概率公式總結(jié)

1、一、隨機(jī)事件和概率1、隨機(jī)事件及其概率運(yùn)算律名稱表達(dá)式交換律ABBA AB BA結(jié)合律(A B) C A (B C) ABC (AB)C A(BC) ABC分配律A(B C) AB AC A (BC) (A B)(A C)德摩根律A B AB AB A B2、概率的定義及其計(jì)算公式名稱公式表達(dá)式求逆公式P(A) 1 P(A)加法公式P(A B) P(A) P(B) P(AB)條件概率公式P(B|A) 31P(A)乘法公式P(AB) P(A)P(B A) P(AB) P(B)P(AB)全概率公式nP(B)P(A)P(B|A)i 1貝葉斯公式 (逆概率公式)P(Aj)P(B|Aj)P(Aj|B)1

2、P(Aj)P(B|A)i 1伯努力概型公式Pn(k)Ckpk(1 p)nk,k 0,1, n兩件事件相互獨(dú)立相 應(yīng)公式P(AB) P(A)P(B); P(B A) P(B) ； P(B|A) P(B A) ; P(BA) P 申)1;P(B|A) P(B A) 1、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)性質(zhì)P(X b) F(b) P(a X b) F (b) F(a)2、散型隨機(jī)變量分布名稱分布律0-1 分布 B(1,p)k1kP(X k)pk(1 p)1 k, k 0,1二項(xiàng)分布B(n, p)P(X k) Cfpk(1 p)n k, k 0,1, ,n泊松分布P()kP(X k) e, k 0,1,2

3、,k!幾何分布G( p)P(X k) (1 p)k 1 p, k 0,1,2,超幾何分布 H(N,M,n)kn kP(X k) M N M ,k l,l 1, ,min(n,M) cN分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布U (a,b)1,a x b f (x) b a0,其他0, x a x aF (x), a x bb a 1,x b指數(shù)分布E()e x, x 0 f(x)0, 其他0,x 0F(x)x1 e x, x 0正態(tài)分布N( , 2)(x )212 2f(x) exv'2(t )21 x -F (x):e 2 d tV2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)2x/ 1T(x) je 2x%;

4、2(t )21 x -F (x)jed tV23、續(xù)型隨機(jī)變量三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量邊緣分布Pi P(X xi) P(X xhY2、離散型二維隨機(jī)變量條件分布Yj)PijPjP(YYj)P(X xi,Y Yj)PijPij P(X 為 Y Yj)P(X xi,YP(Y Yj)Yj)Pij .一,iPj1,2Pji P(Y Yj X 為)P(X xi,Y Yj)P(X xi)1,23、連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X ,Y )的分布函數(shù)F (x, y)f(u,v)dvdu4、連續(xù)型二維隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)x分布函數(shù)：Fx (x)f (u, v)dvdu密度函數(shù):fx

5、(x)f (x,v)dvFy(Y)f (u,v)dudvfY (Y)f(u,Y)du5、二維隨機(jī)變量的條件分布fYX(Yx)然 YfxY(xy)f (x,Y) fY(Y),四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量:E(X)xkPk 連續(xù)型隨機(jī)變量：E(X)xf (x)dx2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) E(C) C,C為常數(shù)EE(X) E(X) E(CX) CE(X)(2) E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) b E(CiXiCnXn) CiE(Xi)CnE(Xn)(3)假設(shè) XY相互獨(dú)立那么：E(XY) E(X)E(Y)(4)E(XY)2 E2(X)E2(Y)3、方差：

6、D(X) E(X2) E2(X)4、方差的性質(zhì)(1) D(C) 0DD(X) 0 D(aX b) a2D(X) D(X) E(X C)2(2) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 假設(shè) XY相互獨(dú)立那么： D(X Y) D(X) D(Y)5、協(xié)方差：Cov(X ,Y) E(X,Y) E(X)E(Y) 假設(shè) XY相互獨(dú)立那么：Cov(X,Y) 06、相關(guān)系數(shù)：XY (X,Y)1c0V(X；Y)假設(shè)XY相互獨(dú)立那么：XY 0即XY不相關(guān).D(X). D(Y)7、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) Cov(X,X) D(X) Cov(X,Y) Cov(Y, X)(2) Cov(X1 X2,Y)

