初三相似三角形講義

1、相似三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)1、三角對(duì)應(yīng)相等,三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形叫相似三角形.如/ABCAAB/C相似,記作： AB(AABC.相似三角形的比叫相似比相似三角形的定義既是相似三角形的性質(zhì),也是三角形相似的判定方法.注意：(1)相似比是有順序的.(2) 對(duì)應(yīng)性,兩個(gè)三角形相似時(shí),通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置,這樣寫比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.(3) 順序性：相似三角形的相似比是有順序的,假設(shè)AB(AABC, 相似比為k,那么ABCr ABC的相似比是1k知識(shí)點(diǎn)2、相似三角形與全等三角形的關(guān)系(1) 兩個(gè)全等的三角形是相似比為1的相似三角形.(2) 兩個(gè)等邊三角形一定相似,兩個(gè)等腰三角

2、形不一定相似.(3) 二者的區(qū)別在丁全等要對(duì)應(yīng)邊相等,而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例.知識(shí)點(diǎn)3、平行線分線段成比例定理1. 比例線段的有關(guān)概念：在比例式a=C(a： b=c： d)中,a、d叫外項(xiàng),b、c叫內(nèi)項(xiàng),a、c叫前項(xiàng), b db、d叫后項(xiàng),d叫第四比例項(xiàng),如果 b=c,那么b叫做a、d的比例中項(xiàng).把線段AB分成兩條線段 AC和BC,使AC=ABBC,叫做把線段 AB黃金分割,C叫做線 段AB的黃金分割點(diǎn).2. 比例性質(zhì)： 根本性質(zhì)：a=ad=bc合比性質(zhì)：£=馬霆=嘗 b db d b d等比性質(zhì)：a=c =m(b+d +n乒0)n Me血=3b d nb+d + + nb3. 平行

3、線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例(1) 平行線分線段成比例定理 11 / 12 / 13,ABDEABDE"CEF"CEFABBC=或=或=或=或=可得 BCEF ACDF ABDF ACDF DEEF 等.(2) 推論:平行丁三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線竺一些或里由 DE/ BC 可得：DB EC" ADEC或竺竺EAAB AC .此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.(3) 推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì) 應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行丁三角形的第三邊.此定理給出了

4、一種證實(shí)兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.(4) 定理：平行丁三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三 邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.知識(shí)點(diǎn)4:相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 相似三角形面積的比等于相似比的平方知識(shí)點(diǎn)5:相似三角形的判定： 兩角對(duì)應(yīng)相等,兩個(gè)三角形相似 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似 三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊 對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角形相似

5、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線) 相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似如果兩個(gè)三角形的兩角分別丁另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.點(diǎn)撥：在三角形中,假設(shè)兩個(gè)角,由三角形內(nèi)角和定理可求出第三個(gè)角.注意公共角的運(yùn)用,公共角也就是兩個(gè)三角形都有的角,公共角是隱含 的相等的角,我們應(yīng)注意公共角的運(yùn)用.兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且它們的火角也相等的兩個(gè)三角形相似.注意：這個(gè)角必須是兩邊的火角,而不能是其他的角,其他的角那么不可以識(shí)別兩個(gè)三角形相似,此法類似丁判定三角形全等的條件“ SAS三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.知識(shí)點(diǎn)

6、六：攝影定理ad2=bd cd ab2=bd bc ac2=cd bc特殊圖形雙垂直模型/ BAC=90 AD _L BCADCsABDAs ABAC ad2=bd cd ab2=bd bc ac2=cd bc知識(shí)點(diǎn)七：相似三角形的周長(zhǎng)和面積(1) 相似三角形的對(duì)應(yīng)高相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等.(2) 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.(3) 相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比；(4) 相似三角形的面積比等于相似比的平方補(bǔ)充：相似三角形的識(shí)別方法(1) 定義法：三角對(duì)應(yīng)相等,三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.(2) 平行線法：平行丁三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相

