完整版空間點陣型式文檔良心出品

1、空間點陣型式：14種布拉維格子-蘭州大學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)在七大晶系根底上,如果進(jìn)一步考慮到簡單格子和帶心格子,就會產(chǎn)生14種空 間點陣型式,也叫做14種布拉維格子.不過,格子是否帶心并不能從宏觀上發(fā) 現(xiàn),所以,空間點陣型式屆丁微觀對稱性的范疇.為什么要考慮帶心格子呢原因是：有些點陣中的格子,如果取成某 種復(fù)格子就能充分表現(xiàn)出它固有的較高對稱性,但假設(shè)取成素格子,某些對稱性就 可能被掩蓋,表現(xiàn)為較低的對稱性.我們寧愿觀察一個高對稱性的復(fù)格子,也不 愿觀察一個低對稱性的素格子.所以,選取正當(dāng)格子時,首先照顧高對稱性, 其次才考慮點陣點盡可能少.前面以NaCl型晶體的格子為例講過,假設(shè)取素格子,只能表現(xiàn)三方

2、對稱 性這是一種三方R,現(xiàn)已不用；假設(shè)取作立方面心復(fù)格子,就表現(xiàn)出了立方對 稱性.當(dāng)然,這并不是說格子的選取方式能夠改變點陣本身的對稱性,只是說,當(dāng)格子與素格子 那么,任何點陣都能通過取帶心格子表現(xiàn)出更高 的對稱性嗎否！例如,在三斜晶體的點陣中,無論取多少點,格子的對稱性 也仍是三斜.我們當(dāng)然不去徒勞無益地選擇帶心格子.下面給出在七大晶系根底上進(jìn)一步考慮簡單和帶心格子所產(chǎn)生的 14種 空間點陣型式,即14種布拉維格子：立才單由 立方炸心hi立屯心rm正交體心正交JE交aiijfaFi革調(diào)眺單職峰禰心i*Ar方筒4hf' 心惱心甌三蝸Mi單Sr,對丁以上兩種六方格子圖6-43 14種空可

3、點陣型式布拉維格子需要特別說明幾點：1圖中只有藍(lán)色線條圍成的局部才是六方格子,而灰白 色局部只是為了便丁觀察其對稱性才畫出的, 由于六方格子也必須是平行六面體 而不能是六棱柱；2六方晶系的晶體按六方晶胞表達(dá)只能抽象出六方簡單 hP 格子,而三方晶系的晶體按六方晶胞表達(dá)時那么能抽象出六方簡單hP和六方R心h0兩種格子,有時為了活楚起見,分別稱之為“三方晶系的六方簡單hP 格子和“三方晶系的六方 R心hF格子.換言之,六方R心hR格子實 際上只用丁三方晶系,而六方簡單hP格子既用丁六方晶系,也用丁三方晶系, 所以只算一種格子.3晶系是在實在的物理根底上劃分的,所以,盡管三方 晶系的兩種格子 六方簡

4、單hP和六方R心hR的形狀都與六方晶系的六方 簡單hP格子相同即hP是兩個晶系共用的,但真實的三方晶體中只有三次 對稱軸而沒有六次對稱軸,只有六方晶體才有六次對稱軸.你能否創(chuàng)造更多的“布拉維格子 例如：四方面心、四方底心立方底 心或除去立方面心上相對的兩個面心以下圖a說明：所謂的四方C心其實應(yīng)當(dāng)是四方簡單；圖b說明：所 謂的四方面心其實其實應(yīng)當(dāng)是四方體心；圖c說明:立方F被除去相對兩個面心 后,不僅沿體對角線的4條三重對稱軸不復(fù)志在,而且沿圖中箭頭平移時再不能復(fù)原,所以,它不但喪失了作為立方格子的資格,而且喪失了作為點陣的資格圖 6-44a假想的四方C心b假想的四方面心c立方F失去相對兩個面心

5、6.4.6 32個晶體學(xué)點群分子的對稱操作的集合構(gòu)成分子點群.同理,晶體的宏觀對稱操作 也是點操作,所有宏觀對稱元素也會通過一個公共交點按一切可能組合起來,產(chǎn)生晶體學(xué)點群.不過,既然晶體中的宏觀對稱元素只有 8種,晶體學(xué)點群數(shù)目也 必然受到限制.可以證實晶體學(xué)點群只有32種.晶體學(xué)點群可以用所謂的熊夫利Schonflies符號表示,也可以用國際 符號表示,還有一種稱之為“極射赤面投影圖的圖形表示法.Schonflies符號由德國結(jié)晶學(xué)家Schonflies創(chuàng)造,我們在分子點群中已經(jīng)用過,不過,由丁軸次定理的限制,晶體學(xué)點群的Schonflies符號不會出現(xiàn)Gv、國等符號.國際符號是尚未見過的新

6、符號,需要作一簡要介紹.晶體學(xué)點群的國際符號一般由三個位構(gòu)成,每個位代表與特征對稱元素 取向有一定聯(lián)系的方向.所以,任何一位代表的方向隨晶系不同而可能不同. 右表列出七種晶系中國際符號的三個位的方向.平行丁某個方向的對稱軸和/或垂直丁該方向的對稱面就標(biāo)記在相應(yīng)的位上aa*b+icc里fta* b三方fi+b*c£IE變Jih三斜n系I第1位I第W位I第3位表6-5國際符號三個位的方向例如,立方晶系的三個位依次為 a、a+b+c、a+b,由欠量加法可知,它們分別是正方體的棱、體對角線、面對角線方 而.禰代方向上的對稱元素依次標(biāo)記在相應(yīng)的位上,就是某個點群的國際符號.例如,立方晶系的點群

