二項式定理專題復習

1、二項式定理知識點、題型與方法歸納n _0n_1n1_rnrr_nn*_r _1 .二項式定理：(a b) Cna Cna bCa bCb (n N).其中 Cn(r 0,1,2, ,n)叫二項式系數(shù).式中的 C；an rbr叫二項展開式的通項,用 Tr 1表示,即通項Tr 1 C；an rbr.2 .二項展開式形式上的特點 ：(1)項數(shù)為n+ 1;(2)各項的次數(shù)都等于二項式的哥指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降哥排列,從第一項開始,次數(shù)由 n逐項減1直到零；字母b按升哥排列,從第一項起,次數(shù)由 零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從c0, on, 一直到ct1, Cn.3 .二

2、項式系數(shù)的性質(zhì)：r n r(1)對稱性：與首末兩端“等距離的兩個二項式系數(shù)相等.且 Cn Cn ,n+1. 一> ,(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)Cn,當kv 2一時,二項式系數(shù)逐漸增大.由對稱性知它的后半局部是逐漸減nn 1 n 1小的；當n是偶數(shù)時,中間一項 C?取得最大值；當n是奇數(shù)時,中間兩項 cn c取得最大值.各二項式系數(shù)和： C0+Cn+C2+ Cn + Cn= 2n； Cn+ Cn+ Cn+ -,= Cn+ Cn + Cn+2n 1.一個防范運用二項式定理一定要牢記通項Tr+1 = cnarbr,注意(a+ b)n與(b+ a)n雖然相同,但具體到它們展開式的某一項時是

3、不同的,一定要注意順序問題,另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念,前者只指一而后者是字一母處的一局部,.前者:只與.一n 一和二有:關 , 一恒為正,一后者還與.a一 b.有關.一也正可負一.兩種應用(1)通項的應用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等.(2)展注式的應用二一利用展態(tài)式可證實與二項式系數(shù)有關的等式;或證實丕等式;包證實整除問題虱做近似計算等.三條性質(zhì)(1)對稱土t(2)增減性;_(3)各項二項式系數(shù)的和；一二.題型例如【題型一】求(x y)n展開特定項例1: (1 + 3x)n(其中nCN*且n>6的展開式中x5與x6的系數(shù)相等,那

4、么n=() B.(用數(shù)字作答)70例2：IT Vx 8的展開式中x2y2的系數(shù)為【題型二】求(a b)m (x y)n展開特定項例1:在(1x)5+(1x)6+(1x)7+(1 x)8的展開式中,含x3的項的系數(shù)是()DA. 74B. 121C. 74D, - 121【題型三】求(a b)m (x y)n展開特定項例1:(1 + ax)(1 + x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,那么a=() DA.-4B.- 3C.-2D.-1例 2：在(1+x)6(1 + y)4 的展開式中,記 xmyn項的系數(shù)為 f(m, n),那么 f(3, 0)+f(2, 1)+f(1, 2) + f(0, 3)= (

5、) CA. 45B. 60C. 120D. 210例3：假設數(shù)列an是等差數(shù)列,且a6 a7 10 ,那么在(xa1)(x a2)L (x 知)的展開式中11. 一,x的系數(shù)為60【題型四】求(x y z)n展開特定項X- 2求1例5V2 (x>0)的展開式經(jīng)整理后的常數(shù)項因而X- 21十 一十x也在x> 0時可化為x 1 10Tr+1= C101 10r(d)102r,那么r= 5時為常數(shù)項,即C5o 比5=空哭例2:假設將(x yZ)10展開為多項式,經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為(). DA. 11B.33C. 55D. 66解：展開后,每一項都形如2xaybzc,其中a b c