7、交,所構(gòu)A成的三角形與原三角形相似.注意：適用此方法的根本圖形,(簡(jiǎn)記為A型,X型)(3) 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.(4) 兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且它們的火角也相等的兩個(gè)三角形相似.(5) 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.(6) 一條直角邊和斜邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.(7) 被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似.相似三角形的根本圖形：匡對(duì)于5 有】©ABBD BC; ACCD BC;AE-BD CD-'對(duì)諺展型6俱有AC3-.?CaDE / BC, AD = 5, BD = 10 , AE = 3,那么 CE判斷三角形相似,假設(shè)一角對(duì)應(yīng)相等,可先考慮

8、另一角對(duì)應(yīng)相等,注意公共角或?qū)斀?或同角等角的余角或補(bǔ)角相等,假設(shè)找不到第二對(duì)角相等,就考慮夾這個(gè)角的兩對(duì) 應(yīng)邊的比相等；假設(shè)無(wú)法得到角相等,就考慮三組對(duì)應(yīng)邊的比相等.相似三角形的應(yīng)用：求物體的長(zhǎng)或?qū)捇蚋撸磺笥嘘P(guān)面積等.經(jīng)典習(xí)題考點(diǎn)一：平行線分線段成比例1、 2021廣東肇慶如圖,直線all b/ c,直線 m n與a、b、c分別交于點(diǎn) A、G E、B D F, AC = 4 , CE = 6 , BD = 3 ,那么 BF =A 7B. 7.5C. 8D. 8.52、 2021?福州 如圖, ABC , AB=AC=1 , Z A=36° , Z ABC 的平分線 BD 交 AC

9、于點(diǎn)D ,那么AD的長(zhǎng)是,cosA的值是結(jié)果保存根號(hào)3、2021湖南懷化如下列圖： ABC中,的值為A . 9B. 6那么以下結(jié)論錯(cuò)誤.的是ED DFA. =EA ABDEB.=BCEFFBC.BCDEBF一 BED.BF BCBE 一 AE5. 2021津感如圖,在 ABC中,AB=AC,/A=36° ,BD平分Z ABC交AC于點(diǎn)D ,直線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,假設(shè)AC=2,那么AD的長(zhǎng)是點(diǎn)F是口 ABCD的邊CD上一點(diǎn),考點(diǎn)二：相似三角形的性質(zhì)1、2021?昆明如圖,在正方形 ABCD中,點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)不與 A , B重合,對(duì) 角線AC , BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)P分別作

10、AC , BD的垂線,分別交 AC, BD于點(diǎn)E, F, 交AD , BC于點(diǎn)M , N.以下結(jié)論： APEA AME ; PM+PN=AC ; PE2+PF2=PO2； POFA BNF ;當(dāng) PMN AMP時(shí),點(diǎn) P是AB的中點(diǎn).其中正確的結(jié)論有B考點(diǎn)：相似二角形的判定與性質(zhì)；全等二角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)分析：依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷 APM和 BPN以及 APE、 BPF都是等腰直角二角形,四邊形PEOF是矩形,從而作出判斷.解答：解：.四邊形 ABCD是正方形, . . Z BAC= / DAC=45 °.在 APE 和 AME

11、中,(ZBAC=ZDACAE=AE,lzaep=zaem A APEA AME,故 正確； . .PE=EM=PM ,2同理,FP=FN=NP.2正方形 ABCD中AC ± BD ,又. PELAC, PF±BD,/ PEO= / EOF= / PFO=90,且 APE 中 AE=PE四邊形PEOF是矩形. .PF=OE,. . PE+PF=OA ,又. PE=EM= JPM , FP=FN=NP, OA=【AC,222 PM+PN=AC,故正確；.四邊形PEOF是矩形,. .PE=OF,在直角 OPF 中,OF2+PF2=PO2,- pe2+pf2=po2,故 正確. B

12、NF是等腰直角三角形,而 POF不一定是,故 錯(cuò)誤； AMP是等腰直角三角形,當(dāng) PMNs AMP時(shí), PMN是等腰直角三角形. .PM=PN ,又 AMP和 BPN都是等腰直角三角形, AP=BP,即P時(shí)AB的中點(diǎn).故 正確.應(yīng)選B .點(diǎn)評(píng)：此題是正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理得綜合應(yīng)用,熟悉 APM和 BPN以及 APE、 BPF都是等腰直角三角形,四邊形 PEOF是矩形是關(guān)鍵.2、20217W疆如圖, Rt ABC 中,Z ACB=90 °, Z ABC=60 °, BC=2cm , D 為 BC 的中點(diǎn),假設(shè)動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿著 ABrA的方

