信息論與編碼習題解答

1、2.1設有12枚同值硬幣,其中一枚為假幣.只知道假幣的重量與真幣的重量不同,但不知究竟是重還是輕.現(xiàn)用比較大平 左右兩邊輕重的方法來測量(因無缺碼).為了在天平上稱出哪一枚是假幣,試問至少必須稱多少次解：分三組,每組4個,任意取兩組稱.會有兩種情況,平衡,或不平衡.(1) 平衡：明確假幣在其余的 4個里面.從這4個里面任意取3個,并從其余8個好的里面也取 3個稱.又有 兩種情況：平 衡或不平衡.a) 平衡：稱一下那個剩下的就行了.b) 不平衡：我們至少知道那組假幣是輕還是重.從這三個有假幣的組里任意選兩個稱一下,又有兩種情況：平衡與不平衡,不過我們已經(jīng)知道假幣的輕重情況了, 自然的,不平衡直接

2、就知道誰是假幣；平衡的話,剩下的呢個自然是假幣,并且我們也知道他是輕還是重.(2) 不平衡：假定已經(jīng)確定該組里有假幣時候：推論1:在知道該組是輕還是重的時候,只稱一次,能找出假幣的話,那么這組的個數(shù)不超過3.我們知道,只要我們知道了該組(3個)有假幣,并且知道輕重,只要稱一次就可以找出來假幣了.從不平衡的兩組中,比方輕的一組里分為3和1表示為輕(3)"和輕(1)",同樣重的一組也是分成 3和1標示為重(3) 和重(1) .在從另外4個剩下的,也就是好的一組里取3個表示為 準(3) .交叉組合為：輕(3) + 重(1)? = ? 輕(1) + 準(3)來稱一下.又會有 3種情

3、況：(1) 左面輕：這說明假幣一定在第一次稱的時候的輕的一組,由于 重(1) 也出現(xiàn)在現(xiàn)在輕的一邊,我們已經(jīng)知道,假 幣是輕的.那么假幣在輕(3)里面,根據(jù)推論1,再稱一次就可以了.(2) 右面輕：這里有兩種可能：重(1) 是假幣,它是重的,或者 輕(1) 是假幣,它是輕的.這兩種情況,任意取這兩個中的一個和一個真幣稱一下即可.(3) 平衡：假幣在 重(3) 里面,而且是重的.根據(jù)推論也只要稱一次即可.2.2同時扔一對骰子,當?shù)弥皟慎蛔用娉宵c數(shù)之和為2或“面朝上點數(shù)之和為 8或“骰子面朝上之和是 3和4時,試問這三種情況分別獲得多少信息量解：設“兩骰子面朝上點數(shù)之和為2為事件A,貝U在可能

4、出現(xiàn)的36種可能中,只能個骰子都為1,這一種結果.即：P (A) =1/36 I (A) = log2 P (A) = log 2 35.17 比注設“面朝上點數(shù)之和為8為事件B,那么有五種可能：2、6;& 2; 44;3、5;5、3;即：P (B) = 5/36 I (B) = log2P (B) = log 2 36/#2.85 此設“骰子面朝上之和是 3和4為事件C,那么有兩種可能：& 4; 4、3;即：P (C) = 2/36 I (C) = log2P (C) = log 2 36倍4.17 比注2.3如果你在不知道今天是星期幾的情況下問你的朋友“明天是星期幾 那么答

5、案中含有多少信息量如果你在今天是星期四的情況下提出同樣的問題,那么答案中你能獲得多少信息量(假設星期一至星期日的排序)解：(1) P= 1/7 I = Log2P= Log27(2) 今天星期四,問明天是星期幾即：明天是星期五是必然事件,不存在不確定性,I = 0.2.4地區(qū)的女孩中有25%是大學生,在女大學生中有 75%是身高1.6米以上的,而女孩中身高1.6米以上的占半數(shù)一半.假如我們得知“身高1.6米以上的某女孩是大學生的消息,問獲得多少信息量解：設A為女大學生,B為1.6米以上的女孩113那么依題意有：P(A) - , P(B) 一,P(B|A)-4241 33P(AB) P(A)gP

