重積分應(yīng)用06

1、7 .424 2域的體積和三個(gè)坐標(biāo)平面所圍區(qū)平面求拋物柱面yx,xz21 求半徑為R的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。 .222222所圍立體的體積和求圓柱面azxayx4569所圍體積.與圓錐面旋轉(zhuǎn)拋物面轉(zhuǎn)yxazaazyx)( 的公共部分的體積)所圍成( 與球面 求球面022222222babzyxazzyx10 曲面面積所圍成的體積。 拋物柱面 求橢圓拋物面 xzz,yx 222138所圍成的體積。 0)( 與圓柱面 z求球面222222aaxyxayx30所圍成的體積。 )與平面圓柱面, 求雙曲拋物面zaax yxaxyz0(22 所圍立體的體積. 1 及平面 拋物柱面,

2、求由旋轉(zhuǎn)拋物面yxyzyx212713面積。所圍成的全表 與旋轉(zhuǎn)拋物面 半球面az yxyxaz232222214 222222所截的有限部分的面積 被圓錐面 求圓柱面xzyzzy11所割下部分的曲面面積 被圓柱面錐面 2 2222xyxyxz15 求位于圓r=2sin和圓r=4sin之間的均勻薄片的重心 17的重心 所圍立體 0 與平面 1求由拋物面22zyxz 的重心 0 , : 求均勻半球體zazyx2222所割出部分的面積。，求一柱面被另一柱面直交，圓柱的底半徑為兩相同正圓柱的軸互相a1216.2222)( RRzyx Rr=2R cos .rrVRdsinddcos202 020 .

3、 )(R43cos13 4 MRrVcos20: 20 0rz 0 xy M = 1.1.求半徑為求半徑為R的球面與半頂角為的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積Dxy: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4。20 z zyxVddd直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) xyDxzyxVddd。 xyxxd)(d340 40y xDxy先選系先選系 是是曲曲頂頂柱柱體體 積積。和和三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面所所圍圍體體平平面面求求拋拋物物柱柱面面 yx,xz 2.2.上頂：上頂：下底：下底：24xz 2.2.42 xz 積積。和和三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面所所圍圍體

4、體平平面面求求拋拋物物柱柱面面 yx,xz .0z yx2.2.42 xz 2x+y=4 積積。和和三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面所所圍圍體體平平面面求求拋拋物物柱柱面面 yx,xz .0z yx2.2.x = 04422x+y=4 xz 積積。和和三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面所所圍圍體體平平面面求求拋拋物物柱柱面面 yx,xz .0z yx2.2.z = 0y = 0z=0y =0 x = 04422x+y=4 240dddxDzyx.D xyxxd)(dV =340 . xz 積積。和和三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面所所圍圍體體平平面面求求拋拋物物柱柱面面 yx,xz .0z yxDxy:a22raz 柱

5、面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)r =a cos 22raz cosar 。所圍立體是曲頂柱體所圍立體是曲頂柱體Dxy0y x(指含在柱體內(nèi)部分)(指含在柱體內(nèi)部分) 所圍成的體積所圍成的體積 ) )與圓柱面與圓柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyx先選系先選系3.3.上頂：上頂：下底：下底：Dxy:。a22raz r =a cos 0y x 2033d)sin1(34 a a)943(2 3 dd420cos 022 arrra cosar 。所圍立體是曲頂柱體所圍立體是曲頂柱體 V(指含在柱體內(nèi)部分)(指含在柱體內(nèi)部分) 所圍成的體積所圍成的體積 ) )與圓柱面與圓柱面 求球面求球面 ( aaxyxaz

6、yx：上上頂頂：下底下底22raz D用用瓦里斯公式瓦里斯公式怎么計(jì)算？怎么計(jì)算？柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)先選系先選系 dd rrraD.3.3.(指含在柱體內(nèi)部分)(指含在柱體內(nèi)部分) 所圍成的體積所圍成的體積 ) )與圓柱面與圓柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyx 2222azyx zxyo.3.3.(指含在柱體內(nèi)部分)(指含在柱體內(nèi)部分) 所圍成的體積所圍成的體積 ) )與圓柱面與圓柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyxa 2222azyx 22axyx .3.3.xyoz(指含在柱體內(nèi)部分)(指含在柱體內(nèi)部分) 所圍成的體積所圍成的體積 ) )與圓柱面與圓柱面 求球面求球面 ( aa