13、向運(yùn)動(dòng),設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒0醐V 6,連接DE ,當(dāng) BDE是直角三角形時(shí),t的值為B . 2.5 或 3.5C . 3.5 或 4.5D . 2 或 3.5 或 4.5專題：動(dòng)點(diǎn)型.分析：考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；含 30度角的直角三角形.由 Rt ABC 中,/ ACB=90 °, / ABC=60 °, BC=2cm,可求得 AB 的長(zhǎng),由 D 為 BC 的中 點(diǎn),可求得BD的長(zhǎng),然后分別從假設(shè)/ DBE=90.與假設(shè)/ EDB=90.時(shí),去分析求解即可求得 答案.解答：解：Rt ABC 中,Z ACB=90 °, Z ABC=60 °,

14、BC=2cm , AB=2BC=4 ( cm),BC=2cm , D為BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) E以1cm/s的速度從 A點(diǎn)出發(fā), BD=BC=1 (cm), BE=AB - AE=4 - t (cm),假設(shè)Z DBE=90 °, 當(dāng) AB 時(shí),.ABC=60 °, Z BDE=30 °,BE=BD= (cm), t=3.5,當(dāng) BA 時(shí),t=4+0.5=4.5 . 假設(shè) Z EDB=90 時(shí),當(dāng) ArB 時(shí),.ABC=60 °, Z BED=30 °,BE=2BD=2 (cm), t=4 - 2=2, 當(dāng) B A 時(shí),t=4+2=6 (舍去). 綜上

15、可得：t的值為2或3.5或4.5 . 應(yīng)選D .點(diǎn)評(píng)：此題考查了含30.角的直角三角形的性質(zhì).此題屬于動(dòng)點(diǎn)問題,難度適中,注意掌握分類 討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3、(2021?內(nèi)江)如圖,在ABCD中,E為CD上一點(diǎn),連接 AE、BD ,且AE、BD交于點(diǎn)F, Sa def： sa abf=4 : 25,那么 DE: EC=()D E CA . 2:5B. 2:3C. 3: 5D . 3: 2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).b析:先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出 DEFs BAF,再根據(jù),DEF:, ABF=4: 10: 25即可得出其相似比,由相似三角形

16、的性質(zhì)即可求出DE: EC的值,由AB=CD即可得出結(jié)論.解答：解：四邊形ABCD是平行四邊形, AB / CD, Z EAB= Z DEF , Z AFB= Z DFE , .DEFs BAF , Sdef： saabf=4 : 25, DE : AB=2 : 5, AB=CD , DE : EC=2 : 3.應(yīng)選B .點(diǎn)評(píng)：此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì),熟知相似三角形邊長(zhǎng)的比等 由目似比,面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.14、 2021?寧夏 ABC中,D、E分別是邊 AB與AC的中點(diǎn),BC=4 ,下面四個(gè)結(jié)論：DE=2 ; ADE ABC ; ADE的面

17、積與 ABC的面積之比為 1: 4; ADE 的周長(zhǎng)與 ABC的周長(zhǎng)之比為1: 4;其中正確的有.只填序號(hào)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.分析：根據(jù)題意做出圖形,點(diǎn) D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),可得 DE II BC, DE=【BC=2 ,那么可證得 ADEs ABC,由相似三角形面積比等于相似比的平方,證得 ADE的面積與 ABC的面積之比為 1: 4,然后由三角形的周長(zhǎng)比等于相似比,證得 ADE的周長(zhǎng)與 ABC的周長(zhǎng)之比為 1: 2,選出正確的結(jié)論即可.解答:解：.在 ABC中,D、E分別是 AB、AC的中點(diǎn), DE / BC , DE=4bC=2, 2. ADE ABC

18、 ,故正確；. DE. ADEABC,世=上,BC 2ADE的面積與 ABC的面積之比為 1: 4, ADE的周長(zhǎng)與 ABC的周長(zhǎng)之比為 1: 2,故正確,錯(cuò)誤.故答案為：.點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì),難度不大,注意掌握數(shù)形 結(jié)合思想的應(yīng)用,要求同學(xué)們掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比,面積比等于相似比 的平方.5、(2021?自貢)如圖,在平行四邊形 ABCD中,AB=6 , AD=9 , Z BAD的平分線交 BC于 E,交DC的延長(zhǎng)線于 F, BG ±AE于G, BG= 4扼,那么 EFC的周長(zhǎng)為()B.10C.D.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