6、 10,該方程非負整數(shù)解的對數(shù)為Ci02 66.例3: (x2 + x+ y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A. 10 B. 20 C. 30 D. 60(x2+x)3,由 Tt+1=&(x2)3 txt=C3x6那么n的值為()B.解析 易知 Tr+1= c5(x2+x)5 ryr,令 r = 2,那么 丁3= C2(x2+x)3y2,對于二項式 t,令t=1,所以x5y2的系數(shù)為C|C1=30.【題型五】二項式展開逆向問題例 1: (2021 廣州畢業(yè)班綜合測試)假設 C1 + 3C2+ 32C3+ + 3n-2© + 3n 1 = 85, .4 C解：由 cn+3d

7、+ 3n 2cn 1 + 3n 1 = 3(1 + 3)n- 1 = 85,解得 n= 4.應選【題型六】賦值法求系數(shù)(和)問題 例 1:(1 - 2x)7= a0+ ax+ a2x2+ + a7x7.求：(1)a1 + a2+ +a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0 + a2+ a4+a6；(4)|a0|+ |a1|+ |a2|+ + |a7|.斛：令 x= 1,貝U a0+a+a2+a3+a4+a5+a6 + a7= 1 .令 x= - 1,那么 a.a1 + a2a3+a4a5+a6a7 = 37.(1) a0= C0= 1,a1 + a2+ a3+ ,+ a7= - 2.-1

8、 - 37(2)( 1)*% 彳# a +a3 +a5+a7=2=- 1094.1 + 37(3)(加)-彳導 a0+a2 + a4+a6=2=1093.(4):(1 2x)7的展開式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,.| a0| 十 | a1| + | 罔 + + | a7| = (ao+ a2+ a4+ a6) (a1+ a3 + a5+ a7),.所求即為一(亦即),其值為2187.點撥：“賦值法普遍運用于恒等式,是一種處理二項式相關問題比較常用的方法.對形如(ax+ b)n, (ax2+ bx+c)m(a, b, cC R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,

9、只需令x= 1即可；對形如(ax+by)n(a, bCR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令 x= y=1即可. 假設f(x) = a0+aix+a2x2+ anxn,那么f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4f(1) + f( 1)/用夾心Tb N 夾A、工 rt4f(1) f( 1)+ =,偶數(shù)項系數(shù)之和為aI + a3+a5+=.例 2：設x = a0+ax+a2x2+a2nx2n,那么(a0+a2 + a4+a2n)2(a+a3+a5+ a2n1)2=解:設 f(x) =二 J T+x2n那么(ao+ a2+ a4+ + a2n)2 一(a1 + a

10、3 + a5+ + a2n-1)2=(a0 + a2 + a4 + + a2n a1一 a3a5 一 一 a2n 1)(a0+ a2+ a4 + + a2n + a + a3 + a5+ + a2n-1)= f( 一 1) f(1)=12-12Y+1 嗎1 2n2a1 a2 a3 a2021,一,例 3:(x+ 1)2(x+2)14= a0+a(x+2)+a2(x+2)2+ + a2021(x+ 2),那么萬+了+m+ +產(chǎn)誣的值為. 3 一解：依題息令x= 2,得3232021一2+1-2+2=a0 + a133232021_2 +2 + a2 -+2 + a2021 -2+ 2令 x=2

11、得 a0=0,那么a1+|f+|十十【題型七】平移后系數(shù)問題a202122021 =1 20212例 1：假設將函數(shù) f(x)=x5表不為f(x) =a0+a(1 + x)+a2(1 + x)2+ 一+ a5(1+ x)5,其中a.,a1,a2,a5為實數(shù),貝 U a3 =.解法一：令 x+1 = y, (y1)5= a0+ay+azy2+ asy5,故 a3= C5(1)2= 10.a5= 1,解法二：由等式兩邊對應項系數(shù)相等.即：C4a5 + a4=0, 解得a3=10.C5a 5 + C4a4 + a3 = 0,解法三：對等式：f(x)= x5= a0+a(1+x) + a2(1+x)2

