一線三等角型相似初三壓軸題(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考熱點5三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當頂點移動到底邊的延長線時，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認真做題，細細體會。CADBEF典型例題【例1】如圖，等邊ABC中，邊長為6，D是BC上動點，EDF=60°（1）求證：BDECFD（2）當BD=1，F(xiàn)C=3時，求BE 【思路分析】本題屬于典型的三等角型相似，由題意可得B=C=E

2、DF=60°再用外角可證BED=CDF，可證BDE與CFD相似排出相似比便可求得線段BE的長度解：（1）ABC是等邊三角形，EDF=60°B=C=EDF=60°EDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDCBDECFD（2）BDECFDBD=1，F(xiàn)C=3，CD=5CDEABFBE=點評：三等角型的相似三角形中的對應邊中已知三邊可以求第四邊?！纠?】如圖，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中點，EDF=B，求證：BDEDFE【思路分析】比較例1來說區(qū)別僅是點D成為了BC的中點，所以BDE與CFD相似的結(jié)論依然成立，用相似后的對應邊成比例，以及BD=CD的條件可證得

3、BDE和DFE相似解： AB=AC，EDF=BB=C=EDFEDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDCBDECFD 又BD=CD即 EDF=BBDEDFE點評：三等角型相似中若點D是等腰三角形底邊上任意一點則僅有一對相似三角形，若點D是底邊中點則有三對相似三角形，BDE與CFD相似后若得加上BD=CD可證得CFD與DFE相似ABPCM【例3】如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM交AC于點M，使APM=B；（1）求證：ABPPCM；（2）設BP=x，CM=y求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（3）當APM為等腰三

4、角形時， 求PB的長【思路分析】第（1）（2）小題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。對APM進行等腰三角形的分類討論時，可將條件轉(zhuǎn)化成與ABPPCM相關的結(jié)論ABCPM解：（1）AB=AC，APM=BAPM=B=CAPC=APM+MPC=B+BAPBAP=MPCABPPCM（2）BP=x，CM=y，CP=8-xABCPM（3）當AP=PM時PC=AB=5BP=3當AP=AM時APM=B=CPAM=BAC即點P與點B重合P不與點B、C重合舍去當MP=AM時MAP=MPAMAPABC即BP=點評：等腰三角形分類討論需要靈活應用，可采用的方法添底邊上的高，將等腰的條件進行轉(zhuǎn)化，三等角型相似這類問題中可

5、將等腰的條件轉(zhuǎn)化至ABP和PCM中簡化運算。ABCPQ【例4】（1）在中，點、分別在射線、上（點不與點、點重合），且保持.若點在線段上（如圖10），且，求線段的長；ABC備用圖若，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的 定義域；ABCD圖12（2）正方形的邊長為（如圖12），點、分別在直線、上（點不與點、點重合），且保持.當時，寫出線段的長（不需要計算過程，請直接寫出結(jié)果）.【思路分析】本例與前幾例的區(qū)別在于與等腰三角形底角相等的角的頂點不僅在線段上還可以運動至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個三角形相似列出比例式后求解。當?shù)妊切巫兪?/p>

6、為正方形時，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。解：（1），.又，. .，.（2）若點在線段上，由（1）知.， ，又， ，即.ABC備用圖PQ故所求的函數(shù)關系式為，.若點在線段的延長線上，如圖11. ， ， .又， . . ， ，即 .（2）當點在線段上，或.當點在線段的延長線上，則點在線段的延長線上，.當點在線段的延長線上，則點在線段的延長線上，.點評：此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動點在線段上時，通過哪兩個三角形相似求解，當動點在線段的延長線上時，還是找原來的兩個三角形，多數(shù)情況下這兩個三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。強化訓練：ABCDE1. 如圖

7、，在ABC中，是邊上的一個動點，點在邊上，且(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當點是的中點時，試說明ADE是什么三角形，并說明理由ABCDEF2. 已知：如圖，在ABC中，點D在邊AB上，點E在邊BC上又點F在邊AC上，且(1) 求證：FCEEBD；(2) 當點D在線段AB上運動時，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的長如果不可能請說明理由CPEABD3. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點，且BP=2，將一個大小與B相等的角的頂點放在P 點，然后將這個角繞P點轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點為D、