7、共有五個,用Schonflies符號分別標(biāo)記為T, Th,O, Td , O h ,國際符號是：23,用3, 432,取也用3用盡管立方晶系的國際a+b位上 沒有對稱元素,符號規(guī)定了三個位,但23和m3群屆丁四面體群, 故只列出前兩個位的對稱元素.晶體學(xué)點群命名示意：NaCl型晶體NaCl型晶體的晶體點群與正方體的對稱性相同,為m3m Schonflies符號為Q).不妨先觀察一下正 方體,可以看出：(1)垂直丁 a的方向有鏡面；(2)平行丁體對角線方向有3次對 稱軸；(3)垂直丁面對角線方而鏡面.NaCl型晶體在相應(yīng)的方向上也有這些對 稱性,所以,晶體點群的國際符號為 m3m(Schonfl

8、ies符號為 兇.可能有讀 者問：這些方向上還有別的對稱元素,為什么只標(biāo)記這樣少數(shù)幾個盹這正是國 際符號的微妙之處,它要盡可能緊湊,同一方向上不止一種對稱元素時,按一定規(guī)那么選取最必要者標(biāo)出. 圖6-45 NaCl型晶體的晶體點群與正方體的對稱性 相同,為m3m( Oh)事實上,國際符號乂分為簡略符號與完全符號.例如,4 § Wm3說簡略符號,-府是完全符號,但這簡略符號已經(jīng)包含了所有最必要的 對稱元素,如果需要的話,由這些對稱元素出發(fā),根據(jù)群論的組合原理就能導(dǎo)出點群中所有的對稱元素.因此,很少使用完全符號.而且,即使完全符號也并不 列出點群中所有的對稱元素.現(xiàn)在,讀者一定也明白為什

9、么分子點群只用 Schonflies符號,而不用 國際符號的原因了吧分子中沒有晶軸的概念, 國際符號的“位對丁分子根本 沒有意義.應(yīng)當(dāng)特別注意：晶體的點群是針對真實的晶體而言,而不能僅僅針對只 具有抽象幾何意義的空間點陣和布拉維格子來劃分.晶體只有七個晶系,卻有 32個點群,所以,必然會有多個點群屆丁同一個晶系的現(xiàn)象.例如,屆丁立方 晶系的點群共有五個,用Schonflies符號分別標(biāo)記記為T, Th, O, Td , Oh,國23t m3t 432. jw3m際符號分別是桁抵抽象的空間點陣和布拉維格子的格點上沒有放上真實的結(jié)構(gòu)基元.所以,如果僅從布拉維格子看,任一種晶系的布拉維格子都有該晶系

10、的最高對稱性,即屆丁該晶系的全點群,立方晶 系的全點群就是迎；但真實晶體卻必須在格點上放上結(jié)構(gòu)基元,丁是,對稱性 就可能從全點群下降至多保持不變,這樣一來,任一種晶系的真實晶體的對 稱性就未必能繼續(xù)保持在該晶系的全點群,也許只能屆丁該晶系對稱性較低的 點群,稱為偏點群.任何晶系的偏點群都是其全點群的子群.三而i1Ci r*-vj.聒faf JCi X 尊 r*u 虬虬4iA 4S言"thOig1 J Jm 13! u心仁 lib Ow., 2 J.T» o 1 林. 41f 14許多初學(xué)者有這樣一個常見問題：為什么將立方晶系的特征對稱元素規(guī)定為沿正方體四條體對角線的3,而不

11、是穿過正方體相對面心的三條4?七的對稱性不是更高嗎難道屆丁立方晶系的晶體還 不都具有三條4?事實是,屆丁立方晶系的晶體確實不一定都具有三條4!例如,NaCl型晶體屆丁 Oh點群,它既有三條4,缶有四條3 ；而立 方ZnS型晶體那么不然,它屆丁 Td點群,具有四條3,卻沒有三條4 .這兩類晶體 共有的對稱元素是四條3,也就是立方晶系的特征M稱元素.晶體學(xué)點群還種圖形表示法,稱為極射赤面投影圖.其根本思想 是利用立體儀把球面上的點投影到赤道平面上,化立體為平面.先模仿地球儀按如下步驟造一個立體儀：1.取一個單位圓球作為投影 球S; 2.取赤道平面作為投影面 Q,與S交成投影圓；3.以垂直丁 Q并通

12、過球心 .的極軸作為投影軸,兩端分別為北極N和南極S.表6-6 32個晶體學(xué)點群 圖6-46 NaCl型與立方ZnS型晶體 圖6-47立體儀用極射赤面投影圖描述晶體學(xué)點群時,通常對每個點群畫出兩°化c我們以晶體對個投影圖.以m3m為例,以下圖a表示晶體對稱元素的投影,圖b表示球上 組點的投影圖,這組點是從某一個普通的點開始,利用所有對稱操作復(fù)制出來 的,也反映點群對稱性.有的文獻(xiàn)將這兩種圖合并在一起,如圖c:稱元素為例,簡要介紹立體儀投影法.首先,將晶體對稱元素系的公共交點置丁投影球心O從球心向各晶面引垂線即晶面法線并交丁投影球,在球面上形成一組點的分布.由丁這些 晶面法線是晶體的各種對稱軸,所以,這組點就構(gòu)成了晶體對稱軸的球面投影 類似地,晶體的對稱面也可延伸至投影球,與球面相交成圓.所以,除了對稱 中央處丁球心,不會在投影球面上形成點以外,晶體的各種對稱軸和對稱面都 可以在投影球上形成球面投影.圖6-48 m3m的極射赤面投影圖在此根底上,利用立體儀投影法,把球面上的點進(jìn)一步投影到赤道平面上：設(shè)北半球球面上有一個點P,過P點向 南極連線成PS,與赤道平面交丁 P'點,就在P