19、；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì).分析：判斷出 ADF是等腰三角形, ABE是等腰三角形,DF的長(zhǎng)度,繼而得到 EC的長(zhǎng)度, 在Rt BGE中求出GE,繼而得到AE ,求出 ABE的周長(zhǎng),根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比 等于相似比,可得出 EFC的周長(zhǎng).解答：解：在ABCD中,AB=CD=6 , AD=BC=9 , Z BAD的平分線交 BC于點(diǎn)E, Z BAF= Z DAF ,. AB / DF, AD / BC, Z BAF= Z F=Z DAF , Z BAE= Z AEB ,AB=BE=6 , AD=DF=9 ,ADF是等腰三角形, ABE是等腰三角形,. AD / BC,EFC是等腰三角形,且

20、 FC=CE,EC=FC=9 - 6=3,在ABG 中,BG ±AE, AB=6 , BG=4血,AG=寸好 - BG*AE=2AG=4 ,ABE的周長(zhǎng)等于16,又 CEFs BEA,相似比為 1: 2,CEF的周長(zhǎng)為8.應(yīng)選D .B點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì),注意掌握相似三角形的周長(zhǎng) 之比等于相似比,此題難度較大.6、(2021?宜昌)如圖,點(diǎn) A, B, C, D 的坐標(biāo)分別是(1, 7), (1, 1), (4, 1), (6, 1), 以C, D, E為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似,那么點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是()A. (6, 0)B. (6, 3)C

21、 | (6, 5)D. (4, 2)考點(diǎn)：分析：解答:解： ABC 中,Z ABC=90 °, AB=6 , BC=3 , AB : BC=2 .A、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為6, 0時(shí),/ CDE=90 CDEs ABC,故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為6, 3時(shí),/ CDE=90 °,-WA ABC不相似,故本選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為6, 5時(shí),/ CDE=90 EDCs ABC ,故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為4, 2時(shí),/ ECD=90 DCEs ABC ,故本選項(xiàng)不符合題意；應(yīng)選B .,CD=2 , DE=1,貝U AB : BC=CD : DE,CD=

22、2 , DE=2 ,貝U AB : BC 定D : DE, CDE,CD=2 , DE=4,貝U AB : BC=DE : CD ,CD=2 , CE=1,貝U AB : BC=CD : CE ,相似三角形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).根據(jù)相似三角形的判定：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可判斷.點(diǎn)評(píng):此題考查了相似三角形的判定,難度中等.牢記判定定理是解題的關(guān)鍵.7、2021?雅安如圖,DE是ABC的中位線,延長(zhǎng)DE至F使EF=DE ,連接CF,那么S/xcef：S四邊形BCED 的值為考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.分析：先利用SAS證實(shí) ADEC

23、FE SAS,得出, ade=Sacfe,再由DE為中位線,判斷 ADEs ABC,且相似比為1: 2,利用相似三角形的面積比等于相似比,得到, ade ：, ABC = 1 : 4,貝 U Sa ADE : S 四邊形 BCED = 1 : 3,進(jìn)而得出, CEF： S 四邊形 BCED = 1 : 3 .解答：解：DEABC的中位線,. . AE=CE .在ADE與 CFE中,rAE=CE,Zaed=Zcef ,de=peADE CFE SAS,-, ADE=SACFE-DE為乙ABC的中位線,ADEABC,且相似比為 1: 2,& ADE : SA ABC = 1 : 4,. A

24、DE+S 四邊形 BCED=sAABC, S/ ADE : S 四邊形 BCED = 1 : 3 ,-, CEF： S 四邊形 BCED = 1 : 3.應(yīng)選A .點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理.關(guān)鍵是利用中位 線判斷相似三角形及相似比.8、2021聊城如圖,D是ABC的邊BC上一點(diǎn), AB=4 , AD=2 . Z DAC= / B,假設(shè) ABD的面積為a,那么 ACD的面積為A . a B , C. g D , g 2a 3a 3a考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).分析：首先證實(shí) ACDs BCA,由相似三角形的性質(zhì)可得： ACD的面積： ABC的面積為1

