勾股定理題型(很全面)

1、典型例題：一、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題例題：水中蘆葦梯子滑動(dòng)1、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi),燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？二、與勾股定理有關(guān)的圖形問(wèn)題1.已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰RtACD再以RtACDW斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰RtAADE，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是.2、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，

2、那么拖拉機(jī)在公路MN上邊長(zhǎng)是沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少?3.在直線上依次擺著七個(gè)正方形（如圖），已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1,2,3,正放置的四個(gè)正方形的面積是S2,S3,S4,則&+S2+S3+S4=_.4.如圖，ABC中，/C=90°,（1）以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形（如圖），探究S1+S2與S3的關(guān)系；（2）以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形（如圖），探究S1+S2與S3的關(guān)系;以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓（如圖），探究S1+S2

3、與S3的關(guān)系.3、如圖，南北向MN為我國(guó)領(lǐng)海線，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海，上午9時(shí)50分，我反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇C以每小時(shí)6.4海里的速度偷偷向我領(lǐng)海開來(lái)，便立即通知正在MN在線巡邏的我國(guó)反走私艇B密切注意，反走私A艇通知反走私艇B時(shí)，A和C兩艇的距離是20海里，A、B兩艇的距離是12海里，反走私艇B測(cè)得距離C是16海里，若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？5.如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF,再以第二個(gè)正方形的對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH,如此下去，記正方形ABCD的邊長(zhǎng)a1=1,依上

4、述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次為a1,a2,a3,，an,根據(jù)上述規(guī)律,則第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)an=記正方形ABCD的面積G為1,按上述方法所作的正方形的面積依次為S2,S3,，Sn（n為正整數(shù)），那么Sn=.6、如圖，RtABC中，/C=90°,AC=2,AB=4,分另以AGBC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為.7三、關(guān)于翻折問(wèn)題1、如圖，折疊矩形紙片ABCD,先折出折痕(對(duì)角線)得折痕DG,若AB=2,BC=1,求AG.BD,再折疊，使AD落在對(duì)角線BD上,G5、矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB=4,AD=2.將矩形紙片沿其一面著色(如圖)，求著色部分的面積。EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合

5、，折疊后在D G CitrAB2、如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，EC與AD相交于點(diǎn)F.(1)求證：FAC是等腰三角形；(2)若AB=4,BC=6,求FAC的周長(zhǎng)和面積6、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).3、如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE=6cm,7如圖，AD是4ABC的中線，/ADC=45°,把ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置，BC=4,求BC'的長(zhǎng).AB=16cm,求BF的長(zhǎng).4、如

6、圖，一張矩形紙片ABCD的長(zhǎng)AD=9cm,寬AB=3cm。現(xiàn)將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合。求折疊后BE的長(zhǎng)和折痕EF的長(zhǎng)。F四、關(guān)于最短性問(wèn)題5、如圖，一個(gè)高18m,周長(zhǎng)5m的圓柱形水塔，現(xiàn)制造一個(gè)螺旋形登梯，為減小坡度，要求登梯繞1:如圖1,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為12cm,寬為6cm,高為5cm,一只螞蟻沿側(cè)面從A點(diǎn)向B點(diǎn)爬行，問(wèn):塔環(huán)繞一周半到達(dá)頂端，問(wèn)登梯至少多長(zhǎng)？（建議：拿張白紙動(dòng)手操作，你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的奧妙）爬到B點(diǎn)時(shí)，螞蟻爬過(guò)的最短路程是多少?6、有一圓柱形食品盒，它的高等于16cm,底面直徑為20cm,螞蟻爬行的速度為2cm/s.如果在盒內(nèi)下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對(duì)面中部點(diǎn)B處

7、的食物，那么它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)，結(jié)果可含兀）2、如圖壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊.請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？如果在盒外下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對(duì)面中部點(diǎn)B處的食物，那么它至少需要多少時(shí)間的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)，結(jié)果可含兀）?（盒BA圖1-193:如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,

8、則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？4.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相7：如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2j2cm的半圓，一只螞蟻沿圓錐側(cè)面從A點(diǎn)向B點(diǎn)爬行，問(wèn)：（1）爬到B點(diǎn)時(shí)，螞蟻爬過(guò)的最短路程；（2）當(dāng)爬行路程最短時(shí)，求爬行過(guò)程中離圓錐頂點(diǎn)C的最近距離.到B點(diǎn)，最短線路是多少?對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬8、如圖，一圓錐的底面半徑為2,母線PB的長(zhǎng)為6,D為PB的中點(diǎn).一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D,則螞蟻爬行的最短

9、路程為D五、關(guān)于勾股定理判定三角形形狀1、已知，ABC中，AB=17cm,BC=16cm,BC邊上的中線AD=15cm,試說(shuō)明ABC是等腰三角形。六、關(guān)于旋轉(zhuǎn)中的勾股定理的運(yùn)用：1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP'重合,若AP=3,求PP'的長(zhǎng)。2：已知 ABC的三邊a、b、c,且a+b=17, ab=60, c=13, AABC是否是直角三角形？你能說(shuō)明 理由嗎？變式1:如圖，幅等邊三角形AB6一點(diǎn)，PA=2,PB=2j3,PC=4,求ABC勺邊長(zhǎng).分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將4BP圈點(diǎn)臉時(shí)針選擇60。，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，

10、根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形3、如圖，在RtABC中，/ACB=90,CDLAB于D,設(shè)AC=b,BC=aAB=gCD=hi試說(shuō)明:(1)1;(2)a+bvc+h;(3)判斷以a+b、h、c+h為邊的三角形的形狀，并說(shuō)明理由.七、關(guān)于勾股定理的相關(guān)證明221、如圖，在ABC中，AB=AC,P為BC上任意一點(diǎn)，求證：ABAP=PBPC分析：考慮構(gòu)造直角三角形，能利用勾股定理BD2+CD2= 2AD2.4、在等腰直角三角形ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M,N,使/MCN=45，記AM=mMN=xBN=m試判斷以x,mn為邊長(zhǎng)的三角形的形狀。CFAMNB2,如圖，在ABC中，/BAC=90,AB=ACD是BC上的點(diǎn).求證:八、綜合題1、已知RtAABC,/ACB=90,CA=CB有一個(gè)圓心角為45°,半徑的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE,CF分別與直線AB交于點(diǎn)M,N.(I)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在/ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1,求證：MN2=AM2+BN2(思路點(diǎn)撥：考慮MN2=AM2+BN2合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.可將ACM沿直線CE對(duì)折，得DCM連DN,只需證DN=BN/MDN=90就可以了.請(qǐng)你完成證明過(guò)程.)(II)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)