6、(B | A) 一一一4 4 16P(AB) 3P(A|B)-P(B) 8所以信息量為log 3 log 2 32.5 一副充分洗亂了的牌(含52張牌),試問(1) 任一特定排列所給出的信息量是多少(2) 假設從中出去抽取13張牌,所給出的點數(shù)都不相同時得到多少信息量?解：(1)任一排列發(fā)生的概率為1/52!I = log52! = 225.58 bit(2) 13張牌點數(shù)都不相同發(fā)生的概率為1/413I = log413 = 26 bit2.設離散無記憶信源Xa= 0a?=1a3=2a4=3=,其發(fā)出的消息為(202120210213001203210110321010021032P(x)

7、3/8 1/4 1/4 1/8011223210),求：(1) 此消息的自信息是多少(2) 在此消息中平均每個符號攜帶的信息量是多少?解：(1)由于離散信源是無記憶的,所以起發(fā)出的消息序列中各符號是無依賴且統(tǒng)計獨立的.因此,此消息的自信息就 為該消息中各符號自信息之和.比特I ( a10) = - log P ( a1)= - log = 1.415I ( a 21 ) = - log P ( a?) = - log =2 比料F4I ( a32) = - log P ( a3) = - log 】=2 比特4I ( a43) = - log P ( a4) = - log =3 比特8那么此

8、消息的自信息是:I=14I ( a1 0 ) + 13I ( a2 1) +12 I ( a32 ) + 6I ( a4 3)14 1.415+13 2+12 2+6 3 87.81比特(2)此消息中平均每個符號攜帶的信息量是：I 2 =87.81 45 1.95 比特/符號2.7如有6行8列的棋型方格,假設又二個質(zhì)點 A和B,分別以等概率落入任一方格內(nèi),他們的坐標分別為(XA,YA ) ,(XB,YB),但A.B不能落入同一方格內(nèi).(1) 如僅有質(zhì)點A,求A落入任一個格的平均自信息量是多少(2) 假設A已落入,求B落入的平均自信息量.(3) 假設A,B是可分辨的,求 A,B同都落入的平均自信

9、息量.24解：(1) H(XA)= P(ai)log P(ai) =log24 i 1(2) H(XB/XA)= P(ai)P(aj /ai)log P(aj /ai)i 1 j 1 24=24P(a1 )P(aj / a1 )log P(aj / a1) log 23j 20(3) H(XAXB)= P(aiaj)log P(aiaj)i 1 j 1q=24P(a1aj)logP(a1aj)=24*23* * log( * )24 2324 23=log24*23=log23+log242.8從大量統(tǒng)計資料知道,男性中紅綠色盲的發(fā)病率為7%,女性發(fā)病率為 0.5%,如果你問一位男同志：“你是

10、否是紅綠色盲 他的答復可能是“是,可能是“否,問這二個答案中各含多少信息量平均每個答復中含有多少信息量如果 你問一位女同志,那么答案中含有的平均自信息量是多少解：(1)(2)假設男同志答復“是 ：I= log(1/7%) = 3.84 bit答復“否：I= log(1/93%) = 0.1 bit平均信息量為：I = 7%log7% 93%log93% = 0.36 bit、 X2.9設信源P(x)極值性.務,0.2,假設問女同志,平均信息量為：I = 0.5%log0.5% 99.5%log99.5% = 0.045 bita2,a3,a4,a5,96求這信源的痼,并解釋為什么H (x) l

11、og6 ,不滿足信源痼的0.19, 0.18, 0.17, 0.16, 0.17解：信源的痼為:H(x) 0.2log25-1-110.19log 2 0.18log 2 0.17log 2 -0.190.180.170.16log 20.16110.17log 2 2.657 bit/符號0.17H(x) log6是由于此信息的P(aJ 1,不滿足信息痼極值性的條件.i 12.10設離散無記憶信源 S其符號集Aa1,a2,.,aq,知其相應的概率分布為(P1,P2,.,Pq).設另一離散無記憶信源S',其符號集為S信源符號集的兩倍,A =aii=1,2,.,2q,并且各符號的概率分布

12、滿足：Pi ' =(1)Pi(i=1,2,.,q)Pi '專 Pi-q (i=q+1,q+2,.,2q)試寫出信源S'信息痼與信源S的信息痼的關系.解：S ：a 32 aqP： p1 p2 pqH (X)=一刃=1PiLogPi羽=1Pi = 1S':a1 a2aq aq+1a2qP : p 1 p 2p qp q+1 p2qH (X)=我1P iLogP i=一2fi=1P iLogP i+22qi= q+1P iLogP i= i=1 (1 - £) PiLog (1 + LogPi+ 22qi = q+1 Pi q (Log 汁 LogPi q)

