3空間向量與立體幾何知識點和習(xí)題含答案

1、 13空間向量與立體幾何【知識要點】1 .空間向量及其運算：(1)空間向量的線性運算：空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則拓廣到空間依然成立.空間向量的線性運算的運算律：加法交換律：a+b=b+a；加法結(jié)合律：(a+b+c)=a+(b+c)；分配律：(+)a=a+a；(a+b)=a+b.(2)空間向量的基本定理：共線(平行)向量定理：對空間兩個向量a,b(bw0),a/b的充要條件是存在實數(shù)，使得a/b.共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是存在惟對實數(shù)，使得c=a+b.空間向量分解定理：如果三個向量a,b,c不

2、共面，那么對空間任一向量p,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組1,2,3,使得p=ia+2b+3c.(3)空間向量的數(shù)量積運算：空間向量的數(shù)量積的定義：a-b=|a|b|cosa,b；空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a,e=|aIcosva,e;aXba.b=0;|a|2=aa；|a-b|b,則下列結(jié)論正確的是()異面直線EF與GH所成角的大小是已知正四棱柱的對角線的長為,mn(C),m,mn(D)n5.在正方體ABCDAiBiCiDi中，E,F,G,H分別為AAi,AB,BBi,BiCi的中點，則6.DiDi1-8 .四棱錐PABCD的底面是直角梯形，/BAD=90,AD/BC,ABBCAD,2PAL底面ABCD

3、,PD與底面ABCD所成的角是30.設(shè)AE與CD所成的角為，則cos三、解答題：9 .如圖，正四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi=2AB=4,點E在CCi上，且CiE=3EC.(I)證明：AiC,平面BED;(II)求二面角AiDEB平面角的余弦值.冗10 .如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為i的菱形，ABC,OAL底4面ABCD,OA=2,M為OA的中點，N為BC的中點.(I)證明：直線MN/平面OCD;(II)求異面直線AB與MD所成角的大小.11 .如圖，已知直二面角一PQ,ACPQ,BC,CC,CA=CB,ZBAP=45直線CA和平面所成的角為30.(I)證明：BC

4、XPQ;(II)求二面角BACP平面角的余弦值.習(xí)題12.3.4.、選擇題：關(guān)于空間兩條直線(A)若a/b,b(C)若a/,b/正四棱錐的側(cè)棱長為(A)8a、b和平面,則a/,則a/b,下列命題正確的是(B)若a/(D)若a2J3,底面邊長為8(B)73),b，b12,則該棱錐的體積為(C)6已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則直線角的正弦值等于()610(A)彳(B)丁(C)告已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸體的體積是()(單位:20(D)2AB1與側(cè)面ACC1A1所成3(D)2-cm),可得這個幾何5.40003(A)-cm3(C)2000cm3若三棱柱的

5、一個側(cè)面是邊長為2的正方形,的菱形，則該棱柱的體積等于()80003(B)-cm3(D)4000cm3另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為60正視0 0博視二、填空題：6 .已知正方體的內(nèi)切球的體積是473u,則這個正方體的體積是.7,若正四棱柱ABCDAiBiCiDi的底面邊長為1,ABi與底面ABCD成60角，則直線ABi和BCi所成角的余弦值是.8 .若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為J3,則其外接球的表面積是.9 .連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦.半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于2幣、45每條弦的兩端都在球面上運動，則兩弦中點之間距離的最大值為.10 .已知AABC是等腰直角

6、三角形，AB=AC=a,AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使/BDC成直角.在折起后形成的三棱錐A-BCD中，有如下三個結(jié)論：直線ADL平面BCD;側(cè)面ABC是等邊三角形；三棱錐A-BCD的體積是a3.24其中正確結(jié)論的序號是.(寫出全部正確結(jié)論的序號)三、解答題：11.如圖，正三棱柱ABCAiBiCi中，D是BC的中點，AB=AAi.(I)求證：ADXBiD;(II)求證：AiC/平面AiBD;(出)求二面角BABiD平面角的余弦值.12 .如圖，三棱錐P-ABC中，F(xiàn)AXAB,FAXAC,ABXAC,PA=AC=2,AB=i,M為PC的中點.(A)2(B)22(C)32(D)42(I)求證

7、：平面PCB,平面MAB;(n)求三棱錐PABC的表面積.13 .如圖，在直三棱柱ABCAiBiCi中，ZABC=90,AB=BC=AAi=2,M、N分別是AiCi、BCi的中點.(I)求證：BCi，平面AiBiC;(n)求證：MN/平面AiABBi；(出)求三棱錐MBCiBi的體積.I4,在四棱錐SABCD中， 底面ABCD為矩形，SDL底面ABCD,ADDC=SD=2.點M在側(cè)棱SC上，/ABM=60.(I)證明：M是側(cè)棱SC的中點；(n)求二面角S-AM-B的平面角的余弦值.練習(xí)i-3一、選擇題：i.B2,A3.B4,D二、填空題：5.606.2三、解答題：9.以D為坐標(biāo)原點，射線DA為