8、E。（1）求證BPDCEP（2）是否存在這樣的位置，PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由。CPEABF4. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個動點(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設PC=x，記PE=，PF=（1）分別求、關于x的函數(shù)關系式（2）PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長，若不能，請說明理由。CPEABF5. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個動點(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設PC=x，PEF的面積為y（1）寫出圖中的相似三角形不必證明；（2）求y與x的函數(shù)

9、關系式，并寫出x的取值范圍；（3）若PEF為等腰三角形，求PC的長。6. 已知在等腰三角形中，是的中點， 是上的動點（不與、重合），連結(jié)，過點作射線，使，射線交射線于點，交射線于點.（1）求證：；（2）設.用含的代數(shù)式表示；求關于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.CDABP7. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么當點Q在線段DC的延長線上時，設APx，CQy，求y關于x的函數(shù)解析式，

10、并寫出函數(shù)的定義域；當CE1時，寫出AP的長（不必寫出解題過程）8. 已知：如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，AMDC，E、F分別是線段AD、AM上的動點（點E與A、D不重合）且，設AEFDBMC，.（1）求證：；（2）求與的函數(shù)關系式并寫出定義域；（3）若點E在邊AD上移動時， 為等腰三角形，求的值；9. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點E是AB的中點 （1）如圖，P為BC上的一點，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點P在BC邊上移動（點P與點B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點F，同時交直線AD于點M，那么 當點F在線段C

11、D的延長線上時，設BP=，DF=，求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當時，求BP的長EDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）ABCDMEF10. 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=BC=4，AD=2點M為邊BC的中點，以M為頂點作EMF=B，射線ME交邊AB于點E，射線MF交邊CD于點F，連結(jié)EF（1）指出圖中所有與BEM相似的三角形，并加以證明；（2）設BE=x，CF=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；答案：1. 解：（1）AB=ACB=CADC=ADE+CDE=B+BADBAD=CDEABDDCE（2）ABDDCE，（3），是的中點ADBCDAE+ADE=

12、90°ADE是直角三角形2. 解：（1）AB=ACB=CBED+DEF=C+EFC=90°又BED=EFCFCEEBD（2）BD=x，BE=，F(xiàn)CEEBD若BD不存在3. 解：（1）AB=ACB=CCPEABDHDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC =BDP ABDDCE（2）DPE=B90°若PDE=90°，在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosDPE=CPEABDHPC=4 若PED=90°在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosPED=PC=4 （舍去）CPEABFH綜上所述，BD的長為4. 解：（1）、 （2）FP

13、E=B90°若PFE=90°，在RtABH和RtPFE中CPEABFH cosABH=cosFPE=若PEF=90°，在RtABH和RtPFE中 cosABH=cosFPE=5. 解：（1）PEBEPCCPEABFGHM（2）PC=x， 即（3）當PE=PF時，EPCPEB，PC=BE=x，當PE=EF時，cosEPH=cosB，當FE=PF時， cosFPM=cosB，綜上所述，PC的長分別為、6. 解：（1）,又, （2），是的中點，又 當點在線段的延長線上時， 當點在線段上時，過點作DGAB,交于點 ， 當點在線段的延長線上時，當點在線段上時， 7. 解：（

14、1）證明： ABP180°AAPB，DPC180°BPCAPB，BPCA， ABPDPC 在梯形ABCD中，ADBC，ABCD， AD ABPDPCCDABPQE解：設APx，則DP5x，由ABPDPC，得，即解得x11，x24，則AP的長為1或4（2）解：類似（1），易得ABPDPQ， 即，得，1x4AP2或AP38. 證明：（1）過點M作交于G AD/BC，AB/MG AG=BM=6AD=12 AG=GDAM=DM(2) 定義域為：(3) EMFM若為等腰三角形，則EF=EM或EF=FM 當EF=EM時,12-=10=2當EF=FM時AE=EM9. 證明：（1）在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=C BE=2,BP=2,CP=4,CD=4，BEPCPD (2)又EPF=C=B，BEPCPF，（）當點F在線段CD的延長線上時FDM=C=B， ，BEPDMF ， 又，0，此方程