25、: 4,由于 ABD的面積為a,進(jìn)而求出 ACD的面積.解答：解：DAC= / B, Z C=Z C, . ACDA BCA , . . AB=4 , AD=2 ,ACD的面積： ABC的面積為1: 4,ACD的面積： ABD的面積=1: 3, ABD的面積為a,ACD的面積為a, 應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方,是中考常見題型.9、2021荷澤如圖,邊長(zhǎng)為 6的大正方形中有兩個(gè)小正方形,假設(shè)兩個(gè)小正方形的面積分 別為S1,那么S1+S2的值為A . 16 B . 17 C. 18 D . 19考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).專題

26、：計(jì)算題.分析：由圖可得,&的邊長(zhǎng)為3,由AC=/3BC, BC=CE=J§CD,可得AC=2CD , CD=2 ,EC=2血;然后,分別算出S1、&的面積,即可解答.解答：解：如圖,設(shè)正方形 S2的邊長(zhǎng)為X,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知,AC=J§x, x="§CD,AC=2CD , CD=2, EC2=22+22,即 EC=2寸公- S2 的面積為 ec2= 2以 x 22=8 ；-S1的邊長(zhǎng)為3, S1的面積為3X3=9,S+S2=8+9=17 .應(yīng)選B .點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì),考查了學(xué)生的讀圖水平.10

27、、 2021安順在平行四邊形 ABCD中,E在DC上,假設(shè)DE : EC=1 : 2,那么BF : BE=D考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).分析：由題可知 ABFs CEF,然后根據(jù)相似比求解.解答：解：DE : EC=1 : 2 EC : CD=2 : 3 即 EC : AB=2 : 3. AB / CD,. ABFA CEF,. .BF: EF=AB : EC=3: 2. .BF: BE=3 : 5.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質(zhì).第I頊圖11、13年安徽省4分、13如圖,P為平行四邊形 ABC電AD上一 點(diǎn),E、F分別為PB PC的中點(diǎn), PER PDC

28、、 PAB的面積分別 為 S、Si、& 假設(shè) S=2,那么 Si+S2=KX S>9Al平行形的性質(zhì),三鏘中中位技定理,相似三漏形的列定鞘性房.“機(jī)】?分別為PS、PC：中點(diǎn),.槌- -二丈.二坷EFSJP3C.二$i；M=4ujeW.2又 $m：= = § *A57： 1 二* 一=3：.$；：+ SX3= ： §,點(diǎn):：*：1-考點(diǎn)三：相似三角形的判定1、2021?益陽(yáng)如圖,在 ABC 中,AB=AC , BD=CD , CE±AB 于 E.求證: ABD sCBE .考點(diǎn)：相似三角形的判定.專題:證實(shí)題.分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A

29、D ± BC,然后求出/ ADB= / CEB=90.,再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證實(shí).:證實(shí)：在ABC 中,AB=AC , BD=CD ,. AD ± BC,. CE± AB ,Z ADB= / CEB=90 °,又.B= Z B,. . ABD s' CBE .:此題考查了相似三角形的判定,等腰三角形三線合一的性質(zhì),比較簡(jiǎn)單,確定出兩組對(duì)應(yīng) 相等的角是解題的關(guān)鍵.2、 2021年河北如圖4,菱形ABCD中,點(diǎn)M , N在AC上,ME ± AD ,NF± AB.假設(shè) NF = NM = 2 , ME = 3,貝U

30、AN =A . 3B . 4C. 5D . 6答案：B解析：由 AFNA AEM 得：-A = -NF 即 AN =-AM ME AN 23解得：AN = 4,選Bo3、 2021?孝感如圖,在 ABC 中,AB=AC=a , BC=ba> 方.在左 ABC 內(nèi)依次作 / CBD= / A, Z DCE= Z CBD , Z EDF= Z DCE .貝U EF 等于b3B.D.a4b5考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).分析：依次判定ABCs BDCs CDEs DFE,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的知識(shí),可 得出EF的長(zhǎng)度.解答：解：.AB=AC ,. .Z ABC=