8、x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系Dxyz.222-則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,-2-,0),D(下,-2,。)，O(0,0,2),M(0,0,1),.22一22-2-22(i)MN(1學(xué)年1),OP(0,12,2),OD(隹隹2)10.依題設(shè)，B(2,2,0),0(0,2,0),E(0,2,1),AI(2,0,4).DE(0,2,1)，而(2,2,0),AC(2,2,4),DA(2,0,4).(1).ACDB0,ACDE0,.-.AICIBD,AICXDE.又DBADE=D,AIC,平面DBE.(n)設(shè)向量n=(x,y,z)是平面DAiE的法向量，則nDE,nDA1.,2

9、y2x4zcos(n,AC)0,人令y=1,得n=(4,1,2).0.nAC1414H-75-二一面角A1DEB平面角的余弦值為T-|n|AC|4242作APCD于點P.如圖，分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標(biāo)系.N(14,彳,0)設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,v,z),則nOP0,nOD0,MNn0,MN/平面OCD.(n)設(shè)AB與MD所成的角為，AB(1,0,0)，而(零，零,1),cos一.一，正即直線AB與MD所成角的大小為一3(I)證明：在平面內(nèi)過點C作COLPQ于點O,連結(jié)OB.,n=PQ,CO.又.CA=CB,.1.OA=OB. .ZBAO=45,ABO=45

10、,/AOB=90,.BOXPQ,又COPQ, .PQ,平面OBC,PQXBC.(n)由(I)知，OCXOA,OCXOB,OAXOB,故以O(shè)為原點，分別以直線OB,OA,OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖). .COX，/CAO是CA和平面所成的角，則/CAO=30不妨設(shè)AC=2,則AO33,CO=1.在RtOAB中，/ABO=/BAO=45,BOAO33.OO(0,0,0),B(.3,0,0),A(0-3,0),C(0,0,1).AB(.3,.3,0),AC(0,3,1).設(shè)n1=(x,y,z)是平面ABC的一個法向量，nAB0,3x.3y0,即各2z0,噂x普y2z0.取zJ2,

11、得n(0,4,V2).|ABMD|1冗,一|AB|MD|23由一得取x=1,得n1(1,1,J3).nAC0,3yz0,易知n2=(1,0,0)是平面的一個法向量.即二面角BACP平面角的余弦值是三二5習(xí)題1選擇題：D2.B3.A4.B5.B填空題：24.37.38.99.510.、解答題：(I)證明：ABCA1B1C1是正三棱柱，BB1,平面ABC,平面BB1C1C，平面ABC.,正4ABC中，D是BC的中點，ADBC,AD，平面 .ADXB1D.(n)解：連接A1B,設(shè)A1BAAB1=E,連接DE.-AB=AA1,四邊形A1ABB1是正方形，二E是AB的中點，又D是BC的中點，DE/A1C

12、.DE平面A1BD,A1C平面A1BD,.A1C/平面ABD.(出)解：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=AA1=1,31則D(0,0,0),A(0,-2-,0),B1(J。)設(shè)m=(p,q,r)是平面A1BD的一個法向量，則nAD0,且QB1D0,皿,3_1_八_一故q0,Pr0.取r=1,得n1=(2,0,1).22設(shè)二面角BACP的平面角為，COS1必11%11.一6.三11BB1C1C,出12. (I)FAXAB,ABXAC,.AB,平面PAC,故ABPC.PA=AC=2,M為PC的中點，MAPC.PC,平面MAB,又PC平面PCB,平面PCB,平面MAB.11-(n)RtPAB的面積-PA

13、AB1.RtPAC的面積S2-PAAC2.22RtABC的面積S3=S1=1.PABACAB,PB=CB,.PCB的面積S4IPCMB12/2J3J6.22，三棱錐PABC的表面積為S=S1+S2+S3+S4=4J6.13.(I).ABCA1B1C1是直三棱柱,BB1,平面A1B1C1,B1BA1B1.又B1C1M1B1,.A1B1,平面BCC1B1,BC11A1B1.BB1=CB=2,.BC1，B1C,.BC1,平面A1B1C.(n)連接A1B,由M、N分別為A1C1、BC1的中點， 得MN/A1B,又A1B平面A1ABB1,MN平面A1ABB1,.MN/平面A1ABB1.(出)取C1B1中點H,連結(jié)MH.M是A1C1的中點，MH/A1B1,又A1B1,平面BCC1B1,MHL平面BCC1B1,.MH是三棱錐MBC1B1的高，一,一一1一.112二棱錐MBC1B1的體積VSBCBMH4131132314.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A(彩，0,0),則B(%;，2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).同理，可求得平面ABiB的法向量是n2(3,1,0).設(shè)二面角BABiD大小為，:COSn1n2.1515|1|二面角BABiD的平面角余弦值為155(I)iSMMC(0),60.故BM.BA|BM|BA|cos60,即4；(V2)2()2(旦)2，解得