7、xyxazyxz = 0axyzo 柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)。V 2033d)sin1(34 a a)943(2 3 rrraDdd 422 22raz 。 cosar 。 dd420cos 022 arrra。D 1.3.3.aaxz y04.所圍立體的體積。所圍立體的體積。 和和求圓柱面求圓柱面 azxayx Dy = 0 x = 0 DyxxaVdd3316a 22xaZ 22xay xayxad axdaaaaxoyD.xz y0.4.所圍立體的體積。所圍立體的體積。 和和求圓柱面求圓柱面 azxayx ozxyaxyz axyx 22 , 2所所圍圍成成的的體體積積與與平平面面圓圓柱柱面面求求雙

8、雙曲曲拋拋物物面面 z)a(axyxaxyz5.5.az =0axyz axyx 22ozxy , 2所所圍圍成成的的體體積積與與平平面面圓圓柱柱面面求求雙雙曲曲拋拋物物面面 z)a(axyxaxyz.5.5. , 2所所圍圍成成的的體體積積與與平平面面圓圓柱柱面面求求雙雙曲曲拋拋物物面面 z)a(axyxaxyzaz =0axyx 221 . zyxVddd. Dyxaxydd123a .，軸對(duì)稱軸對(duì)稱關(guān)于關(guān)于xDxy)()( y,xzy,xz 且且.ozxyD0y x.5.5.a2a2a0 xz yaraz 2azr 2.L)( aazyx 求求曲曲面面 所圍體積所圍體積 與與 yxaz

9、razzar2 2聯(lián)立聯(lián)立柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？用哪種坐標(biāo)？ azarL ：解得交線解得交線6.6.6.6.2a0 xz ya.L razazr2 2聯(lián)立聯(lián)立D arzD0 :.raz 2azr 2 DraarzrrV22ddd arrarra0220d)2(d.365a )( aazyx 求求曲曲面面柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？用哪種坐標(biāo)？ azarL ：解得交線解得交線. 所圍體積所圍體積 與與 yxaz 所所圍圍立立體體的的體體積積及及平平面面2 21 1 拋拋物物柱柱面面, ,求求由由旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面 yxyzyxxz y01 zyx立體關(guān)于立體關(guān)于xoy平面對(duì)稱平面對(duì)稱解解

10、7.7.作上半塊作上半塊立體圖立體圖 1 11xz y0 zyx yx2 21 1 立體關(guān)于立體關(guān)于xoy平面對(duì)稱平面對(duì)稱所所圍圍立立體體的的體體積積及及平平面面2 21 1 拋拋物物柱柱面面, ,求求由由旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面 yxyzyx解解7.7.作上半塊作上半塊立體圖立體圖 1 1xz y01 zyx yx2 21 1 y =1 1 1立體關(guān)于立體關(guān)于xoy平面對(duì)稱平面對(duì)稱作作上半塊上半塊立體圖立體圖 1 1所所圍圍立立體體的的體體積積及及平平面面2 21 1 拋拋物物柱柱面面, ,求求由由旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面 yxyzyx zyxVddd 20ddd2xyDzyx yyxxyydd)(

11、 . . .解解7.7. 所所圍圍成成的的體體積積拋拋物物柱柱面面 求求橢橢圓圓拋拋物物面面 xz, zyx 1 2xz zyx 223xyzo8. 1 2xz zyx 223xyzo 所所圍圍成成的的體體積積拋拋物物柱柱面面 求求橢橢圓圓拋拋物物面面 xz, zyx.8. Dxyxzyxddd。 xzzyx ：聯(lián)聯(lián)立立 014:22zyxDDD 10220d)1(21drrrV。V Dyxyxdd)(用廣義極坐標(biāo)用廣義極坐標(biāo) sincos21ryrxrryxdd21dd 。D: r 1, z = 04 。xyzo 所所圍圍成成的的體體積積拋拋物物柱柱面面 求求橢橢圓圓拋拋物物面面 xz, z

12、yx?.8.0 xz yab的的公公共共部部分分的的體體積積 所所圍圍成成與與球球面面 求求球球面面 )( 022222222 babzyxazzyx 9.b0 xz ya 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：2 用哪種坐標(biāo)系？用哪種坐標(biāo)系？1 是不是曲頂柱體？是不是曲頂柱體？ rrraarbabbd d22410222220 3 交線交線 L的方程？的方程？交線交線 L.24224abbr .)432(3abb .柱系柱系.9.V =上頂：上頂：下底：下底：22rbz 22raaz 4 Dxy ? Dxy 041:22zabbrDxy.的的公公共共部部分分的的體體積積 所所圍圍成成與與球球面面 求求球球面面 )(