13、 =(1 -刃=PiLog (1 &) + ( 1 8 寸i=PiLogPi+ £ 勢=q+Pi-qLog £+ £ 務=q+侶-qLogPi-q=(1 -刃=1PiLogPi + £勢=q+ 1Pi qLogPi q+ (1 一對 Log (1一對 羽= 1Pi+ £og £ 牢q + 1Pi q=(1 -寸i=1PiLogPi + £S>1PjLogPj+ (1 一對 Log (1 8 刈S+ Log £ 羅=1Pj=瀏=1PiLogPi+( 1一對 Log (1 8 + Log 4 刃=1Pi=

14、H (X) (1 對 Log (1 s) + Log &岑=1Pi=H (X) (1 e) Log (1 e) eLog &即：H,(X) = H (X) (1 £) Log (1一對一£og £2.13 (1)為了使電視圖象獲得良好的清楚度和規(guī)定的適當?shù)谋日斩?需要用5*10 5個象素和10個不同的亮度電平,求傳遞此圖象所需的信息率(比特/秒).并設每秒要傳送30幀圖像,所有象素是獨立變化,且所有亮度電平等概率出現(xiàn).(2) 設某彩電系統(tǒng),除了滿足對于黑白電視系統(tǒng)的上述要求外,還必須有30個不同的色彩度,試證實傳輸這彩色系統(tǒng)的信息率要比黑白系統(tǒng)的信

15、息率約大2.5倍.解：(1)由于每幀圖象可以看成是離散的數(shù)字圖象,每個像素的亮度是隨機而且等概率出現(xiàn)的,那么每個像素亮度信源的概率空間為:心2,.用0P(ai)0.1,0.1,.,0.110P(ai)=1i 1每個像素亮度含有的信息量為：H(X)=log 210 3.32比特/像素=1哈特/像素現(xiàn)在,所有的像素是獨立變化的,那么每幀圖象可以看成是離散亮度信源的無記憶N次擴展信源.故,每幀圖象含有的信息量是：H(X N)=NH(X)=5 105log10=5 105 哈特 /幀 1.66 106 比特 /幀而每秒傳送30幀圖象,那么傳遞這個圖象所需要的信息率為Ri=30 H(X n)=1. 5

16、106 哈特 /秒 4.98 107 比特 /秒(2)證實：每個像素具有 10個不同的亮度和30個色彩度.由上面的計算得亮度等概率出現(xiàn)的情況下,每個像素含有的信息量是：H(X)=log 210 3.32比特/像素.每個像素的色彩度也是等概率出現(xiàn)的,那么色彩度信源的概率空間為：30P(bj)=1 j 1X _ 打屈.,.P(bj) 一 1/30,1/30,.,1/30每個像素色彩度含有的信息量：H(Y)=log 230 4.91 比特/像素而亮度和色彩度是相互獨立的,所以亮度和色彩度同時出現(xiàn),每像素含有的信息量：H(XY)=H(X)+H(Y)=log10+log30=log3008.23 比特

17、/像素如果每幀所用的像素數(shù)和每秒傳送的幀數(shù)都相同的情況下,傳輸這彩色系統(tǒng)的信息率與傳輸黑白系統(tǒng)的信息率之比 就等于彩色系統(tǒng)每像素含有的信息量與黑白系統(tǒng)每像素含有的信息量之比：H (XY) = log 300 25H(X) 一 log 10.證畢.2.14每幀電視圖像可以認為是由3 X 105個像素組成,所以像素均是獨立變化,且每一像素又取128個不同的亮度電平,并設亮度電平等概率出現(xiàn).問每幀圖像含有多少信息量 現(xiàn)有一播送員在約 10000個漢字的字匯中選 1000個字來口述此電視圖 像,試問播送員描述圖像所播送的信息量是多少(假設漢字字匯是等概率分布,并彼此無依賴)?假設要恰當?shù)孛枋鰣D像,播送

