插值與擬合matlab實現(xiàn)

1、插值與擬合 matlab 實現(xiàn)插值與擬合的 Matlab 實現(xiàn)王 正 盛 編寫在科技工程中，除了要進行一定的理論分析外，通 過實驗、 觀測數(shù)據(jù)， 做分析、 處理也是必不可少的一種途徑。 由于實驗測定實際系統(tǒng)的數(shù)據(jù)具有一定的代表性，因此在處 理時必須充分利用這些信息；又由于測定過程中不可避免會 產(chǎn)生誤差，故在分析經(jīng)驗公式時又必須考慮這些誤差的影 響。兩者相互制約。據(jù)此合理建立實際系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法 成為數(shù)值逼近法。一、 插值法1、數(shù)學(xué)原理工程實踐和科學(xué)實驗中，常常需要從一組實驗 觀測數(shù)據(jù) 中，求自變量 與因變量 的一個近似的函數(shù)關(guān)系 式。例如：觀測行星的運動，只能得到某時刻 所對應(yīng)的行星位 置

2、（用經(jīng)緯度表示） ，想知道任何時刻 的行星位置。例如：大氣壓測定問題；導(dǎo)彈發(fā)射問題；程序控制銑床加工 精密工件問題；飛機船舶制造問題等等。都屬于此類問題。 因為考慮到代數(shù)多項式既簡單又便于計算，所以人們就用代 數(shù)多項式近似地表示滿足 個點 的函數(shù)關(guān)系式 插值法 建模。（1）計算方法課程中學(xué)習(xí)了兩種多項式插值： Lagrange 插值和 Newton 均差插值： 已知 n+1 個數(shù)據(jù)點： n 次 Lagrange 插值公式： 特別地，當(dāng) n=1 時， 線性插值 當(dāng) n=2 時， 拋物線插值或二次插值Newton 均差插值公式： ，其中 是 k 階均差， 可由均差表方 便計算得到。Lagrange

3、 插值和 Newton 均差插值本質(zhì)上是一樣的，只是形 式不同而已，因為插值多項式是唯一的。（2）Runge 現(xiàn)象和分段低次插值：如 在-5，5上各階導(dǎo)數(shù)存在，但在此區(qū)間取 n 個節(jié)點構(gòu)造 的 Lagrange 插值多項式在區(qū)間并非都收斂， 而且分散得很厲 害。（ matlabbin Lagrange.m 是自己編寫的 M 文件）例 取 n=-10 hold off x=-5:1:5;y=1./(1+x.A2);x0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.A2);plot(x0,y0)hold onplot(x0,y1,'b:')le

4、gend('插值曲線','原數(shù)據(jù)曲線')因此插值多項式一般不要超過四次為宜。 為避免 Runge 現(xiàn)象 提出分段插值，所謂分段插值就是首先把插值點分開，在每 一段上用低次插值，再連接起來。如分段線性插值、分段二次插值、分段三次插值等等。（3）三次樣條插值：三次樣條插值算法的插值精度較高，所構(gòu)造的曲線 比較光滑（即在節(jié)點處連續(xù)可導(dǎo)） 。因此，在許多工程設(shè)計 或制造業(yè)中，例如飛機、導(dǎo)彈、高速機車、萬噸級輪船等外 形設(shè)計常常利用本算法進行插值計算。 三次樣條插值函數(shù)的定義：設(shè)已知 n+1 個數(shù)據(jù) ，如果函數(shù) 滿足如下性質(zhì)： （ 1）在每個子區(qū)間 上， 是次數(shù)不超過三次

5、的多項式； （2）（3） 在插值區(qū)間上二次連續(xù)可微，記為 則稱 為三次樣條插值函數(shù)，簡稱三次樣條。三次樣條函數(shù) 在每個子區(qū)間 上可由 4 個系數(shù)唯一確 定，因此， 在 上有 4n 個待定系數(shù)。由于 ， 故有這里給出了 3n-3 個條件，加上插值條件（ 2），共有 4n-2 個 條件。為了確定 ，通常還需要補充兩個邊界條件。 常用的邊界條件有三類： 第一種邊界條件：給定兩邊界節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù) ，并要求 滿足：第二種邊界條件：給定兩邊界節(jié)點處的二階導(dǎo)數(shù) ，并要求 滿足：特別地，若 ，則所得的樣條稱為自然樣條（ MATLAB 中即 是自然樣條）。第三種邊界條件：被插函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)，要求

6、 滿足：定 理：三次樣條插值問題的解存在且唯一。 （證明略） 求三次樣條函數(shù) 有多種方法，這里介紹一種著名的三彎矩 法。1、表達式：設(shè)三次樣條函數(shù)為，且 ，在 上， 由定義中的（ 2）及 處的二階導(dǎo)數(shù)為 ，則有（1）（2）由于 是三次多項式，所以 是線性函數(shù)，于是線性插值，得令 ，得（3）對（ 3）式積分兩次，得（4）其中 為積分常數(shù)，利用（ 1），有解得代入（ 4）并化簡，得（ 5） 這就是系數(shù)用二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條的表達式。因此，只 要確定 ，即得三次樣條函數(shù) 。2、結(jié)點的 關(guān)系式為了求 ，利用 的一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性： 將（ 5）式對 求導(dǎo)數(shù)，得類似地，可得由 ，得上式兩邊同乘以 ，得令則

7、得到方程組（6）稱為結(jié)點的 M 關(guān)系式（力學(xué)上稱為三彎矩方程組）3、邊界條件（ 6）式中是 n+1 個未知數(shù)的 n-1 個方程的方程組，不能 唯一的確定 ，要唯一確定 ，必須附加兩個條件，可由實際 情況在兩端點 處給出的條件，稱為邊界條件（端點條件） 常見兩種邊界條件：（1）給定兩端點的二階導(dǎo)數(shù)，（7）這時由結(jié)點的 M 關(guān)系式 （6）可求出 ， 特別地當(dāng) 時為自然 樣條。（ 2）給出兩端點的一階導(dǎo)數(shù)（斜率） ： ，此時由一階導(dǎo)數(shù) 的連續(xù)性，可得到兩個方程：（8） 邊界條件（ 7）和（ 8）可以寫成統(tǒng)一形式（9） 其中 當(dāng) 時，即為（ 7 ）式；當(dāng) 時， 即為（ 8）式。 將（ 6）式與（ 9）式合在一起得到以下三對角方程組：此方程組對角占優(yōu)，用追趕法一定可解出 。4、解題步驟 第一步：確定邊界條件； 第二步：建立結(jié)點的 M 關(guān)系式，求出各點