31、 / ACB ,又.CBD= Z A ,. ABC s' BDC ,同理可得： ABCA BDCCDEA DFE ,.耍匹耍些里=四BC CD BD CD DE CEk2k3解得：CD=%, DE=%, EF=%.a/aJ應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),此題中相似三角形比較容易找到,難點(diǎn)在于根據(jù)對(duì) 應(yīng)邊成比例求解線段的長(zhǎng)度,注意仔細(xì)對(duì)應(yīng),不要出錯(cuò).4、2021?蘇州如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)A、 C分別在x, y軸的正半軸上.點(diǎn) Q在對(duì)角線 OB上,且QO=OC,連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊 AB于點(diǎn)P.那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2, 4-2血

32、.CB考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的 寸3倍求出OB,再求出BQ,然后求出 BPQ和OCQ相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BP的長(zhǎng),再求出 AP,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).解答：解：.四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形, OA=OC=2 , OB=2血,. . QO=OC , BQ=OB - OQ=2扼-2,正方形 OABC的邊AB / OC,. BPQA OCQ ,. 里退,OC 0Q即里=©2,22解得BP=2扼-2, AP=AB - BP=2 - ( 22 - 2) =4 - 2顯,.,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, 4 -

33、2血).故答案為：(2, 4- 2也).點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的如倍的性質(zhì),以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),比較簡(jiǎn)單,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出BP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.5、2021?眉山如圖,/ BAC= / DAF=90 °, AB=AC , AD=AF,點(diǎn) D、E 為 BC 邊上的兩 點(diǎn),且/ DAE=45.,連接EF、BF,那么以下結(jié)論： AEDA AEF ; ABE ACD ; BE+DC > DE ; BE2+DC2=DE2, 其中正確的有個(gè).A . 1B. 2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.分析：根據(jù)

34、 Z DAF=90 °, / DAE=45.,得出 / FAE=45.,利用 SAS 證實(shí) AEDAEF,判定正確；如果 ABEA ACD,那么 Z BAE= Z CAD ,由Z ABE= Z C=45.,那么 / AED= Z ADE,AD=AE,而由不能得出此條件,判定 錯(cuò)誤；先由 Z BAC= / DAF=90.,得出 / CAD= / BAF,再利用 SAS 證實(shí) ACDABF ,得出CD=BF,又知DE=EF,那么在 BEF中根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得BE+BF >EF,等量代換后判定 正確；先由 ACD ABF,得出 Z C=Z ABF=45.,進(jìn)而得出 /

35、EBF=90.,然后在 RtA BEF 中,運(yùn)用勾股定理得出 be2+bf2=ef2,等量代換后判定正確.解答：解：DAF=90 °, Z DAE=45 °, Z FAE= Z DAF - Z DAE=45 °.在 AED與 AEF中,| AE二蝦 ZDAE=ZFAE=45e ,ae=aeAED AEF (SAS), 正確； / BAC=90 °, AB=AC , Z ABE= / C=45 °.點(diǎn)D、E為BC邊上的兩點(diǎn),/ DAE=45 °, AD與AE不一定相等,Z AED與Z ADE不一定相等,/ AED=45 ° +

36、 Z BAE , Z ADE=45 ° + Z CAD ,Z BAE與Z CAD不一定相等,ABE與ACD不一定相似, 錯(cuò)誤； / BAC= Z DAF=90 °, Z BAC - Z BAD= Z DAF - Z BAD,即 Z CAD= Z BAF . 在ACD與 ABF中,C=AB< ZCAD=ZBAF ,lad=afACD ABF (SAS), CD=BF ,由知 AEDA AEF, DE=EF .在 BEF 中,. BE+BF > EF, BE+DC > DE , 正確； 由知 ACDABF,.Z C= / ABF=45 °,/ ABE

37、=45 °, Z EBF= Z ABE+ Z ABF=90 °.在Rt BEF中,由勾股定理,得 BE2+BF2=EF2,. BF=DC , EF=DE ,- be2+dc2=de2, 正確.所以正確的結(jié)論有.應(yīng)選C.B ED C點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角直角三角形的性質(zhì),三角形三 邊關(guān)系定理,相似三角形的判定,此題涉及的知識(shí)面比較廣,解題時(shí)要注意仔細(xì)分析,有一定難度.6、2021次津如圖,在邊長(zhǎng)為 9的正三角形 ABC中,BD=3 , Z ADE=60.,貝U AE的長(zhǎng) 為 7 .B考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).分析：先根

