一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系

1、一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系丘滬回憶與思考1. 一元二次方程 ax2+ bx + c = 0(aR)的根的情況可由 =b2 4ac來判定：2(1)當 b /ac>0 時,方程有 頭數(shù)根,即 xi=, x2=.當b2Yac=0時,方程有 實數(shù)根,即 xi=x2=.當b2Yac<0時,方程 實數(shù)根.我們把b2 4ac叫做一元二次方程 ax2+ bx+ c = 0(aw.的根的判別式.(2)一元二次方程根的判別式的應用：不解方程,判別根的情況,特別是判別含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況,可通過配方法把b24ac變形為土(m ± h)2+k的形式,由此得出結論,無論

2、m為何值,b2/ac力或b2 Yac<0,從而判定一 元二次方程根的情況.一般步驟是：先計算 ,再用配方法將 恒等變形,然后判斷 的符號,最后得出 結論.根據(jù)方程的根的情況,求待定系數(shù)的取值范圍； 進行有關的證實.(3)關于根的判別式的應用：對于數(shù)字系數(shù)方程,可直接計算其判別式的值,然后判斷根的情況；對于字母系數(shù)的一元二次方程,假設知道方程根的情況,可以確定判別式大于零、等于零還是小于零,從 而確定字母的取值范圍；運用配方法,并根據(jù)一元二次方程根的判別式可以證實字母系數(shù)的一元二次方程的根的有關問題.(4)應用根的判別式須注意以下幾點：要用,要特別注意二次項系數(shù) aw 0這一條件.認真審題

3、,嚴格區(qū)分條件和結論,譬如是.,.還是要證實Av.要證實>0或4<0,需用配方法將 恒等變形為土(m± h)2+k的形式,從而得到判斷.2. 一元二次方程的根與系數(shù)的關系(1)如果方程 ax2+bx+c = 0(a加)的根是 xi 和 x2,那么 x+x2=, xix2=.特別低,如果方程 x2+ px+ q = 0的根是xi和x2,那么xi+x2=, xix2=.(2) 一元二次方程根與系數(shù)關系的應用.驗根.驗根是一元二次方程根與系數(shù)關系的簡單應用,應用時要注意三個問題：一要先把一元二次方程化成標準型,二不要漏除二次項系數(shù)aw0;三還要注意-b中的符號.a方程一根,求另

4、一根.不解方程,求與根有關的代數(shù)式的值. 一般步驟：先求出xi+x2,xix2的值,再將所求代數(shù)式用 xi+x2, xix2的代數(shù)式表示,然后將 xi+x2, xix2的值代入求值.兩個數(shù),求作以這兩個數(shù)為根的一元二次方程：以xi, x2為根的一元二次方程可寫成x2-(xi+x2)x+xix2=0 .(3)應用一元二次方程根與系數(shù)的關系時, 應注意：根的判別式b2Wac冷；二次項系數(shù)aw0,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能應用根與系數(shù)的關系(4)求方程兩根所組成的代數(shù)式的值,關鍵在于把所求代數(shù)式變形為兩根的和與兩根的積的形式(5)常見的形式：3.二次三項式的因式分解：ax2+bx+c=a

5、(x xi)(xx2).其中xi, x2是關于 x的方程 ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根.陵【例1】不解方程,判定關于 x的方程根的情況 2x2Cx+8=0(2)9x2+6x+1=0 16x2+8x= 3(4)x2=7x+18(5)2x2 14k+1)x+2k 2 T = 0(6)x2+ (2t+ 1)x+ (t N)2= 0【例2】(1)關于x的一元二次方程 kx2+2(k+1)x+k=0有兩個實數(shù)根,求 k的取值范圍.(2)假設關于x的一元二次方程(a 2)x2Nax+a+1=0沒有實數(shù)解,求 ax+3>0的解集(用含 a的式子表示)【例3】(1)關于x的方程x2mx+m2=0,求

