初高中銜接分式方程和無理方程的解法

1、第七講分式方程和無理方程的解法初中大家已經(jīng)學習了可化為一元一次方程的分式方程的解法.本講將要學習可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法.并且只要求掌握(1)不超過三個分式構成的分式方程的解法,會用去分母或換元法求方程的根,并會驗根；(2)了解無理方程概念,掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法,會用平方或換元法求根,并會驗根.、可化為一元二次方程的分式方程1.去分母化分式方程為一兀二次方程,1 4x 2【例i】解方程 十二4=1.分析：去分母,轉化為整式方程.解：原方程可化為：14x+x 2 (x 2)(x -2)2 =1 x 22 一方程兩邊各項都乘以 x 4 :(x-2) 4

2、x -2(x 2) =x2 -4即 3x6=x24 ,整理得：x23x+2=0解得：x = 1或x = 2 .2檢驗：把x=1代入x -4,不等于0,所以x = 1是原方程的解;把x=2代入x2 4,等于0,所以x = 2是增根.所以,原方程的解是 x=1.說明：把各分式的分母因式分解；在力程兩辿同乘以各分式的最間公分母；去括號,把所有項都移到左邊,合并同類項；解一兀二次方程；驗根.(1)去分母解分式方程的步驟:(2)驗根的根本方法是代入原方程進行檢驗,但代入原方程計算量較大.而分式方程可能產(chǎn)生的增根,就是使分式方程的分母為 0的根.因此我們只要檢驗一元二次方程的根, 是 否使分式方程兩邊同乘

3、的各分式的最簡公分母為 0.假設為0,即為增根；假設不為 0,即為原 方程的解.2.用換元法化分式方程為一元二次方程2一 .、 x 2【例2解方程()x -13x2一4 =0 x -1分析：此題假設直接去分母,會得到一個四次方程,解方程很困難.但注意到方程的結構2特點,設= y,即得到一個關于 y的一元二次方程.最后在y的值的情況下,用x -12去分母的方法解方程 =y .x -122y 3y4=0 解礙 y = 4 或 y =-1 .解：設-=y,那么原方程可化為:X -12X22.(1)當 y =4 時,=4,去分母,礙 x =4(x1)n x 4x+4 = 0n x = 2；x -12當

4、 y = -1 時,=一1 n x2x -1=x 1 =-1 ,52x x1=0=x =2檢驗：把各根分別代入原方程的分母,各分母都不為0.1 二 5 所以,x = 2 , x =都是原方程的解.2說明：用換元法解分式方程常見的錯誤是只求出y的值,而沒有求到原方程的解, 即x的值.8(x2 2x) 3(x2 -1)【例3】解萬程 +x -1 x 2x分析：注意觀察方程特點,可以看到分式x /2x與x 一1互為倒數(shù)因此,可以設x -1x2 2xx2 2xx2 -1=y,即可將原方程化為一個較為簡單的分式方程.解：設 x ：2x =y,貝U x T =1x -1x 2x y3)3原萬程可化為:8y

5、+=11n 8y 一 11y+3=0n y=1 或y=-.y8當y =1時,x2 2x2-21x +2x = x 1n x =一 ；2、.3“(2)當 y =-時,8x2 2xx2 -11 8x 16x =3x 3= 5x 16x 3 = 0= x = - 3或 x =5檢驗：把把各根分別代入原方程的分母,各分母都不為0.口1c1所以,原方程的解是 x = , x = 3 , x =.25說明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法,將分式方程轉化為整式方程, 表達了化歸思想.二、可化為一元二次方程的無理方程根號下含有未知數(shù)的方程,叫做無理方程.1. 平方法解無理方程【例4】解方程 Jx+

6、7 X =1分析：移項、平方,轉化為有理方程求解.解：移項得：JK7 = x+12兩邊平方礙：x 7 = x 2x1移項,合并同類項得：x2 , x - 6 =0解得：x =-3或x = 2檢驗：把x = -3代入原方程,左邊 孝右邊,所以x = -3是增根.把x=2代入原方程,左邊 =右邊,所以x = 2是原方程的根.所以,原方程的解是 x = 2.說明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程的一般步驟：移項,使方程的左邊只保存含未知數(shù)的二次根式,其余各項均移到方程的右邊； 兩邊同時平方,得到一個整式方程；解整式方程；驗根.【例5解方程 J3x-2 + Jx +3 =3分析：直接平方將很困難.