38、據(jù)邊長(zhǎng)為9, BD=3,求出CD的長(zhǎng)度,然后根據(jù)/ ADE=60.和等邊三角形的性質(zhì),證 明ABDs DCE,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得CE的長(zhǎng)度,即可求出AE的長(zhǎng)度.解答:解： ABC是等邊三角形, . .ZB= / C=60°, AB=BC ; CD=BC - BD=9 - 3=6;BAD+ Z ADB=120 . Z ADE=60 °, Z ADB+ Z EDC=120 °, / DAB= / EDC , 又.B= Z C=60 °, . .ABD DCE, 那么耍里 BD CE即業(yè)=玉,3 CE 解得：CE=2, 故 AE=AC -

39、CE=9 - 2=7. 故答案為：7.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì) 證得 ABDDCE是解答此題的關(guān)鍵.7、2021?恩施州如下列圖,在平行四邊形 ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O, E為OD 的中點(diǎn),連接 AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F,那么DF: FC=A . 1 : 4B. 1 : 3相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).首先證實(shí) DFEs BAE,然后利用對(duì)應(yīng)變成比例,E為OD的中點(diǎn),求出DF : AB的值,又知AB=DC,即可得出 DF: FC的值.解：在平行四邊形 ABCD中,AB / DC, 那么DFEs BAE ,D頃AB E

40、B'-.為對(duì)角線的交點(diǎn), DO=BO ,又E為OD的中點(diǎn), de=JLdb,4貝U DE : EB=1 : 3,DF : AB=1 : 3,. . DC=AB ,DF: DC=1 : 3,DF : FC=1 : 2.應(yīng)選D .此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì),難度適中,解答此題的關(guān)鍵 是根據(jù)平行證實(shí) DFEs BAE ,然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求值.8、2021?牡丹江如圖,在 ABC中Z A=60 °, BM ± AC于點(diǎn)M , CN ± AB于點(diǎn)N, P為BC邊的中點(diǎn),連接 PM , PN,貝U以下結(jié)論： PM=PN ;餐書； PMN為

41、等邊三AB AC角形； 當(dāng)Z ABC=45.時(shí),BN2PC .其中正確的個(gè)數(shù)是BPCA . 1個(gè)B . 2個(gè)C . 3個(gè)D . 4個(gè)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線.分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；先證實(shí) ABM ACN,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷 正確;先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出ZABM= / ACN=30 °,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/ BCN+ / CBM=60 °,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 求出Z BPN+ / CPM=120 °,從而得到/

42、 MPN=60 °,又由得PM=PN ,根據(jù)有一個(gè)角是 60° 的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確；當(dāng)Z ABC=45.時(shí),/ BCN=45 °,由P為BC邊的中點(diǎn),得出 BN=JPB=JPC,判斷 正 確.解答:解：BM ± AC于點(diǎn) M , CN ± AB于點(diǎn)N , P為BC邊的中點(diǎn),PM=_1bC , PNBC, 22. .PM=PN ,正確； 在ABM與 ACN中,/ A= Z A, Z AMB= Z ANC=90 °,. ABM ACN ,.也q,正確；ABAC / A=60 °, BM ± AC 于點(diǎn)

43、M , CN ± AB 于點(diǎn) N,ABM= Z ACN=30 °,在ABC 中,Z BCN+ / CBM 180 - 60° - 30 >2=60°,.點(diǎn) P 是 BC 的中點(diǎn),BM ± AC , CN ± AB ,.PM=PN=PB=PC ,/ BPN=2 / BCN , / CPM=2 / CBM ,BPN+ Z CPM=2 (Z BCN+ Z CBM ) =2 >60°=120° ,MPN=60 °,PMN是等邊三角形,正確； 當(dāng)Z ABC=45 時(shí),. CN ± AB 于點(diǎn)