18、員在口述中至少需要多少漢字解：.亮度電平等概率出現(xiàn).每個像素所含的信息量為H(X)=log 128=7 bit/像素.而每個像素均是獨立變化的 每幀電視圖像所包含的信息量為H(X)= 3 X 105H(X)= 2.1 X 106bit假設漢字字匯是等概率分布 一、一,1每個漢字出現(xiàn)的概率均為 10000從而每個漢字攜帶的信息量為log 10000=13.2877 bit/字.漢字間彼此無依賴,播送員口述的1000個漢字所播送的信息量為1000 X 13.2877=13287.7 bit假設要恰當?shù)孛枋鰣D像,播送員在口述中至少需要的漢字數(shù)為2土蘭 -15841個漢字.13.28772.15為了傳

19、輸一個由字母 A、B、C、D組成的符號集,把每個字母編碼成兩個二元碼脈沖序列,以00代表A , 01代表B,10代表C, 11代表D.每個二元脈沖寬度為 5ms.(1) 不同字母等概率出現(xiàn)時,計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾?2)假設每個字母出現(xiàn)的概率分別為Pa=1/5,pb=1/4,pc=1/4,pd=3/10,試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾式猓?1)由題可知,當不同字母等概率出現(xiàn)時,平均自信息量為： H(x)=log4=2(比特/字母)又由于每個二元脈沖寬度為5ms,故一個字母的脈沖寬度為10ms那么字母的傳輸速率為100字母/秒故傳輸?shù)钠骄畔⑺俾蕿椋?00比特/秒(2) 當每個字母分別以題中的概率出現(xiàn)

20、時,平均自信息量為：H(x)=一習 P(ai)logP(ai) =(1/5)*log5+2*(1/4)*log4+(3/10)*log(10/3)=1.98( 比特/字母) 同樣字母的傳輸速率為100個/秒故傳輸?shù)钠骄畔⑺俾蕿椋?98比特/秒2.18設有一個信源,它產(chǎn)生0,1序列的消息.它在任意時間而且不管以前發(fā)生過什么符號,均按P(0)=0.4,P(1)=0.6的概率發(fā)出符號試問這個信源是否平穩(wěn)的(1)試計算 H(X2),H(X3|X1X2)及 Nim Hn(X).試計算H(X4)并寫出X4信源中可能有的所有符號解：(1)源,是離散無記憶信源.X(2)P(x) 0.4由于信源發(fā)出符號的概率

21、分布與時間平移無關,而且信源發(fā)出的序列之間也是彼此無依賴的.所以這個信源是平穩(wěn)信1,計算 H(X) R 0.971 bit/符號0.6由于信源是平穩(wěn)無記憶信源,所以H(X2)=2H(X) - 1.942 bit/兩個符號H(X 3|X1X2)=H(X 3)=H(X) r 0.971 比特/符號1,lim Hn(X)= lim H(X1X2L XN) N NN N(3) H(X 4)=4H(X) q 3.884 bit/ 四個符號 可能的所有 16個符號:0000 0001 00101110 1111= Nim00111、.一 NH (X)= H(X) x 0.97 bit/符號 N0100 0

22、101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 11010的序列2.19有一個元無記憶信源,其發(fā) 0的概率為p,而p約等于1,所以在發(fā)出的二元序列中經(jīng)常出現(xiàn)的是那些一串為(稱為高概率序列).對于這樣的信源我們可以用另一新信源來代替,新信源中只包含這些高概率序列.這時新信源Sn=(S1,S2,S3,Sn,Sn+1,共有n+1個符號,它與高概率的二元序列的對應關系如下：二元序列:001,01,0001,00000001,1,00 01(n 位),00 000(n 位)新信源符號：S3,S2, S4,S8,S1,Sn,Sn+1(1)求 H (Sn) 當n時求信源的痼H(

23、S) lim H(Sn)解：依題意,由于是二元無記憶信源,在發(fā)出的二元序列中符號之間彼此是無依賴的,統(tǒng)計獨立的,所以有:NaiNPk 1P ai1, ai2aiki1,i 21,2由此可得新信源Sn為:SnPSiSi1 S2 01PPSn0001PnSn 1001P Pn證實滿足完備性:n 1P(§)Pi 1PPnP(1P2Pn1)PnnPL_p_1 PPn 1H(S) nim由于0 PI 1P($)log P(§)1I Pn1H(P) H(P)1 P1 P. . . .一11,所以 lim Pn 0,貝U： H(S) H(P)H(Sn)nPii 11 _ i 1 _Plo