6、證：方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)求證：方程(m2+1)x2Nmx+(m2+4)=0沒有實數(shù)根.例4 (1)方程x2 4x6=0的根是x1和x2,求以下式子的值：(x1 司(x2 3)x12+x22+x1x2*+*x2 x1(2)利用根與系數(shù)的關系,求一個一元二次方程,使它的根分別是方程 3x2 % T0=0各根的3倍；使它的根分別是方程 3x2iT0=0各根的負倒數(shù).【例6】(1)：xx2是方程x2次+a=0的兩個實數(shù)根,且11+'/3,求a的值. Xi x2(2)關于x的方程kx2+(k+1)x+ k=0有兩個不相等的實數(shù)根.求k的取值范圍；是否存在實數(shù) k,使方程的兩個實數(shù)根的倒

7、數(shù)和等于0?假設存在,求出k的值；假設不存在,說明理由團一、慎重抉擇(每題3分,共30分)21 . 一兀二次方程 x 3xY=0的根的情況是A.有兩個不等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.不能確定2 .以下方程中,沒有實數(shù)根的方程式A.x2=9B.4x2=34x TC.xx+1=1D.2y2+6y+7=03 .關于x的方程kfx2+kx+1=0有實根,那么k的取值范圍是A. kw2 B. k>2 C. k<2 且 kw1 D. k 為一切實數(shù)4.方程組露8的解是,言那么方程x2+ax+b=0A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.有兩個根為2和

8、35 .關于x的方程x22k1x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根,那么k?的最大整數(shù)值是A. -2 B. - 1 C. 0 D. 16 .關于x的方程k2x2+2k Tx+1=0有實數(shù)根,那么以下結論正確的選項是A.當k=1時,方程兩根互為相反數(shù)B.當kg時,方程有實數(shù)根C.當k=0時,方程的根是 x= T口.當k=蟲時,方程兩根互為倒數(shù)7 .方程x2Wxf=0與方程x2 6x+3=0的所有根的乘積為 A. T8B.18C. 3D.38 . 一元二次方程 x2 -3x+1=0的兩個根分別是 Xi, x2,那么Xi2X2+X1X22的值是1 1A. 3B . -3C. -339.假設a, b是方程

9、x2+2x-2021=0的兩個實數(shù)根,那么 a2+3a+b的值是A. - 2007 B. 2021 C. 2021 D, 20219 .a , 3是關于x的一元二次方程 x2+2m+3x+m 2=0的兩個不相等的實數(shù)根,且滿足工+；= T,那么a pm 的值是A.3或 T B . 3C. 1.§或110 .關于x的一元二次方程 x2 kx+2k T=0的兩個實數(shù)根分別是 Xi, x?,且為2+x22=7,那么xi %22的值是A. 1B. 12C. 13D. 25二、仔細填空每題4分,共20分11 .方程x2 mx+n=0有兩個相等的實數(shù)根, 那么符合條件的一組 m,n的值可以是 m

10、=, n= .12 .假設x1 ="3 2是二次方程 x2+ax+1= 0的一個根,那么a =,該方程的另一個根 x2 =.13 .關于x的方程2x2+m29x+m+1 = 0,當m=時,兩根互為倒數(shù)；當m=時,兩根互為相反數(shù).14 .以頗+1 , 被,為兩根的一元二次方程是 .15 .關于x的一元二次方程 x2+mx+n=0的兩個根為X1=1, X2= 2那么x2+mx+n分解因式的結果是三、知識理解每題6分,共12分16 .證實xTxT=k2有兩個不相等的實數(shù)根.四、技能掌握每題6分,共12分18 .方程x2+3x+1=0的兩個根為a、3,利用根與系數(shù)的關系,求以下各式的值: (

11、1)( “+1)( 3+1)；219 .：實數(shù) a、b滿足條件a a+2=0,b2 了b+2=0 ,且 ah 求a+b的值五、問題解決(每題8分,共16分)20 .xi , X2是關于x的方程x2 2(m+2)x+2m 2 T=0的兩個實根,且滿足 xi222=0,求m值.21 .關于 x的方程(m+1)x2+2mx+m 3=0總有實數(shù)根.(1)求m的取值范圍.2(2)假設m在取值范圍內(nèi)取最小正偶數(shù)時,方程是否有兩個根,假設有,設兩根為xx2,求：3x1(1Yx2)的值;假設沒有說明理由.22 .先閱讀第題的解法,然后再做第題.5 P是方程x2 -7x +8 =0的兩根,且ct卯,不解方程,求 +3日2的值. ct2一 c2c解：設一 , 3 ： = m, 3：= n,aP丁 巴P 是方程 x