44、N,. .Z BNC=90 °, / BCN=45 °, BN=CN ,- P為BC邊的中點(diǎn),.PN ± BC, BPN為等腰直角三角形BN=/PB=JPC,正確.應(yīng)選D .BPC點(diǎn)評(píng):此題主要考查了直角三角形 30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),相似三角形、等 邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),仔細(xì)分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9、2021?黔東南州將一副三角尺如下列圖疊放在一起,貝U翌的值是 里EC 3 一考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).分析：由Z BAC= / ACD=90.,可得AB / CD ,即可證得

45、ABE DCE ,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,可得：座史5,然后利用三角函數(shù),用 AC表示出AB與CD,即可求得EC CD答案.解答：解：BAC= / ACD=90 °, AB / CD,. ABEA DCE,.BE _ ABELCD'.在 Rt ACB 中 Z B=45 °,AB=AC ,.在 RtACD 中,/ D=30 °, CD=VAC ,. .要與近EC V3AC 3故答案為：史.3點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.10、2021臺(tái)灣、33如圖,將一張三角形紙片沿虛線剪成甲、乙、

46、丙三塊,其中甲、丙為 梯形,乙為三角形.根據(jù)圖中標(biāo)示的邊長(zhǎng)數(shù)據(jù),比較甲、乙、丙的面積大小,以下判斷何者 正確A.甲乙,乙丙B.甲乙,乙V丙C.甲V乙,乙丙D.甲V乙,乙V丙考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).分析：首先過(guò)點(diǎn) B作BH ± GF于點(diǎn)H ,貝U S乙=【AB?AC,易證得 ABC 口2 DBE ,2 GBHBCA,可求得GF, DB , DE , DF的長(zhǎng),繼而求得答案.解答：解：如圖：過(guò)點(diǎn) B作BH ± GF于點(diǎn)H,貝U S乙=【AB?AC,2. AC / DE,. ABCA DBE ,DE DB BE. BC=7 , CE=3 ,DE=AC, DB=AB,77 A

47、D=BD - BAAB ,7 S 丙=【(AC+DE ) ?AD=,AB ?AC ,298. A / GF, BH ± GF, AC ± AB ,BH / AC ,四邊形BDFH是矩形,. .BH=DF , FH=BD= "Ab ,7. GBHA BCA ,AB AC BC. GB=2 , BC=7 ,_22八GH= AB , BHAC ,772 八 _ _12 DF=AC , GF=GH+FH= =AB ,77 S 甲=(BD+GF ) ?DF=2?AB?AC,249.甲v乙,乙v丙.點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).此

48、題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.考點(diǎn)四：相似三角形的應(yīng)用1.6米的小明站在距離燈的底部點(diǎn) O1、2021?白銀如圖,路燈距離地面 8米,身高20米的A處,那么小明的影子 AM長(zhǎng)為 5 米.OA M考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用.分析：易得： ABM OCM ,利用相似三角形的相似比可得出小明的影長(zhǎng).解答：解：根據(jù)題意,易得 MBA MCO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知=義一,即4戲=義一OC OA+AJI 8 20+AM解得AM=5m .那么小明的影長(zhǎng)為 5米.4點(diǎn)評(píng)：此題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比可得出小明的影長(zhǎng).4米的位置上,2、2021?巴中如圖,小明在打網(wǎng)球

49、時(shí),使球恰好能打過(guò)網(wǎng),而且落在離網(wǎng)考點(diǎn)：分析：相似三角形的應(yīng)用.根據(jù)球網(wǎng)和擊球時(shí)球拍的垂直線段平行即DE / BC可知, ADE sX ACB ,根據(jù)其相似比即可求解.解答:解：DE / BC, m af. .ADEs ACB ,即=, BC AB那么4+3.540,8h=1.5m.點(diǎn)評(píng):此題考查了相似三角形在測(cè)量高度時(shí)的應(yīng)用,解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形,然后根據(jù) 對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問題.3、13年北京4分5如圖,為估算某河的寬度,在河對(duì)岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)取點(diǎn)B, C, D,使得 AB ± BC, CD ± BC ,點(diǎn)E在BC上,并且點(diǎn)A, E, D在同一條直線上.假設(shè)測(cè)得BE=20m , EC=10m,CD=20m,那么河的寬度AB等于B. 40mA. 60mC. 30mD. 20m第5題答案：B* 1020即一=,解得：AE 40