7、 可以把一個根式移右邊再平方,這樣就可以轉化為上例的模式,再用例4的方法解方程.解：原方程可化為： J3x-2 =3-Jx十3兩邊平方得：3x -2 =9 -6.x 3 x 3整理得：6 .x 3 =14 -2x= 3.=7-x兩邊平方得：9(x 3) =49 -14x - x22整理得：x 23x+22 =0,解得：x = 1 或 x = 22.檢驗：把x=1代入原方程,左邊=右邊,所以x=1是原方程的根.把x=22代入原方程,左邊 孝右邊,所以x = 22是增根.所以,原方程的解是 x=1.說明：含未知數(shù)的二次根式恰有兩個的無理方程的一般步驟：移項,使方程的左邊只保存一個含未知數(shù)的二次根式

8、；兩邊平方,得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程；一下步驟同例4的說明.2. 換元法解無理方程【例 6】解方程 3x2 + 15x + 2jx2 +5x+1 = 2分析：此題假設直接平方,會得到一個一元四次方程,難度較大.注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關系,可以發(fā)現(xiàn)：3x2+15x+3 = 3(x2+5x + 1).因此,可以設Jx2十5x+1 = y,這樣就可將原方程先轉化為關于y的一元二次方程處理.解：設 Jx2 十5x +1 = y,貝U x2 +5x +1 = y2 n 3x2 +15x = 3(y2 -1)原方程可化為:3(y2 -1) 2y = 2 ,2 一 -

9、5即 3y +2y5=0,解得：y = 1 或 y = -一 .3(1) 當 y=1 時,Jx2 +5x + 1 =1n x2+5x = 0n 乂=一1或乂 = 0；(2) 當y = -5時,由于Jx2 +5x+1 = y占0,所以方程無解.檢驗：把x = -1,x = 0分別代入原方程,都適合.所以,原方程的解是 x = -1,x = 0 .說明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法,將根式方程轉化為有理方程,體 現(xiàn)了化歸思想.2x -1(1)(x-1)(x-2)A 組y 2(4)=12 .用換元法解方程：x2g=4x3.解以下方程：(1) . x 2 = -x(2) 、x 5x = 7

10、4. 解以下方程：(1)、, 3x 1 = . x 4 15. 用換元法解以下方程：(1) x -12 A =0 2x-4fx 5=1 x2 3xx2 3x = 6B 組1.解以下方程：2x-541(1) -2-2-x -3x 2 x -4 x -21x 11(3) = 2x 7 (2x -1)(x 7)2x2 -3x 1x -41 x -6x T 2x(4)x 1 x12.用換元法解以下方程：" "14=02(x2 1) 6(x 1) r =2x 1 x 11. 解以下方程：x -5xx 7(x-2)(x-3)2x2-11x-21 x2 -12x 35 x4 2x2 1

11、x2 1 2 x2x3. 假設x = 1是方程=4的解,試求a的值.x a x - a4. 解以下方程：c-22(1) =2x - 4x -1x2 -2x -33x6xa - x. 2 =xa a -x x a5. 解以下方程: x2 、x2-1 = 3(2) Jx + 10 -= 5.x 10 2x2 -4x 3 x2 -2x 6 =15第七講分式方程和無理方程的解法答案A組1 . (1)x - -1 ,(2)x =1,x - -21,(3) y =0,y =1,(4) x =3,x - -52. x =："豆3.(1)x = 1,(2)x =6,(3)x =4. (1) x =5. (2) x =20 .5. (1)x =9,(2)x =1,x = -4B組1 (1