24、g(P P)nnP log P1 PnttH(P)H(Sn) nimH(P)lim PnX1為c, X2為a、b的概率為1/2,為c的概率為0,而且后面發(fā)出 法3.是利用馬爾可夫信源的圖示法畫出狀態(tài)轉移圖,并計算信源痼2.21有一信源,它在開始時以P(a)=0.6,P(b)=0.3,P(c)=0.1的概率發(fā)出 XI.如果X1為a時,貝U X2為a、b、c的概率為1/3;如果X1為b, X2為a、b、c的概率為1/3;如果Xi 的概率只與 Xi-1 有關,又 P(Xi|Xi-1)=P(X2|X1) iH8.解：由題可得,狀態(tài)轉移圖為:E0可見,狀態(tài)E1和E4、E7、E10的功能是完全相同的,狀態(tài)

25、E2和E5、E8、E11的功能是完全相同的,狀態(tài)E3和E6、E12的功能是完全相同的.A;由于此馬爾可夫信源Ei、E2、E3 的其中Eo是過渡狀態(tài),而Ei、E2、E3組成一個不可約閉集,具有遍歷性.故有如下的狀態(tài)轉移圖 的狀態(tài)必然會進入這個不可約閉集,所以計算信源痼時,可以不考慮過渡狀態(tài)和過渡過程.由此,可得狀態(tài) 極限概率：產(chǎn) Q(Ei)=1/3Q(Ei)+1/3Q(E 2)+1/2Q(E 3)Q(E2)=1/3Q(Ei)+1/3Q(E 2)+1/2Q(E 3)Q(E3)=1/3Q(Ei)+1/3Q(E 2) Q(Ei)+Q(E2)+Q(E3)=1可得：Q(Ei)=Q(E2)=3/8 , Q(

26、E3)=1/4a:1/3所以 H8=H2=Q(Ei)H(1/3,1/3,1/3)+Q(E 2)H(1/3,1/3,1/3)+Q(E 3)H(1/2,1/2)=1.4388(比特/符號)2.22 一階馬爾可夫信源的狀態(tài)圖如圖2.8所示,信源X的符號集為0,1,2并定義P 1 po 求信源平穩(wěn)后的概率分布P(0), P(1刑P(2);H (X )并與H進行比較;(2)求此信源的痼；(3) 近似認為此信源為無記憶時,符號的概率分布等于平穩(wěn)分布.求近似信源的痼(4) 對一階馬爾可夫信源 p取何值時H取最大值,又當 p 0和p 1時結果如何?解：(1) E A 0,1,2,由圖可得 Q(eJ P(q)

27、i 1,2,3Ei E,ai A而 E A 0,1,2p p/2 于是得到 p/2 pp/2 p/2Q(0)Q(0)Q(1) pt Q(1)Q(2)Q(2)Q(0) Q(1) Q(2) 1p/2p/2pp p/2 p/2 q(0)p/2 p p/2 Q(1)p/2 p/2 p Q(2)-一、,1整理計算得Q(0) Q(1) Q(2) 351即 P(0) P(1) P(2) 3(2)據(jù)一階馬爾可夫信源的痼的表達式可得3H H2Q(Ei)H(X|Ei)P(0)H (X |0)1p-H(p,衛(wèi)32IH京壹)3P(1)H(X |1) 1P(2)H (X |2)H(擋,.piog ppp p plog

28、log 2222, pplog p plog _2plog p plog p p(3)信源近似為無記憶信源,符號的概率分布等于平穩(wěn)分布,那么此信源X0,1,2P(a)1/3,1/3,1/33得到： H (X)P(ai)log P(ai) log 3 1.585 比特/"i 1由此計算結果可知H(X) h(4)求一階馬爾可夫信源H的最大值.由于H (1 p)log(l p) plog p p求其對p的一階導數(shù)iog(i p)plog(1 p) log"2(1 p)logp1.log p in 2p log 2上1 in 2令門.,得log 0,所以言1,所以p log 3 1