13、022222222 babzyxazzyx (球系？球系？ 需分塊兒需分塊兒!)引理引理 1 2 A , 的的夾夾角角為為與與平平面面 Acos .一般情況，將一般情況，將A分割成分割成若干個(gè)上述類型的小矩形，若干個(gè)上述類型的小矩形，對(duì)每一個(gè)用引理，對(duì)每一個(gè)用引理，然后迭加然后迭加再取極限即可。再取極限即可。當(dāng)當(dāng)A是矩形是矩形,l證證且一邊與且一邊與l平行平行則則 也也是矩形是矩形, 且且b|cos|ab 引理成立引理成立.a ：這里：這里 即即 兩平面法矢量的夾角兩平面法矢量的夾角 證畢證畢10. 10. 曲面的面積曲面的面積|cos|A , 21A 上上的的投投影影為為在在上上的的區(qū)區(qū)域域

14、則則面面積積10. 10. 曲面的面積曲面的面積xz y0z = f (x,y)Di iS (xi , yi)Pi.10. 10. 曲面的面積曲面的面積xz y0 DyxyxyxfyxfSdd),(),(iiiA cos1z = f (x,y)Di iiAS iniiiyiixyxfyxf ),(),(122.iS (xi , yi) i Ai（由引理）（由引理） 1),(),( iiyiixiyxfyxfnPi.11.11. 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面積積 被被圓圓柱柱面面錐錐面面 xyxyxz xyzo1 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面積積 被被圓圓柱柱面面錐錐面面 xyx

15、yxz 1xyzo1.11.xyzo11D 02 :22zxyxDS DyxQPSdd22 yxxxzP 其中其中22yxyyzQ DyxSdd 2 . 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面積積 被被圓圓柱柱面面錐錐面面 xyxyxz 11.aaxz y0222ayx 222azx 設(shè)圓柱面為設(shè)圓柱面為的的面面積積。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圓圓柱柱的的底底半半徑徑為為兩兩相相同同正正圓圓柱柱的的軸軸互互相相a12.12.考慮第一卦限考慮第一卦限12.12.D22xaz aa.xz y0 DyxxaaSdd28a 22xay xayxaad axda

16、axoyD.22221xaazzyx .222ayx 222azx 設(shè)圓柱面為設(shè)圓柱面為.的的面面積積。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圓圓柱柱的的底底半半徑徑為為兩兩相相同同正正圓圓柱柱的的軸軸互互相相a13.13.a立立體體的的整整個(gè)個(gè)表表面面積積所所圍圍成成與與旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz yxzo13.13.xyzoDS =1S2S 共同的共同的 D : azyxyxaz2322222a2 zayx 即即2S2S2S1S.1S.立立體體的的整整個(gè)個(gè)表表面面積積所所圍圍成成與與旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面半半球球面面

17、2 3 22222azyxyxaz 所所截截的的有有限限部部分分的的面面積積被被圓圓錐錐面面求求圓圓柱柱面面 xzyzzy 2xzy14.14.o14.14.xzy2問(wèn)題：?jiǎn)栴}：曲面向哪個(gè)坐標(biāo)面投影？曲面向哪個(gè)坐標(biāo)面投影？. 所所截截的的有有限限部部分分的的面面積積被被圓圓錐錐面面求求圓圓柱柱面面 xzyzzy oxzy2 xzyzzy 聯(lián)立聯(lián)立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 22 , 2 :2 zzxDxz. xzDxzzxyySddDxz.14.14. 所所截截的的有有限限部部分分的的面面積積被被圓圓錐錐面面求求圓圓柱柱面面 xzyzzy o22zzy 其中，其中，xzy

18、2DxzxzzzSzzd21 d220222 zzzd16 .zx2 . xzyzzy 聯(lián)立聯(lián)立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 222zzy .14.14. 所所截截的的有有限限部部分分的的面面積積被被圓圓錐錐面面求求圓圓柱柱面面 xzyzzy xzDxzzxyySdd2 , 2 :2 zzxDxzozx2 .其中，其中， 0 x Dysyd1rrddsin41 0sin4sin22 37 )37 0( , 故故重重心心為為 )(yx， 設(shè)重心為設(shè)重心為.xoy1215. 15. 求位于圓求位于圓 r = 2sin 和圓和圓 r = 4sin 之間的均勻薄片的重心之間的均勻薄片的重心 z = 0的的重重心心求求均均勻勻半半球球體體 0 , : zazyxyxzo yx 則則,zyx)，（設(shè)重心為設(shè)重心為 zyxzVz ddd球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)a332a V z .a83 . )83, 0 , 0a( ( 故故重重心心為為.用哪種坐標(biāo)？用哪種坐標(biāo)？r = a16.16. arrrV