12、+ a5(1 + x)5兩邊連續(xù)對 x求導三次得：60x2=6a3+ 24a4(1 + x)+60a5(1 + x)2,再運用賦值法,令 x= 1 得：60=6a3,即 a3=10.故填 10.【題型八】二項式系數(shù)、系數(shù)最大值問題1 n例1： + 的展開式中第五項和第六項的二項式系數(shù)最大,那么第四項為2x解析由條件第五項和第六項二項式系數(shù)最大,得n = 9,$+ ： 9展開式的第四項為T4 =2x一 一 1 3 21C3 (W)6 - 2x =7.例2：把(1x)9的展開式按x的升哥排列,系數(shù)最大的項是第 項A. 4B. 5C. 6D. 7解析(1x)9展開式中第r+1項的系數(shù)為C9(1),易

13、知當r = 4時,系數(shù)最大,即第5項系數(shù)最大,選B.例3: (1 + 2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等,求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項解：T6 = C5(2x)5,T7=Cn(2x)6,依題意有Cn-25= C6 -26,解得n = 8.所以(1 + 2x)8的展開式中,最大的項為 T5= C4 (2x)4= 1 120x4.項式系數(shù)設第r + 1項系數(shù)最大,那么有C8 2r>C 1 2r 1C8 . 2r > C8+1 - 2r+ 1解得54w6所以r= 5或r=6,所以系數(shù)最大的項為TQ = 1 792x5或Ty= 1 792x6.(1)求二項式系數(shù)最大項

14、：如果n是偶數(shù),那么中間一項第2+1項的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù),n+1r,n+1那么中間兩項(第二2一項與第一2一+1項)的二項式系數(shù)相等并最大.(2)求展開式系數(shù)最大項：如求(a+bx)n(a, bC R)Ar > Ar 1的展開式系數(shù)最大的項,一般是采用待定系數(shù)法,列出不等式組從而解出r,即得展開式系數(shù)最大的Ar > Ar+1 ,項.【題型九】兩邊求導法求特定數(shù)列和 例 1:假設(2x 3)5=ao + ax+ a2X2+a3x3+a4x4+a5x5,那么 a + 2a2+3a3+4a4+5a5 =.解析 原等式兩邊求導得5(2x 3)4 , (2x3) = a + 2a

15、2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令上式中 x= 1,得 a1+2a2+ 3a3+4a4+5a5=10.【題型十】整除問題例1:設a C Z,且0Q<13,假設512 012+ a能被13整除,那么a=()A. 0 B. 1C. 11 D. 12解析 512 012+ a=(52 1)2 012+a=C2 012 522 012-C2 012 522 011+ C2 012X 52-(-1)2 011 + C2 012 (1)2 012+a,.C0 012 522 012-C 012 522 011+ C2 012X 52(1)2 011 能被 13 整除.且 512 012+

16、a 能被 13 整除,. C012 (1)2 012 + a=1 + a 也能被 13 整除.因此a可取值12.例2：m是一個給定的正整數(shù),如果兩個整數(shù)a, b除以m所得的余數(shù)相同,那么稱 a與b對*H m同余,記作a書(mod m),例如：5三13mod 4).假設22021三r(mod 7),那么r可能等于().2021 C解：22021 = 22 X 23><671 = 4X671 = 4(7+ 1)671 = 4(7671+C6717670+ C6707+ 1).因此 22021 除以 7 的余數(shù)為 4.經(jīng)驗證,只有2021除以7所得的余數(shù)為4.應選A.三.自我檢測1、(2

17、021 青島一檢)n= 5是“2 x+ 工3xn* . . . 、 .(nC N )的展開式中含有常數(shù)項的(D.既不充分也不必要條件A.充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件2、 C0+2CJ+ 22C2+23C3+ +2nCn=729,那么 C4+d +1+之等于()A. 63 B. 64 C. 31 D. 323、組合式 d2Cn + 4C28C3 + +( 2)nCn的值等于 ()A. (- 1)nB. 1C. 3nD. 3n-14、假設(1 + x+ x2)6=a0 + a1x+ azx2+ a12x12,那么 a2+a4+ a2 =5、(1+x)10 = ao+a1(1 x)+a2(1 x)2+ a0