29、.585比特/符號.當 P0時HPlogp P咔 0當p 1時Hplog p plog p 1比特/符號由此可以看出上面H (X) H的結論時正確的.2- 一w時,H到達最大值;3H的最大值等2.23 一階馬爾可夫信源的狀態(tài)圖如圖2.9所示,信源X的符號集為0,1,2.(1) 求平穩(wěn)后信源的概率分布.(2) 求信源的痼H“°(3) 求當p=0和p=1時信源的痼,并說明其理由.Ei E,ai A,而 E= A階馬爾可夫信源狀態(tài)的極從狀態(tài)圖中分析可知,這三個狀態(tài)都是正規(guī)常返態(tài),所以此馬爾可夫鏈具有各態(tài)歷經(jīng)性,平穩(wěn)后狀態(tài)的極限分布存在.可得狀態(tài)一步轉移矩陣P0PPPP00PPQ(0)Q(0

30、)QPT QQ(2)Q(2)Q(0) Q(1) Q(2) 1Q(0) = Q(1) = Q(2) = 1/3那么可得P(0) = P(1)= P=1/3(2) 一階馬爾可夫信源的痼H8 = H2=H i=13Q(Ei)H(X I Ei)=P(0)H(X I E)+P(1)H(X I 1)+P(2)H(X I 2)=1/3H(P1,0,P)+1/3H(P,P1,0)+1/3H(0,P,P1)=-P1 log P1-P log P=H(P)(3)當 P= 0 ,H8= 0當 p= 1 ,Hy 1由于信息痼是表示信源的平均不確定性,題中當 P=1或P=0時說明信源從某一狀態(tài)出發(fā)轉移到另一狀態(tài)的情況是

31、一定發(fā)生或一定不發(fā)生,即是確定的事件.當P=1時,從0狀態(tài)一定轉移到 2狀態(tài),2狀態(tài)一定轉移到1狀態(tài),1狀態(tài)一定轉移到0狀態(tài).所以不管從何狀態(tài)起信源輸出的序列一定是021021序列,完全確定的.當 P=0時,0狀態(tài)永遠處于0狀態(tài),1狀態(tài)永遠處于1狀態(tài),2狀態(tài)用于處于2狀態(tài).信源輸出的符號序列也是確定的.所以當 P=1或P=0時, 信源輸出什么符號不存在不確定性,完全是確定的,因此確定信源的信息痼等于零.2.24 設有一個馬爾可夫信源,它的狀態(tài)集為S1,S2,S3,符號集為a1,a2,a3,及在某狀態(tài)下發(fā)符號的概率為P(ak|si)(i,k=1,2,3),如卜圖所示.a2：?a1：1a3：?(1

32、) 求出圖中馬爾可夫信源的狀態(tài)極限概率并找出符號的極限概率(2) 計算信源處在某一狀態(tài)下輸出符號的條件痼H(Sj)(j=1,2,3).(3) 求出馬爾可夫信源嫡fH 8.解：(1)此信源的狀態(tài)集不等于符號集,從狀態(tài)轉移圖可知P(a1|s1)=1/2, P(a1|s1)=0,P(a|s3)=1P(a2|s1)=1/4, P(a2|s2)=1/2, P(a2|s3)=0P(a3|S1)=1/4, P(a3|s2)=1/2, P(a3|s3)=0狀態(tài)轉移概率為 P(s2|s1)= P(a1 |s)+ P(a2|s)=3/4P(s3|si)= P(a3|s1)=1/4P(s1|s1)=0P(s1|s2

33、)= 0P(s2|s2)= P(a2|s2)=1/2P(s3|s2)= P(a3|s2)=1/2P(s1 |s3)= P(a1|s3)=1P(s2|s3)= P(a2|s3)=0P(s3|s4)= P(a3|s3)=0得狀態(tài)轉移矩陣：P=3/41/41/21/2從圖可知此狀態(tài)馬爾可夫鏈是時齊的,狀態(tài)數(shù)有限的和是不可約閉集,所以其具有各態(tài)歷經(jīng)性,平穩(wěn)后狀態(tài)的極限概率分布存在.得到如下方程組： Q(s1)= Q(s 3)Q(s2)=3/4 Q(s 1)+1/2 Q(s 2),Q(s3)=1/4 Q(s 1)+1/2 Q(s 2)Q(s1)+ Q(s 2)+ Q(s 3)=1解得：Q(s i)=2/7, Q(s 2)=2/7, Q(s 3)=3/7 3符號的極限概率P(ak)= ? Q(si)P(ak|si)k=1,2,3i=1所以 P(ai)=Q(si)P(ai |si)+ Q(s2)P(ai |s2)+ Q(s3)P(ai|s3)=3/7,P(a2)=2/7, P(a3