已知山高bc100 m，則山高mn150 m.解析：根據(jù)圖示，ac100 m.在mac中，cma180°75°60°45°.由正弦定理，得am100 m.在amn中，

7、sin60°，mn100×150(m)類型二頂部不可達(dá)到的高度問題例2如圖所示，在山頂鐵塔上b處測(cè)得地面上一點(diǎn)a的俯角為，在塔底c處測(cè)得點(diǎn)a的俯角為，已知鐵塔bc部分的高為h，求出山高cd.分析根據(jù)已知條件，應(yīng)該先設(shè)法計(jì)算出ab的長，再在rtabd中解得bd，最后求出cd.解在abc中，bca90°，abc90°，bac，bad，則，ab.在rtabd中，bdabsinbad，cdbdbch.對(duì)于頂部不能到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量，我們可以選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即

8、可.變式訓(xùn)練2如圖，線段ab，cd分別表示甲、乙兩樓，abbd，cdbd，從甲樓頂部a處測(cè)得乙樓頂部c的仰角30°，測(cè)得乙樓底部d的俯角60°，已知甲樓高ab24米，則乙樓高cd32米解析：edab24米，在acd中，cad30°60°90°，aecd，de24米，則ad16(米)，則cd32(米)類型三角度問題例3某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，海軍艦艇在a處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45°、距離為10 km的c處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以10 km/h的速度向小島靠攏，海軍艦艇立即以10 km

9、/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間分析由題意知，要求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間，可設(shè)靠近的位置為b處因此只要確定bac及ab的值即可故先設(shè)出艦艇與漁船靠近的時(shí)間t，然后在abc中利用余弦定理建立關(guān)于t的方程，即可求解解如圖所示，設(shè)t小時(shí)后，艦艇與漁船在b處靠近，則ab10t，cb10t，在abc中，根據(jù)余弦定理，則有ab2ac2bc22ac·bc·cos120°，可得(10t)2102(10t)22×10×10tcos120°，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)所以艦艇需1小時(shí)靠近漁船此時(shí)ab10，bc10

10、.在abc中，由正弦定理，得，所以sincab.又因?yàn)閏ab為銳角，所以cab30°.所以艦艇航行的方位角bad45°30°75°.答：艦艇航行的方位角為75°，航行的時(shí)間為1小時(shí)測(cè)量角度問題主要是指在海上或空中測(cè)量角度的問題，如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建筑物的視角等.解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解.解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)合圖形去選擇定理，這是最關(guān)鍵、最重要的一步.

11、變式訓(xùn)練3某海上養(yǎng)殖基地a，接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60°且相距20(1)海里的海面上有一臺(tái)風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時(shí)10海里的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且(1)小時(shí)后開始影響基地持續(xù)2小時(shí)，求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向解：如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為b，開始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為c，基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為d，則b，c，d在一直線上，且ad20，ac20.由題意ab20(1)，dc20，bc(1)×10.在adc中，dc2ad2ac2，dac90°，adc45°.在abc中，由余弦定理得cosbac.bac3

12、0°，又b位于a南偏東60°，60°30°90°180°，d位于a的正北方向，又adc45°，臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向?yàn)橄蛄康姆较蚣幢逼?5°方向答：臺(tái)風(fēng)向北偏西45°方向移動(dòng)1.若點(diǎn)a在點(diǎn)c的北偏東30°方向上，點(diǎn)b在點(diǎn)c的南偏東60°方向上，且acbc，如圖，則點(diǎn)a在點(diǎn)b的(b)a北偏東15°方向上b北偏西15°方向上c北偏東10°方向上d北偏西10°方向上解析：如圖，acbc，由圖可知，cabcba45°，利用內(nèi)錯(cuò)角相等可知，a位于b北偏

13、西15°，故選b.2如圖，d，c，b三點(diǎn)在地面同一直線上，dc100 m，從c，d兩點(diǎn)測(cè)得a點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則a點(diǎn)離地面的高度ab等于(a)a50 m b100 mc50 m d100 m解析：因?yàn)閐acacbd60°30°30°，所以adc為等腰三角形所以acdc100 m，在rtabc中，abacsin60°50 m.3如圖，位于a處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的b處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原地等待營救在a處南偏西30°且相距20海里的c處有一艘救援船，該船接到觀測(cè)站通知后立即前往b處救助

14、，則sinacb.解析：在abc中，ab40，ac20，bac120°.由余弦定理，得bc2ab2ac22ab·ac·cos120°2 800，所以bc20.由正弦定理，得sinacb·sinbac.4.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高ab時(shí)可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)c與d，測(cè)得bcd15°，bdc30°，cd30米，并在點(diǎn)c測(cè)得塔頂a的仰角為60°，則塔高ab15米解析：在bcd中，cbd180°15°30°135°，由正弦定理，得，所以bc15.在rtabc中，abbc

15、tanacb15tan60°15(米)5某巡邏艇在a處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°距a處8海里處有一走私船，正沿東偏南15°的方向以12海里/小時(shí)的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12海里/小時(shí)的速度沿直線追擊，問巡邏艇最少需要多長時(shí)間才能追到走私船，并指出巡邏艇的航行方向解：設(shè)經(jīng)過t小時(shí)在點(diǎn)c處剛好追上走私船，依題意：ac12t，bc12t，如圖，abc120°，在abc中，所以sinbac，bac30°，所以bca180°30°120°30°，所以abbc812t，解得t，航行的方向?yàn)椋簴|偏北15°.答：最少經(jīng)過小時(shí)可追到走私船，沿東偏北15°的方向航行本課須掌握的三大問題1數(shù)學(xué)建模思想：解三角形應(yīng)用題時(shí)，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得到實(shí)際問題的解，這就是數(shù)學(xué)建模思想2解三角形應(yīng)用題的具體操作