7、 Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)8、常見數(shù)學(xué)分布的期望和方差分布數(shù)學(xué)期望力差0-1 分布 B(1, p)pp(1 p)二行分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()幾何分布G( p)1 p1 p2 p超幾何分布H(N,M,n)Mn一NMM N m鼠.N) N 1均勻分布U(a,b)a b2(b a)212正態(tài)分布N( , 2)2指數(shù)分布E()11五、大數(shù)定律和中央極限定理1、切比雪夫不等式假設(shè) E(X) ,D(X)2,對(duì)于任意 0 有 PX E(X)D(X)或 PX E(X)2、大數(shù)定律：假設(shè)X1 Xn相互獨(dú)立且n時(shí), nXi

8、nE(Xi) i 1假設(shè) X1 Xn 相互獨(dú)立, E(Xi) i,D(Xi)i2且那么:n-Xin i 1nE(Xi),(n)i 1(2)假設(shè)X1 Xn相互獨(dú)立同分布,且 E(Xi)i那么當(dāng)n時(shí):1 nXi n i 13、中央極限定理獨(dú)立同分布的中央極限定理：均值為0的獨(dú)立同分布時(shí),n充分大時(shí)有:YnnX k nk 1nN(0,1)(2)拉普拉斯定理:隨機(jī)變量n(n1,2)B(n, p)那么對(duì)任意x有:lim P xn np. np(1P)X)萬(wàn)dt(X)(3)近似計(jì)算:P(aXkk 1b)a nP( nnXk nk 1.na n(.n)八、數(shù)理統(tǒng)計(jì)1、總體和樣本總體X的分布函數(shù)F(x)樣本(

9、X1,X2 Xn)的聯(lián)合分布為F(x1,x2xn)nF(xk)2、統(tǒng)計(jì)量樣本平均值:1 n1 Xi (2)樣本方差: n i 1nS2 -(Xin 1 i 1X)2 2(Xi nX )1樣本標(biāo)準(zhǔn)差:n1j(XiX)2 (4)樣本k階原點(diǎn)距:AknX：,k 1,2i 1樣本k階中央距:BkMkn(Xi1X)k,k 2,3(6)次序統(tǒng)計(jì)量:設(shè)樣本(X1,X2Xn)的觀察值(x1, x2xn),將 x1 ,x2Xn根據(jù)由小到大的次序重新排列,付到 X(1)x(2)x(n),記取值為事)的樣本分量為X,那么稱XX(2)X(n)為樣本(XX2Xn)的次序統(tǒng)計(jì)量.X(d min(X,X2 Xn)為最小次序

10、統(tǒng)計(jì)量；X(n) max(X1,X2 Xn)為最大次序統(tǒng)計(jì)量.3、三大抽樣分布2分布：設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2Xn相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),那么隨機(jī)變量2 X： X22 X2所服從的分布稱為自由度為 n的2分布,記為 2 2(n)性質(zhì)：E 2(n) n,D 2(n) 2n設(shè)X2(m),Y2(n)且相互獨(dú)立,那么 X 丫2(m n)2X(2)t分布：設(shè)隨機(jī)變量 XN(0,1),Y2(n),且X與Y獨(dú)立,那么隨機(jī)變量：T -所服從的分布稱為 丫 n自由度的n的t分布,記為Tt(n)(X )2n1- 2性質(zhì)： Et(n) 0,Dt(n) ,(n 2) lim t(n) N(0,1) -

11、=e 2 n 2n2F分布：設(shè)隨機(jī)變量 U2(n1),V2(n2),且U與V獨(dú)立,那么隨機(jī)變量 F(m,n2)工1所服從的分V n2布稱為自由度(n,n2)的F分布,記為FF(m,n2)1.性質(zhì)：設(shè)XF (m, n),那么/F (n, m)七、參數(shù)估計(jì)1、參數(shù)估計(jì) 定義：用(X1,X2, Xn)估計(jì)總體參數(shù),稱(X1,X2,Xn)為 的估計(jì)量,相應(yīng)的 (XhX2, Xn)為總體的估計(jì)值.(2)當(dāng)總體是正態(tài)分布時(shí),未知參數(shù)的矩估計(jì)值=未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值2、點(diǎn)估計(jì)中的矩估計(jì)法：(總體矩斗羊本矩)離散型樣本均值：X E(X)nXi連續(xù)型樣本均值:1X E(X)xf (x,)dx c1n離散型參數(shù)：E(X2)-n i 1Xi23、點(diǎn)估計(jì)中的最大似然估計(jì)最大似然估計(jì)法:X1,X2,Xn取自X的樣本,設(shè)f(x